一个无限维弱余分裂李代数

吴怡晗, 张 姣

(上海大学 数学系, 上海 200444)

0 引 言

1 预备知识

定义1[12]对于域F上向量空间L中的一个运算μ:L×L→L, 记为μ(x,y)=[xy], 如果其满足下列条件:

1) 方括号运算是双线性的;

2) 对L内所有的x, 均有[xx]=0;

3) 对所有的x,y,z∈L, 均有[x[yz]]+[y[zx]]+[z[xy]]=0.

则称该运算为向量x和y的方括号或换位子(也称为李乘运算), 称(L,μ)为F上的李代数.

对于域F上的有限维向量空间V, 定义F-线性映射τV:V⊗FV→V⊗FV, 若对所有向量u,v∈V都有τV(u⊗v)=v⊗u, 则称τV为扭映射.定义F-线性映射ξV:V⊗FV⊗FV→V⊗FV⊗FV, 若对所有向量u,v,w∈V, 都有ξV(u⊗v⊗w)=v⊗w⊗u, 则称ξV为线性循环置换映射.

定义2[13]对于域F上向量空间L中的一个线性运算δ:L→L⊗FL, 如果其满足下列条件：

1) (idL⊗L+τL)∘δ=0;

则称该运算为李余乘运算, 称(L,δ)为域F上的李余代数.

定义3[1]对于域F上向量空间L中的两个线性运算μ:L⊗FL→L和δ:L→L⊗FL, 如果其满足下列条件:

1) (L,μ)是一个李代数;

2) (L,δ)是一个李余代数;

3)μ∘δ=idL.

则称δ为L的余分裂运算, 称(L,μ,δ)为域F上的余分裂李代数.

若相容条件中的恒等变换idL弱化为L上非退化的对角变换, 则(L,μ,δ)称为弱余分裂李代数.

2 Witt代数的弱余分裂性质

定理1若L为复数域上的Witt代数, 则L=span{xi|i∈,i≥-1},μ(xi,xj)=[xi,xj]=(j-i)xi+j是弱余分裂李代数.

证明: 首先, 定义一个线性映射δ:L→L⊗L, 对于任意的向量xk∈L(k≥-1), 使得

其次, 验证(L,δ)是李余代数.对任意的xk∈L(k≥-1), 只需证明xk满足李余代数的定义.由定义2中条件1)知,

由定义2中条件2)可得

所以(L,δ)是李余代数.

最后, 验证μ∘δ满足相容性.由任意的xk∈L(k≥-1), 可知

因此μ∘δ(xk) 是xk的非零常数倍, 从而μ∘δ是L的非退化对角线性变换.

综上可知, (L,μ,δ)是复数域上的弱余分裂李代数.证毕.