3-李代数T的结构

白瑞蒲, 刘 培

(河北大学 数学与信息科学学院, 河北省机器学习与智能计算重点实验室, 河北 保定 071002)

1 引言与预备知识

3-李代数在数学物理等领域应用广泛, 关于其结构的研究目前已有许多成果. Bai等[1]给出了3-李代数的表示及其形变； 文献[2-3]研究了3-李代数的辛结构、 积结构和复积结构. 作为Hamilton力学系统的推广, 3-李代数在Nambu力学系统中的研究也得到广泛关注[4-9].

3-李代数L是域F上的向量空间, 且具有3-元斜对称线性运算[,,][10], ∀x1,x2,x3,y2,y3∈L, 满足

[[x1,x2,x3],y2,y3]=[[x1,y2,y3],x2,x3]+[[x2,y2,y3],x3,x1]+[[x3,y2,y3],x1,x2].

对于任意一个交换结合代数A及3个可交换导子D1,D2,D3,A按下列运算构成3-李代数:

[x1,x2,x3]=(D1∧D2∧D3)(x1,x2,x3),

且称其为Jacobi代数.因此, 如果A是实数域上3-元任意次可微函数全体构成的向量空间, 则A按运算

构成3-李代数, 该代数及其子代数称为典型Nambu 3-李代数.

是实数域上的线性空间, 则∀f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)∈T,T按下列运算构成3-李代数:

将3-李代数仍记为T.为方便, 记

Ll=ysin(lx),Mr=zcos(rx), ∀l∈且l>0, ∀r∈且r≥0,

则有

L0=0,Ll=-L-l,Mr=M-r, ∀l,r∈.

可以验证, ∀l,m,n,r,s,t∈,T是以 {Ll,Mr|l∈且l>0,r∈且r≥0}为基, 具有如下乘法的3-李代数:

(1)

2 3-李代数T的可解性和幂零性

为方便, 记

Φ={L2q-1-(2q-1)L1,L2q-qL2|q∈且q>1},

Ψ={M2q+1-M1,M2q-M0|q∈且q>0}.

定理1向量组Φ∪Ψ构成3-李代数T的导代数T1的一组基.

证明: 由式(1)可知,

所以

pL2q-qL2p∈L1, (2p-1)L2q-1-(2q-1)L2p-1∈L1, ∀q>p≥1.

因此Φ∪Ψ⊆T1.再由式(1), 有

所以对任意l≠m,l,m≥0,l′≥0,m′≥1,s≥1,t≥0,s′≠t′,s′,t′≥1, 有

因此∀l,m∈, [Ll,Lm,Mm]是Φ中向量的线性组合.

同理, 对任意l∈且l>0,s,t∈且s,t≥0, [Ll,Ms,Mt]是Ψ中向量的线性组合, 且Φ∪Ψ是线性无关组.证毕.

为方便, 对任意的n≥2, 记

定理23-李代数T是非幂零的3-李代数.

证明: 首先证∀n∈且n≥2, 有Tn=[T1,T,T]=T1.由式(1), 对任意l,m,n∈,l≥2, 有

所以

定理3T是非2-可解的3-李代数.

证明: 易见T(0,2)=T,T(1,2)=[T(0,2),T(0,2),T]=T1.由定理1可知,

类似定理3可得如下结论.

定理4T是非3-可解的3-李代数.

3 内导子代数ad T的结构

引入下列符号:

Wr,s=ad(Lr,Ms),Xr,s=ad(Lr,Ls),Yr,s=ad(Mr,Ms), ∀r,s∈,

(2)

Γ={W1,r,Ws+1,0-Ws-1,0,Xr+1,1-Xr-1,1,Yr,0|r∈,r>0,s≥0},

(3)

W=〈pr|r∈且r≥0〉,V=〈qr,xr,yr|r∈且r>0〉,

(4)

Wr,s=-W-r,s=Wr,-s,Xr,s=-Xs,r=-X-r,s=-Xr,-s,Yr,s=-Ys,r=Y-r,s=Yr,-s,

pr=p-r,qr=-q-r,xr=-x-r,yr=-y-r,q0=x0=y0=0.

定理5adT具有基Γ={p0,pr,qr,xr,yr|r∈且r>0}, 并且∀r,t∈且r,t≥0及∀l,s∈且l,s>0， 乘法为

证明: 先证明Γ是adT的一组基.由式(1)和式(2)知, ∀r,s,t∈, 下列等式成立：

(5)

如果存在ai1,bi2,ci3,di4∈F且ai1,bi2,ci3,di4≠0, 0≤r1<…

则由式(5)可得

从而

因为

所以ti3≥1,an1=cn3=0,Λ=2b1W1,0=0, 因此b1=0, 矛盾.于是Γ线性无关.

由式(5)知,

Xr+1,s+1-Xr+1,s-1-Xr-1,s+1+Xr-1,s-1=0,r=±s;

因此, 若r=1, 则当s=±1时, 有

其他情形有

假设当m≤r时, 对∀s∈,Wm,s可由Γ线性表示.则对任意r∈, 有

Xr+1,2-Xr-1,2=0,r=±1;

因此对s用归纳法,Xr+1,s-Xr-1,s(∀r,s∈)可由Γ线性表示.同理对∀r,s∈,Wr,s,Xr,s可用Γ线性表示.所以Γ是adT的一组基.

由式(4)知, {p0,pr,qr,xr,yr|r∈且r>0}线性无关, 并对任意的r,s∈, 有

Xr+1,1-Xr-1,1=rxr,Yr,0=ryr.

再由式(5)知,

因此由式(4)可得结论.证毕.

定理6设W是adT的非可解子代数, 导代数为W1=〈p2n+1-p1,p2n-p0|n∈且n>0〉, 且V的导序列V(n)=[V(n-1),V(n-1)](n≥1)是adT的所有理想, 其中V=V(0).则

V1=〈λ2n-1-(2n-1)λ1,λ2n-nλ2|n∈且n>1,λ=q,x,y〉, 0≠V(n+1)V(n), ∀n≥0.

(6)

若r+s=2n, 则

若r+s=2n+1, 则

从而可得W1.

对任意n∈且n>0, 定义由定理5可知, 对任意n∈且n>0, 有

再由定理5知, 对∀r,s∈,则

因此q5-5q3∈V1.又

对n用归纳法可得

q2n+3-(2n+3)q1∈V1, ∀n∈且n≠-1;q2n-nq2∈V1, ∀n∈且n≠1.

类似可知式(6)成立.对∀r∈,n∈且n≠1, 有

因此, 若r=2s, ∀s∈, 则有

同理, 若r=2s+1, 则∀s∈, [p2s+1,q2n-1-(2n-1)q1],[p2s+1,q2n-nq2]∈V1, 因此[W,V1]⊆V1,V1是adT的理想.

定理73-李代数T的内导子代数adT没有极小理想, 因此是非可解李代数, 且adT是子代数W和理想V的半直积, adT的导代数为W1⊕V.

证明: 由定理6可知adT是W和V的半直积.因为∀n∈且n≥0, 0≠V(n+1)V(n), 所以adT是非可解李代数且没有极小理想.根据定理5和式(6), 可得

因此q1-3q3,3q3-5q5∈adT1.对n用归纳法, 假设(2m+1)q2m+1-q1∈adT1,m≤n.由于

则∀n∈且n≠-1,q2m+1∈adT1,m≠0, 有(2n+3)q2n+3-q1∈(adT)1.于是q1,q2∈adT1.类似可得x1,x2,y1,y2∈adT1.再由定理6可得adT1=W1⊕V.证毕.