δ-Hom-Jordan李色代数的T*-扩张

马丽丽, 戴 迪, 李 强, 王晓燕

(齐齐哈尔大学 理学院, 黑龙江 齐齐哈尔 161006)

1 引言与预备知识

李色代数是李代数和李超代数的推广, 目前关于李色代数的研究已有很多结果, 如李色代数的PBW定理和Ado定理[1]、 李色代数的表示理论[2]和Engel定理[3]、 李色代数的广义导子结构[4]、δ-李色代数的交换扩张[5]和δ-Hom-Jordan李色代数的导子扩张[6]等.T*-扩张是研究代数结构的重要方法, 其在δ-Hom-Jordan李(超)代数[7-8]、δ-Jordan李三系[9]和李色代数[10]等代数结构中应用广泛. 本文研究δ-Hom-Jordan李色代数, 并讨论其T*-扩张结构.

定义1[1]设G是交换群,F是任意域, 若对∀a,b,c∈G,G上的一个映射ε:G×G→F*满足：

ε(|a|,|b|)ε(|b|,|a|)=1,

ε(|a|,|b+c|)=ε(|a|,|b|)ε(|a|,|c|),

ε(|a+c|,|b|)=ε(|a|,|b|)ε(|c|,|b|),

则称ε为G的斜对称双特征标.

易知

ε(|a|,|0|)=ε(|0|,|a|)=1,ε(|a|,|a|)=±1, ∀a∈G.

设a,b,c为G-阶化向量空间中的齐次元, 用|a|,|b|,|c|表示其次数.为简便, 用ε(a,b)表示ε(|a|,|b|).

定义2[11]δ-Hom-Jordan李色代数(L,[·,·]L,δ,α)由阶化空间L、 一个双线性运算[·,·]L:L×L→L及满足如下条件的偶线性变换α:L→L构成:

[x,y]=-δε(x,y)[y,x],δ=±1,

(1)

ε(z,x)[α(x),[y,z]]+ε(x,y)[α(y),[z,x]]+ε(y,z)[α(z),[x,y]]=0, ∀x,y,z∈L.

(2)

定义3设(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代数.

1) 若α为同态, 即任取x,y∈L, 均有α([x,y]L)=[α(x),α(y)]L, 则δ-Hom-Jordan李色代数称为保积的； 若α为自同构, 则δ-Hom-Jordan李色代数称为正则的.

2) ∀x,y∈η, 若α(η)⊆η且[x,y]L∈η, 则阶化子空间η⊆L称为(L,[·,·]L,δ,α)的Hom子代数；

3) ∀x∈η及∀y∈L, 若α(η)⊆η且[x,y]L∈η, 则阶化子空间η⊆L称为(L,[·,·]L,δ,α)的Hom理想; 特别地, 若满足[L,η]=0, 则理想η称为交换理想.

定义4δ-Hom-Jordan李色代数(L,[·,·]L,δ,α)的表示为阶化向量空间V上关于A∈pl(V)的线性映射

ρA:L→pl(V),

使得对任意的u,v∈L, 满足

ρA([u,v]L)∘A=ρA(α(u))∘ρA(v)-δε(u,v)ρA(α(v))∘ρA(u).

(3)

定义5设(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代数, 如果

L⊥={x∈L|f(x,y)=0, ∀y∈L}=0,

则L上的双线性型f称为非退化的; 如果

f([x,y],z)=f(x,[y,z]), ∀x,y,z∈L,

则f称为不变的; 如果

f(x,y)=ε(x,y)f(y,x),

则f称为阶化对称的.如果I⊆I⊥, 则阶化子空间I称为迷向的.

定义6对δ-Hom-Jordan李色代数(L,[·,·]L,δ,α)的双线性型f, 若f满足

f(x,y)=0, ∀x,y∈L, |x|≠|y|,

则f称为Jordan相容的.

定义7设(L,[·,·]L,δ,α)是域F上δ-Hom-Jordan李色代数, 若L具有非退化不变阶化对称双线性型f, 则称(L,f,δ,α)为度量δ-Hom-Jordan李色代数.特别地, 度量向量空间V是阶化向量空间, 具有非退化阶化对称双线性型.

2 主要结果

引理1设ad是δ-Hom-Jordan李色代数(L,[·,·]L,δ,α)的伴随表示,L*是L的对偶空间, 定义偶线性映射π:L→End(L*)为

π(x)(f)(y)=-δε(x,f)f∘ad(x)(y), ∀x,y∈L,

α∘adα(x)=adx∘α,

(4)

adx∘adα(y)-δε(x,y)ady∘adα(x)=α∘ad[x,y]L.

(5)

证明: 计算可得

且

又因为

所以

定义8设(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代数, (V,ρA,δ)为T-模, 若线性映射ω: ⊗2→V满足

ω(x,y)=-δε(x,y)ω(y,x),

则称ω: ⊗2→V为2-上圈.

定理1设(L,[·,·]L,δ,α)是δ-Hom-Jordan李色代数,ω:L×L→L*是偶的双线性映射, 假设存在余伴随表示.对于阶化向量空间L⊕L*, 定义运算和线性映射如下:

[x+f,y+g]L⊕L*=[x,y]L+ω(x,y)+δπ(x)g-ε(x,y)π(y)f,

(6)

α′(x+f)=α(x)+f∘α.

(7)

证明: 任取x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 注意到

且

于是

ε(x,z)[α′(x+f),[y+g,z+h]L⊕L*]L⊕L*+c.p.(x+f,y+g,z+h)=0,

当且仅当

显然L*是(L⊕L*,[·,·]α′,δ,α′) 的交换Hom-理想,L与(L⊕L*)/L*同构.下面考虑在L⊕L*上的阶化对称双线性型qL, 这里x+f,y+g∈L⊕L*,

qL(x+f,y+g)=f(y)+ε(x,y)g(x).

定理2设L,L*,ω和qL定义如上, 则(L⊕L*,qL,δ,α′)是度量δ-Hom-Jordan李色代数当且仅当

ω(x,y)(z)=ε(x,y+z)ω(y,z)(x), ∀x,y,z∈L.

证明: 若x+f与L⊕L*的所有元正交, 则f(y)=0且ε(x,y)g(x)=0, ∀y∈L及∀g∈L*, 可得x=0,f=0.从而对称双线性型qL是非退化的.

设x+f,y+g,z+h∈L⊕L*, 则有

另一方面, 有

由π与ad的定义, 可验证

qL([x+f,y+g]L⊕L*,z+h)=qL(x+f,[y+g,z+h]L⊕L*)

当且仅当

w(x,y)(z)=ε(x,y+z)w(y,z)(x).

证毕.

定义9设L是域F上的δ-Hom-Jordan李色代数.定义一个导出序列为

(L(n))n≥0:L(0)=L,L(n+1)=[L(n),L(n)]；

一个降中心序列为

(Ln)n≥0:L0=L,Ln+1=[Ln,L]；

一个升中心序列为

(Cn(L))n≥0:C0(L)=0,Cn+1(L)=C(Cn(L)).

其中若I是L的子空间, 则定义C(I)={a∈L|[a,L]⊆I}.

L称为可解的和幂零的(长度k)当且仅当存在(最小)整数k, 使得L(k)=0,Lk=0.

定理3若(L,[·,·]L,δ,α)是域F上的δ-Hom-Jordan李色代数, 则下列结论成立：

2) 设0≠L=I⊕J, 其中I和J是(L,[·,·]L,δ,α)的两个Hom-理想.用I*(或J*)表示L*中在J(或I)上取值为零的线性映射构成的阶化子空间.显然,I*(或J*)同构于其对偶空间I(或J), 且L*≅I*⊕J*.

由于

[I*,L]L⊕L*(J)=I*([L,J]L)⊆I*(J)=0

且

[I,L*]L⊕L*(J)=L*([I,J]L)⊆L*(I∩J)=0,

则有[I*,L]L⊕L*⊆I*, [I,L*]L⊕L*⊆I*.于是