基于凯恩方法的三自由度Delta并联机器人动力学建模

刘国军

（湖南理工学院 机械学院，湖南 岳阳 414006）

0 引言

与串联机器人相比较，并联机器人具有承载能力高、精度高、速度快、加速度大等优点，在多个领域得到了广泛的应用[1]，如六自由度并联机器人——Gough-Stewart平台、Delta并联机器人及其变形体、Tricept并联机床等。Delta并联机器人及其变形体在小物品的快速拾取与拣选等应用领域得到了广泛的应用[2-3]。

若对Delta并联机器人只采用运动学控制，则性能不会很好[2]。为了得到性能优良，需要考虑动力学反解模型[2]。设计Delta并联机器人时也需要建立动力学反解模型，得到各个电动机输出的力矩等。国内外很多学者对Delta并联机器人的动力学建模进行了研究，如：Tsai[4]引入3个多余的自由度，利用第一类拉格朗日方程建立了三平动Delta并联机器人动力学反解模型；Hong和Yamamoto[5]利用虚功原理和牛顿-欧拉方程分析得到了三平动Delta并联机器人的作用力和作用力矩；Brinker[6]分别利用虚功原理、牛顿-欧拉方程和第一类拉格朗日方程三种方法对三平动Delta并联机器人建立了动力学反解模型，并且进行了对比分析。但第一类拉格朗日方程对三平动Delta并联机器人建立动力学反解模型时需要引入3个额外的参数；牛顿-欧拉方程对三平动Delta并联机器人建立动力学反解模型时需要计算各个构件之间的约束力和约束力矩；由于虚位移与实位移相等时要满足一些特定的条件，但实际中一般不满足这些条件，从而虚位移一般不是实位移[7]。当用凯恩方程建立动力学模型时，不出现约束力，也不必计算拉格朗日函数等及其导数[8-10]。与第一类拉格朗日方程相比，对于非完整系统，凯恩方程不需要引入拉格朗日算子[10]。本文将采用凯恩方程建立三平动Delta并联机器人的动力学反解模型。

1 系统描述

瑞士洛桑联邦理工学院（EPFL）Clavel领导的团队发明了平移三自由度并联机器人——三自由度Delta并联机器人，如图1所示[11]。Clavel领导的团队发明的三自由度Delta并联机器人由1个动平台、1个静平台和3条支路组成。每一条支路通过固定于静平台上的电动机和精密减速装置带动主动臂转动，然后通过一个2-SS型（S表示球铰）空间平行四杆机构连接到动平台上。

图1 Clavel等发明的三自由度Delta并联机器人

如图2所示，为了分析的需要，在动平台上建立体坐标系{L}，在静平台上建立惯性坐标系{W}，在支路i中转动副的中点Ai建立体坐标系{Li}。直角坐标系O-XYZ为惯性坐标系{W}，其坐标系原点为O。把直角坐标系{W}移动到动平台上以点P为原点，则为体坐标系{L}。直角坐标系Ai-XiYiZ i为体坐标系{Li}，其坐标系原点为Ai。Ai为主动转动副转轴的中心点。直角坐标系{Li}中Zi轴与坐标系{W}中Z轴平行，Xi轴沿直线OAi，Yi为转动副轴线方向。B1i和C1i分别为支路i中空间平行四边形机构同一侧球铰中心，B2i和C2i分别为支路i中空间平行四边形机构另一侧球铰中心。Bi为B1i与B2i连线的中心点。Ci为C1i与C2i连线的中心点。作如下规定：在惯性坐标系{W}中表示时左上角不用标示上标；在其它坐标系中表示时，则在左上角标示。Gi表示主动臂AiBi的重心，假设它在直线AiBi上，并且AiGi的长度为lG。设定Xi轴与X轴的夹角为φi（i=1，2，3），Xi轴与直线AiBi的夹角为θi（i=1，2，3）。则当整个并联机器人设计出来后φi（i=1，2，3）为一个已知量。θi（i=1，2，3）为主动副转角大小，选择它们为广义坐标。

图2 坐标示意图

2 动力学反解

在支路i中，根据位置矢量关系（如图2所示），可得到

量在惯性坐标系{W}中的表示为动平台上中心点P在坐标系｛W｝中的位置矢量，pX、pY和pZ分别为p沿X、Y、Z三个坐标轴的分量；pCi为动平台上从点P到点Ci的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示；pAi为静平台上从点O到点Ai的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示；p1i为主动臂上从点Ai到点Bi的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示。

在支路i中，假设空间平行四边形机构中从点Bi到点Ci的长度为l2；主动臂上从点Ai到点Bi的长度为l1。

根据图2，有

式中：RZ（φi）表示绕Z轴转动φi角的旋转矩阵；rp表示动平台上从点P到点Ci的长度。

式中，rb表示静平台上从点O到点Ai的长度。

式中：cθi表示cos（θi）；sθi表示sin（θi）。

式（1）两边左乘RZ（φi）T（即为RZ（φi）的逆），把各个位置矢量转换到坐标系｛Li｝中表示，有

根据旋转矩阵的定义得到

式中：cφi表示cos（φi）；sφi表示sin（φi）。

上式展开后整理得

式中：

由上式得到θi的值为

式中：

式（7）对时间求导得

式中：

设定Ii′、Ji′、Ki′分别为

把式（17）～式（19）分别代入（15），整理后得

把三个支路的关系式（20）合成一个矩阵，得

式中：

式（15）对时间求导得

式中：

设定L1i′、L2i′、L3i′分别为：

则式（24）可写成

从上式可得到主动转动副的角加速度θi为

式中L4i′定义为

为了后面动力学建模的需要，现在对主动臂上重心Gi和末端点Bi的速度和加速度进行分析。在支路i中，根据位置矢量关系（如图2），可得到

式中：pGi为静平台上从点O到主动臂重心Gi的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示；p1Gi为主动臂上从点Ai到点Gi的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示。

根据图2，有

把式（3）和式（33）代入式（32）中得

上式对时间求导，得到点Gi的平移速度vGi为

上式对时间求导，得到点Gi的平移加速度aGi为

在支路i中，根据位置矢量关系（如图2所示），可得到

式中，pBi为静平台上从点O到主动臂末端Bi的位置矢量在惯性坐标系｛W｝中的表示。

把式（3）和式（4）代入式（37）中得

上式对时间求导，得到点Bi的平移速度vBi为

上式对时间求导，得到点Bi的平移加速度aBi为

当选择θi（i=1，2，3）为广义坐标时，在坐标系｛W｝中，根据凯恩方程[9,12]得到

空间平行四边形机构中杆B1iC1i和B2iC2i的质量都为m2。因为杆B1iC1i和B2iC2i都是轻质杆，采用文献[13]中对Par4并联机器人动力学建模时采用的处理方法：忽略杆B1iC1i和B2iC2i转动惯量的影响，然后把杆B1iC1i和B2iC2i的质量等效为质量为m2的两个质点—点Bi和Ci。其中广义主动力Fi为

式中：aP=［aPXaPYaPZ］T表示动平台的平移加速度；Im表示电动机等效到电动机主轴上绕主轴的转动惯量；I1表示主动臂AiiB在重心Gi处绕平行于轴Yj的轴的转动惯量。

由式（20）得到

其中列向量jPi为

由式（35）得到

由式（39）得到

从而有：

把式（42）和式（43）代入式（41）得

把式（44）、式（46）～式（50）代入上式，得

由上式得到第i（i=1，2，3）个支路中电机驱动力τi的大小为

其中：

3 结论

本文忽略杆B1iC1i和B2iC2i转动惯量的影响，然后把杆B1iC1i和B2iC2i的质量等效为质量为m2的两个质点—点Bi和Ci。然后利用凯恩方程对三自由度Delta并联机器人建立了动力学反解模型。在整个推导过程中，只是用到了动平台的位置、速度和角速度参数和主动转动副转角、角速度及角加速度，不需要求出被动臂（即空间平行四边形机构）的位姿参数、（角）速度和（角）加速度。也不像拉格朗日方程需要引入拉格朗日算子等额外参数进行求解。本文建立的动力学反解模型结构紧凑，方便用于基于模型控制策略的设计中。