奇异三阶三点边值问题正解的存在性及多解性

武 若 飞

(西北师范大学 数学与统计学院, 兰州 730070)

0 引 言

三阶微分方程广泛应用于数学物理、 工程数学、 生态数学, 物理化学等领域. 例如, 在描述扰度弯曲的梁、 电磁波的传播、 重力驱动等一些实际问题中已有许多研究成果[1-10]. 目前, 非线性三阶边值问题也被广泛关注. 文献[5]研究了奇异三阶边值问题：

(1)

其中f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)和a: (0,1)→[0,∞)均为连续函数, 用锥拉伸压缩不动点定理得到了其正解的存在性结果:

定理1[5]若存在两个不同的正常数M1,m1, 使得:

则问题(1)至少存在一个正解uA, 并满足min{m1,M1}≤‖uA‖≤max{m1,M1}.

文献[6]用锥拉伸压缩不动点定理研究了奇异三阶边值问题:

(2)

其中a: (0,1)→[0,∞)和F: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)均为连续函数, 得到如下结果:

定理2[6]若存在两个不同的正常数m2,M2, 使得下列条件成立:

则问题(2)至少存在一个正解uB, 并满足min{m2,M2}≤‖uB‖≤max{m2,M2}.

但文献[5-6]都只考虑了权函数h(t)的奇异性而未考虑非线性项f(t,u)的奇异性.基于此, 本文考虑当非线性项f(t,u)与权函数a(t)都具有奇异性时, 奇异三阶三点边值问题:

(3)

正解的存在性和多解性.

二阶边值问题

的Green函数为

(H2)f: (0,π)×(0,+∞)→[0,+∞)为连续函数;

(H3) 存在连续函数g: [0,π]×[0,+∞)→[0,+∞)和λ: (0,π)×(0,+∞)→[0,+∞), 使得

f(t,u)≤g(t,u)+λ(t,u), (t,u)∈(0,π)×(0,+∞),

其中λ(t,u)关于变量u非增;

(H4) 对任意的r>0, 有

定义函数φ,ψ,I如下：

1 预备知识

P={u∈C[0,1]|u(t)≥‖u‖q(t), 0≤t≤π}

为X中的锥,Ω(r)={u∈K|‖u‖

定义算子L:

(4)

aq(t)≤‖u‖q(t)≤u(t)≤‖u‖≤b, 0≤t≤π.

由条件(H4)可得

λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π.

令λn(t,aq(t))=min{λ(t,aq(t)),n}, 则

令fn(t,u)=min{f(t,u),g(t,u)+λn(t,u)}, 则fn: [0,π]×[0,∞)→[0,∞)是连续的.

定义算子Ln:

由文献[6]中引理2.3可知,Ln:K→C[0,π]为全连续算子.因为

另一方面, 因为

(Lu)‴(t)=h(t)f(t,u(t))≥0, 0

所以(Lu)″(t)是非减的.又因为(Lu)″(π)=0, 所以(Lu)″(t)≤0, 0≤t≤π.故(Lu)(t)是一个非负的凸函数, 根据凸函数的性质知, 对任意的t1,t2∈[0,π]和任意的λ∈[0,1], 总有

Lu(λt2+(1-λ)t1)≥λLu(t2)+(1-λ)Lu(t1).

因为

1) ‖Fu‖≤‖u‖,u∈∂Ω1且‖Fu‖≥‖u‖,u∈∂Ω2;

2) ‖Fu‖≥‖u‖,u∈∂Ω1且‖Fu‖≤‖u‖,u∈∂Ω2.

2 主要结果

定理3假设条件(H1)～(H4)成立, 若存在两个正数a

1)φ(a)≤(a-I(a))M,ψ(b)≥bM;

2)ψ(a)≥aM,φ(a)≤(b-I(b))M.

则问题(3)至少存在一个正解u*∈K, 满足a≤‖u*‖≤b.

证明: 由于1)和2)证明类似, 故下面只给出1)的证明.

若u∈∂Ω(a), 则‖u‖=a, 且aq(t)≤u(t)≤a, 0≤t≤π, 由1)可得g(t,u)≤φ(a)≤(a-I(a))M.由条件(H4)可得λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π, 因此

若u∈∂Ω(b), 则‖u‖=b, 且bq(t)≤u(t)≤b, 0≤t≤π, 由2)可得

f(t,u(t))≥ψ(b)≤bM,α≤t≤β,

因此

(8)

将式(8)代入问题(3)可得

定理4假设条件(H1)～(H4)成立, 且存在3个正数a

1)φ(a)≤(a-I(a))M,ψ(b)>bM,φ(c)≤(c-I(c))M;

2)ψ(a)≥aM,φ(a)<(b-I(b))M,ψ(c)≥cM.

证明: 由于1)和2)证明类似, 故下面只给出1)的证明.

若u∈∂Ω(a), 则‖u‖=a, 且aq(t)≤u(t)≤a, 0≤t≤π, 由1)和条件(H4)可得

g(t,u)≤φ(a)≤(a-I(a))M,

λ(t,u(t))≤λ(t,aq(t)), 0≤t≤π.

由式(6)可得‖Tu‖≤a=‖u‖.

若u∈∂Ω(b), 则‖u‖=b, 且bq(t)≤u(t)≤b, 0≤t≤π, 由1)得

f(t,u(t))≥ψ(b)>bM,α≤t≤β.

若u∈∂Ω(c), 则‖u‖=c, 且cq(t)≤u(t)≤c, 0≤t≤π, 由1)可得g(t,u)≤φ(c)≤(c-I(c))M.由条件(H4)可得

λ(t,u(t))≤λ(t,cq(t)), 0≤t≤π.

推论1假设存在(n+1)个正数a1

注1推论1的证明与定理3和定理4的证明类似, 故略.定理3和定理4分别为推论1中n=1和n=2的情形.