一维离散平均曲率方程Neumann问题解的存在性

段 磊, 陈天兰

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

平均曲率问题来源于微分几何与物理学, 在力学、 天体物理、 相对论及非线性分析中应用广泛, 关于其解的存在性和多重性研究目前已有许多结果[1-4]. 非线性差分方程在计算机科学、 经济学、 神经网络、 控制论等的离散模型中应用广泛[5-7], 但关于离散平均曲率问题的研究目前报道较少[8], 且主要采用拓扑度理论、 上下解方法、 变分法、 临界点理论等方法. 本文用上下解方法和紧向量场方程的解集连通理论讨论一类离散平均曲率问题解的存在性.

对任意的整数a,b(a

文献[9]用紧向量场方程的解集连通理论和上下解方法研究了一类二阶三点边值问题

解的多重性结果, 其中常数α∈(0,∞),η∈(0,1)满足共振条件αη=1, 函数f: [0,1]×→连续.文献[10]用上下解方法和单调迭代理论研究了非线性二阶离散Neumann边值问题

解的存在性, 其中f: [0,T-1]××→连续且满足单边Lipschitz条件,T≥2,A,B∈.文献[11]用拓扑度理论、 上下解方法及临界点理论研究了一类带平均曲率算子的离散边值问题

多个正解的存在性, 这里λ>0为参数,n>4,q>1,μ: [2,n-1]→(0,+∞)是连续的.受上述研究结果启发, 本文用紧向量场方程的解集连通理论给出一维离散平均曲率方程Neumann问题

的上下解方法, 进而获得该问题解的存在性.

本文总假设:

(H1) 函数f: [1,T]×→连续;

(H2)φ: (-1,1)→,是一个递增的同胚映射, 且φ(0)=0.

1 预备知识

定理1[12]设C为Banach空间X的非空有界闭凸集,T: [a,b]×C→C(a

S={(λ,x)|T(λ,x)=x,λ∈[a,b]}

包含一条连接{a}×C与{b}×C的连通分支Σ.

定义1如果β: [0,T+1]→满足

则称β(t)是问题(1)-(2)的一个上解.

同理, 若改变式(3)和式(4)中不等号的方向, 则可定义问题(1)-(2)的下解为α(t).如果不等式是严格的, 则称β(t),α(t)分别为问题(1)-(2)的严格上解和严格下解.

下面引入本文使用的空间.记

X={u|u: [0,T+1]→, Δu(0)=Δu(T)=0},

Y={y|y: [1,T]→},

其范数分别为

定义算子L:D(L)⊂X→Y为

Lu=Δ[φ(Δu(t-1))],u∈D(L),

(5)

其中D(L)={u|u∈X}.令

Δ[φ(Δu(t-1))]=φ(Δu(t))-φ(Δu(t-1)),t∈[1,T],

其中Δu(t-1)=u(t)-u(t-1)是前向差分算子.记φ的逆算子为φ-1, 对任意l,m∈且m>l, 有

引理1设L由式(5)定义, 则

Ker(L)={c|c∈},

(6)

(7)

证明: 设Lu=0,则

Δ[φ(Δu(t-1))]=0,t∈[1,T],

从而可得

φ(Δu(t))=φ(Δu(t-1)),

即Δu(t)=Δu(t-1), 再结合边界条件(2), 易得式(6)成立.

若y∈Im(L), 则存在u∈D(L), 使得

Δ[φ(Δu(t-1))]=y(t),t∈[1,T],

从而有

故Δu(0)=Δu(T)=0成立, 即u∈D(L).而Δ[φ(Δu(t-1))]=y(t), 故y∈Im(L), 于是式(7)得证.证毕.

引理2设L由式(5)定义, 线性连续的投影算子P:X→Ker(L)和Q:Y→Y/Im(L)分别定义为

(Pu)(t)=u(0),t∈[0,T+1],u∈X,

则由

证明: 设Im(P)=Ker(L), 由于

P2u=Pu,u=(u-Pu)+Pu,X=Ker(P)+Ker(L),

显然Ker(P)∩Ker(L)={0}, 所以X=Ker(P)⊕Ker(L), 其中Ker(P)={u∈X|u(0)=0}.

由于Y/Im(L)和Ker(L)是[1,T]上常值函数构成的线性空间, 因此可将其视为实数空间.对任意y∈Y, 有

Q2y=Q(Qy)=Qy.

Qy∈Im(Q),y1(t)=y(t)-Qy∈Ker(Q)=Im(L),

则Y=Im(L)+, 且Im(L)∩Im(Q)={0}, 所以Y=Im(L)⊕Im(Q).

反之, 对任意u∈D(L)∩Ker(P), 有

对任意u∈X, 有唯一分解u(t)=ρ+ω(t), 这里ρ∈,ω∈Ker(P),t∈[0,T+1], 记KPQ=KP(I-Q), 其中I:Y/Im(L)→Ker(L)是恒等映射.定义非线性算子N:X→Y为

N(u)(t)=f(t,u(t)),t∈[1,T],

则问题(1)-(2)可写成算子方程

Lu=Nu.

易证KP(I-Q)N:X→X是全连续的, 且问题(1)-(2)等价于系统

引理3KP(I-Q)N:X→X是全连续的.

证明: 记G=KP(I-Q)N.由φ-1和f的连续性可知G在X上是连续的, 且QN(X),G(X)是一致有界的.此外, 存在一个常数M>0, 使得对任意u∈X, 有

‖(I-Q)Nu‖X≤M,

因此, 根据Arzela-Ascoli定理, 只需证明G(X)⊂X是等度连续的.设ε>0,t1,t2∈[1,T], 且则对u∈X, 有

故G是等度连续的.因此G是全连续的.证毕.

假设β(t)和α(t)分别为问题(1)-(2)的严格上解和严格下解, 并且β(t)>α(t)于[0,T+1].记集合

D={u|α(t)≤u≤β(t),t∈[0,T+1]}.

定义辅助函数f*: [1,T]×→为

考虑辅助问题：

定义非线性算子N*:X→Y为

N*(u)(t)=f*(t,u(t)),t∈[1,T].

由引理3可知,KP(I-Q)N*:X→X是全连续的.

引理4如果u是问题(8)-(9)的解, 则

α(t)≤u(t)≤β(t),t∈[0,T+1],

即u是问题(1)-(2)的解.

证明: 首先证明u(t)≤β(t),t∈[0,T+1].

令v(t)∶=u(t)-β(t), 证明对任意的t∈[0,T+1],v(t)≤0.反设对某个t0∈[0,T+1],v(t0)=max{u(t)-β(t)|t∈[0,T+1]}>0.下面分3种情形讨论.

情形1) 如果t0∈[1,T], 则v(t0)>0, Δv(t0-1)≥0, Δv(t0)≤0, 从而

Δu(t0-1)≥Δβ(t0-1), Δu(t0)≤Δβ(t0),

由于φ是增同胚, 所以

φ(Δu(t0-1))≥φ(Δβ(t0-1)),φ(Δu(t0))≤φ(Δβ(t0)),

于是

Δ[φ(Δu(t0-1))]≤Δ[φ(Δβ(t0-1))],

故

Δ[φ(Δβ(t0-1))]≥f*(t0,u(t0))=f(t0,β(t0)),

这与β(t)为问题(1)-(2)的严格上解矛盾.

情形2) 如果t0=0, 则v(0)>0, Δv(0)≤0.此时, 有如下情形:

① 如果Δv(0)=0, 则t0=1也是最大值点, 同情形1)的讨论, 易得矛盾；

② 如果Δv(0)<0, 但Δv(0)=Δu(0)-Δβ(0)≥0, 故矛盾.

情形3) 如果t0=T+1, 则v(T+1)>0, Δv(T)≥0.此时, 有如下情形:

① 如果Δv(T)=0, 则T也是最大值点, 类似情形1)可得矛盾;

② 如果Δv(T)>0, 但Δv(T)=Δu(T)-Δβ(T)≤0, 故矛盾.

综合情形1)～3)可得u(t)≤β(t),t∈[0,T+1].同理可证u(t)≥α(t),t∈[0,T+1].

2 主要结果

定理2假设(H1)和(H2)成立, 若β和α分别是问题(1)-(2)的严格上下解, 且β(t)≥α(t),t∈[0,T+1], 则问题(1)-(2)存在解u∈D, 其中D={u|α(t)≤u≤β(t),t∈[0,T+1]}.

证明: 由引理4可知, 只需证明问题(8)-(9)存在解.由引理3可知,KP(I-Q)N*:X→X是全连续的, 而问题(8)-(9)等价于系统

由f*定义可知,f*有界.由式(10)和Schauder不动点定理可知, 对任意ρ∈, 集合

W(ρ)∶={ω∈Ker(P)|(ρ,ω)满足式(10)}≠Ø.

再由定理2可知, 对任意a,b∈,a

S∶={(ρ,ω)∈×Ker(P)|(ρ,ω)满足式(10)}

包含一条连接{a}×W(a)与{b}×W(b)的连通分支Σ.令

W∶={ω∈Ker(P)|(ρ,ω)∈S},

则由式(10)可知, 存在不依赖于ρ的常数M*>0, 使得‖ω‖X≤M*(ω∈W), 因此, 可选择ρ1∈且ρ1>0充分大, 使得对所有的ω∈W(ρ1), 均有

ρ1+ω(t)>β(t),t∈[0,T+1],

即f*(t,ρ1+ω(t))恒等于f(t,β(t)), 而且

即W(ρ1)变成单点集{KP(I-Q)f(t,β(t))}.对每个ω∈W(ρ1), 有

同理, 可以选择ρ2∈且ρ2<0充分小, 使得ρ2<ρ1, 并且对每个ω∈W(ρ2), 均有

ρ2+ω(t)<α(t),t∈[0,T+1],

表明f*(t,ρ2+ω(t))恒等于f(t,α(t)), 且W(ρ2)变成单点集{KP(I-Q)f(t,α(t))},

由Σ的连通性及QN*的连续性知, 存在ρ0∈[ρ2,ρ1]及ω(t)∈W(ρ0), 使得(ρ0,ω(t))∈Σ, 并且QN*(ρ0+ω(t))=0, 故ρ0+ω(t)是边值问题(10)-(11)的一个解.因此, 问题(1)-(2)至少存在一个解.证毕.