Conformable分数阶微分方程三点共振边值问题解的存在性

江卫华, 董 倩

(河北科技大学 理学院, 石家庄 050018)

0 引 言

分数阶微分和积分方程在流体力学、 化学工程、 机械学和控制论等领域应用广泛, 最常见的分数阶导数有Riemann-Liouville分数阶和Caputo分数阶导数等[1-6]. 目前, 关于一些常见的分数阶微分方程边值问题的研究已取得许多成果[7-9], 但对Conformable分数阶导数的研究文献报道较少[10-14]. Haddouchi[14]利用锥上不动点定理研究了如下Conformable分数阶微分方程:

(1)

得到了该方程至少存在一个正解, 其中α∈(1,2],η∈(0,1] ,f: [0,1]×[0,∞)→[0,∞)是连续函数,Dα是Conformable分数阶导数.

受上述研究启发, 本文基于Conformable分数阶导数, 讨论下列三点共振边值问题：

(2)

解的存在性, 其中1<α≤2,Dα是Conformable分数阶微分.微分方程(2)满足下列假设条件：

(H1)βη=1；

(H2) 映射f： [0,1]×2→满足Caratheodory条件, 即当(x,y)∈2固定时, 对a.e.t∈[0,1],f(t,x,y)是t的可测函数； 当t固定时,f(t,x,y)是(x,y)的连续函数, 且对∀r>0, 存在φr∈Y, 使得|f(t,x,y)|≤φr(t)成立, 其中|x|≤r, |y|≤r, a.e.t∈[0,1].

1 预备知识

设X,Y是实Banach空间,L: domL⊂X→Y是指数为0的Fredholm算子,P:X→X和Q:Y→Y是连续投影算子, 且满足ImP=KerL, KerQ=ImL,X=KerL⊕KerP,Y=ImL⊕ImQ.因此L: domL∩KerP→ImL是可逆的, 用Kp表示其逆.

1) ∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1),Lu≠Nλu；

2) ∀u∈KerL∩∂Ω,Nu≠ImL；

3) deg(JQN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0, 这里J： ImQ→KerM是一个同构映射.

定义2[4]若α∈(n,n+1], 则函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶积分为

(3)

其中式(3)右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

定义3[4]若α∈(0,1], 则连续函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶导数为

(4)

若α∈(n,n+1], 则连续函数y： [0,+∞)→的Conformable分数阶导数为

Dαy(t)=Dβy(n)(t),β=α-n.

(5)

其中式(4)和式(5)右边是在(0,+∞)上逐点定义的.

引理1[10]若当t>0,α∈(n,n+1]时,y(n+1)(t)存在, 则有Dαy(t)=tn+1-αy(n+1)(t).

引理2[4]若当α∈(n,n+1]时,y(t)是在[0,∞)上的连续函数, 则对t>0, 有DαIαy(t)=y(t).

引理3[7]若当α∈(n,n+1]时,y(t)是α阶可微的函数, 则对t∈(0,∞),Dαy(t)=0当且仅当y(t)=a0+a1t+…+antn, 其中ak∈,k=0,1,…,n.

引理4[7]当α∈(n,n+1]时, 如果Dαy(t)在[0,∞)上连续, 则

IαDαy(t)=a0+a1t+…+antn,ak∈,k=0,1,…,n.

2 主要结果

引理5(X,‖·‖),(Y,‖·‖)为Banach空间.

证明： 显然, (X,‖·‖)是Banach空间.

假设{yn}是Y中的一个Cauchy数列, 则

(6)

显然yn∈L[0,1], 又因为0<α<1,E=[0,1], 故对∀δ>0, 有

定义算子L： domL∩X→Y和算子N：X→Y分别为

Lu=Dαu(t),u∈domL,

Nu=f(t,u(t),u′(t)),u∈X,

其中

domL={u|u∈X,Dαu(t)∈Y,u(0)=0,u(1)=βu(η)}.

则微分方程边值问题(2)等价于Lu=Nu,u∈domL.

引理6设条件(H1)成立, 则L: domL⊂X→Y是一个0指标的Fredholm算子.

证明： 显然KerL={u∈domL|u(t)=ct, ∀t∈[0,1],c∈}.

取y∈ImL, 则∃u∈domL, 使得Lu=y, 即Dαu(t)=y(t).因此

(7)

将边值问题(2)的边界条件代入式(7), 可得y满足

(8)

于是

另一方面, 若y∈Y满足式(6), 则取

其中c是常数.易证u满足边值问题(2)的边界条件, 于是

综上可得

定义线性算子P:X→X为

Pu(t)=Dα-1u(1)t.

显然P2u=Pu, ImP=KerL, KerP={u∈X|Dα-1u(0)=0},X=KerL⊕KerP.定义线性算子Q:Y→Y为

通过计算可得Q2y=Qy, 即Q是一个幂等算子, 是Y上的线性投影算子.显然ImL=KerQ.任取y∈Y, 可写成y=(y-Qy)+Qy, 其中(y-Qy)∈KerQ=ImL,Qy∈ImQ, 因此Y=ImL+ImQ.取y∈ImL∩ImQ, 由y∈ImQ得y=Qy, 由y∈ImL=KerQ得Qy=0, 因此y=0, 所以Y=ImL⊕ImQ.又因为dim KerL=1=co dim ImL, 所以L是一个0指标的Fredholm算子.证毕.

引理7定义线性算子Kp: ImL→Z为

则Kp=(L|dom L∩Ker P)-1.

证明： 易证KP(ImL)⊂domL∩KerP.取y∈ImL, 可得Kpy∈domL∩KerP,LKpy=Dα(Iαy(t))=y(t).另一方面, 对u∈domL∩KerP, 由引理1可得

未缺血再灌注大鼠脑组织未出现肿胀，脑沟脑回清晰皮层颜色较红润；浅表血管丰富、充盈好、鲜红，脑缺血再灌注大鼠脑组织有明显肿胀脑沟脑回表浅，皮层颜色苍白,表面血管塌陷，基本无血流[1]。如图 1-2所示。

|f(t,u(t),u′(t))|≤φr(t),t∈[0,1].

本文假设如下条件成立：

(H3) 存在常数M, 使得对∀t∈[0,1], 当u∈domL, |u′(t)|>M时, 有QNu≠0, 即

|f(t,x,y)|≤a(t)+b(t)|x|+c(t)|y|,t∈[0,1],x,y∈,

其中‖b‖Y+‖c‖Y<1/2;

(H5) 存在常数B>0, 使得当|c|>B时, 下列不等式之一成立：

1)cQN(ct)>0, ∀t∈[0,1];

2)cQN(ct)<0, ∀t∈[0,1].

引理9若条件(H3),(H4)成立, 则Ω1={u|u∈domL/KerL,Lu=λNu,λ∈[0,1]}在X中有界.

证明： 任取u∈Ω1, 则Lu=λNu,λ≠0,Nu∈ImL=KerQ.由条件(H3)知, 存在t0∈[0,1], 使得|u′(t0)|≤M, 由Lu=λNu和u(0)=0, 得

(9)

对式(9)两边求导, 得

(10)

令t=t0, 代入式(10)得

从而

于是有

由|u′(t0)|≤M和条件(H4), 可得

因此可得

(11)

从而

再结合式(8)可知Ω1有界.证毕.

引理10若条件(H1)～(H3)成立, 则Ω2={u∈KerL|Nu∈ImL}在X中有界.

证明： 令u∈Ω2,u=ct,c∈,QNu=0, 则

由条件(H3)知, 存在t0∈[0,1], 使得|u′(t0)|≤M.又因为|u′(t)|=|c|≤M, 故Ω2有界.证毕.

引理11若条件(H1)～(H3),(H5)成立, 则集合

Ω3={u∈KerL|λJu+(1-λ)QNu=0,λ∈[0,1]}

在X中有界, 其中J: KerL→ImQ,J(ct)=c(c∈,t∈[0,1])是线性同构映射.

证明： 任取u∈Ω3, 则

u=ct,λJct+(1-λ)QN(ct)=0.

如果λ=1, 则c=0.如果λ=0, 则由条件(H5)可知|c|≤B.

对λ∈(0,1), 如果|c|>B, 则由条件(H5)可得

与已知条件矛盾.因此Ω3有界.

注1如果条件(H1),(H2),(H4)和(H5)中2)成立, 则集合

有界.

定理2假设条件(H1)～(H5)成立, 则边值问题(1)至少有一个解.

1) ∀(u,λ)∈[(domLKerL)∩∂Ω]×(0,1),Lu≠Nλu；

2) ∀u∈KerL∩∂Ω,Nu≠ImL.

下面证明deg(JQN|Ker L,Ω∩KerL,0)≠0.令H(u,λ)=±λJu+(1-λ)QNu, 由引理11可知,H(u,λ)≠0,u∈∂Ω∩KerL.由度的同伦不变性得

于是利用定理1可知, 微分方程边值问题(2)在X上至少有一个解. 证毕.

综上所述, 本文讨论了Conformable分数阶三点共振微分方程边值问题, 通过定义合适的Banach空间、 范数及算子, 利用Mawhin重合度理论证明了其解的存在性.