基本数论问题的例证教学方法研究与实践*

常万里 李晓东 张艳硕

北京电子科技学院，北京市 100070

1 引言

德国数学家高斯曾说“数学是科学的皇后，数论是数学中的皇冠”[1]，数论是一个具有千年历史的经典学科，是一门完全以初等的方法研究整数性质的古老数学分支。 《初等数论》课程主要研究整数的运算规律，要求学生熟练掌握初等数论的基本内容(如整除理论、同余知识、不定方程、素数分布与数论函数等)、基本思想与基本方法，可以促进学生对整数性质的深入理解，强化分析问题、解决问题的能力，有效扩充知识的广度，培养发散逻辑思维，为学生学习《离散数学》、《近世代数》、《代数几何》、《密码学》和《密码应用技术》等课程奠定必要基础[2]。

数论被誉为数学的皇冠，而数论中一些悬而未决的基本数论问题则被誉为“皇冠上的明珠”。 一直以来，对古老的若干数论问题的深入研究成为了现代数学发展的重要推动力之一[3]。 基本数论问题主要有哥德巴赫猜想、欧拉猜想、费马猜想、丢番图猜想和素数无限定理等等。

基本数论问题例证教学主要以基本数论问题及其扩展问题为引导，教学目的明确，将抽象的数论概念和基础理论，融入到例证化数论猜想探究中。 我们在实际教育教学过程中，重在启发学员积极探索，有效化解了数学知识枯燥且难以理解的问题，教学效果极大提升。 学生可以直观清楚地将初等数论知识与理论应用紧密结合，不仅提高了学生学习的积极性，也为数学知识的传授带来了实际应用的支撑。

在学习和研究基本数论问题的过程中，我们提出了“任何自然数反复进行各位数字求和后平方加2 的变换，都会收敛到123。”的猜想。 通过例证教学方法对此猜想进行实践教学，尽可能形象、清晰并直观地展现其应用价值，从而激发学生学习兴趣，增强学生对知识的理解和应用，提高学生利用数论猜想形成问题、分析问题并解决问题的能力[4]。

根据基本数论问题整数性质的不同，我们将例证教学方法在实际教学进行优化调整、在课程交流与实践中进行理论推广，在反思总结中不断融入新的创新点。 通过例证教学方法，帮助学生理解基本数论问题所内蕴涵的数学思想，激发学生的创造力、观察力与注意力，培养学生的抽象概括能力与想象能力。

2 基本数论问题

基本数论问题是数学发展的动力，科学发现的先导，促进了数学理论的发展，也促进了数学方法的研究。 数论的一个显著特点就是难题众多，并且不少难题都是千百年来悬而未决，其真假性无人知晓。 在《Fundamental number theory with applications， 2d ed.》一书中[5]，纵观了历史上的一些著名数论猜想，如哥德巴赫猜想、欧拉猜想、费马猜想、丢番图猜想和孪生素数猜想等等，这些基本数论问题对数学的研究和发展，起了积极的推动作用，正是无数数学家们的猜想，数学科学才发展到当今的现代数学，可以说，数学猜想是现代教学的必然要求。

2.1 哥德巴赫猜想[6]

德国数学家哥德巴赫(Goldbach C.)在1742年给欧拉的信中提出了这一猜想:“任何一个大于2 的整数都可以写成3 个素数之和”。 当时最伟大的数学家欧拉也无法证明这一猜想，直到19 世纪末都没有取得任何进展。 今日的哥德巴赫猜想被描述为欧拉的版本，即:任何一个大于2 的偶数都可以写成两个素数之和。 我国著名数论专家陈景润在1966 年证明出:任何一个充分大的偶数都可以表示成一个素数再加上两个素数之积，即所谓的1＋2，在国际上被称为陈氏定理。

2.2 欧拉猜想[7]

欧拉(Leonhard Euler)是世界著名的大数学家。 他在数学研究中常常使用大胆的猜测和巧妙的证明而得出了许多重要的发现。 他有一个著名猜想:任何可以写成8n＋3 的整数是一个平方数与一个素数的两倍之和，即8n＋3＝x2＋y(n为自然数，x为整数，y为素数)。

2.3 费马猜想[8]

1637 年， 法国数学家费马( Pierre de Fermat)提出:“当自然数n大于2 时，方程xn＋yn＝zn没有正整数解。”1760 年，瑞士数学家欧拉证明了n＝3 的情形；1823 年，法国数学家勒朗德证明了n ＝5 的情形；1839 年，法国数学家拉梅证明了n＝7 的情形；1978 年，瓦格斯塔夫在大型计算机的帮助下证明当2

2.4 丢番图猜想[9]

古希腊数学家丢番图(Diophantus)提出:“一个正整数可以写成4 个平方数的和。”例如:1＝12＋02＋02＋02，2＝12＋12＋02＋02，3＝12＋12＋12＋02，…，这个猜想于1770 年被法国数学家拉格朗日证明。 1773 年，欧拉给出了一个更简单的证明。

2.5 三素数定理[10]

三素数定理为每个充分大的奇数都是三个奇素数之和。 该定理首先由维诺格拉多夫(Vinogradov) 于 1937 年证明， 他利用Hardy-Littlewood圆法以及自己所创的三角和估计方法证明了上述结论。

2.6 孪生素数猜想[11]

孪生素数猜想是数论中的著名未解决问题。这个猜想产生已久；在数学家戴维·希尔伯特(David Hilbert)在1900 年国际数学家大会的著名报告中，它位列23 个“希尔伯特问题”中的第8 个问题，可以被描述为“存在无穷多个素数p，并且对每个p而言，有p＋2 这个数也是素数”。例如3 和5，5 和7， 11 和13， …， 10016957 和10016959 等等都是孪生素数。

素数定理说明了素数在趋于无穷大时变得稀少的趋势。 而孪生素数与素数一样，也有相同的趋势，并且这种趋势比素数更为明显。

新罕布什尔大学( University of New Hampshire，UNH)任教的华人数学家张益唐在孪生素数研究方面所取得了突破性进展，他证明了孪生素数猜想的一个弱化形式。 在最新研究中，张益唐在不依赖未经证明推论的前提下，发现存在无穷多个之差小于7000 万的素数对，这一研究被认为在孪生素数猜想这一终极数论问题上取得了重大突破。

2.7 Wilson 定理

威尔逊定理是以英格兰数学家爱德华·华林(Edward Waring)的学生约翰·威尔逊(John Wilson)命名的，尽管这对师生都未能给出证明。 华林于1770 年提出该定理，1773 年由拉格朗日首次证明。 在初等数论中，Wilson定理给出了判定一个自然数是否为素数的充分必要条件，即:当且仅当p为素数时:(p－1) ! ≡－1(modp) ，但是由于阶乘是呈爆炸增长的，其结论对于实际操作意义不大，但借助计算机的运算能力有广泛的应用，也可以辅助数学推导。

2.8 Mordell 猜想[12]

莫德尔猜想(Mordell conjecture)是关于算术曲线的有理点的重要猜想。 具体地，数域K(有理数域的有限次扩域)上任何亏格g≥2 的代数曲线均只有有限多个K－点(有理点)。 该猜想由德国数学家G. Faltings 于1983 年证明。

2.9 Weil 猜想

Weil 猜想是安德雷·韦依(André Weil)提出的一个重要猜想，在这个猜想的研究过程中发展和完善了现代代数几何和数论的框架。

A. Weil 本人证明了该命题。 高维Weil 猜想(代数簇情形)证明起来更为困难，为证明该猜想，A. Gröthendieck 创立了现代代数几何(概型语言)。 B. Dwork，M. Artin 和A. Gröthendieck等对于证明高维Weil 猜想均做出重要贡献。 高维Weil 猜想最困难的部分被P. Deligne 利用代数几何中的Etale Cohomology(平展上同调)﹑Rankin 的估计等工具于1973 年证明。

2.10 其他数论问题

其他基本数论问题有二次剩余理论、同态基本定理、离散对数问题、格上的最短向量问题等等，这些数论问题在公钥密码学研究中有着广泛深远的影响。 公钥密码的安全性理论基础是计算复杂性理论，通常是基于特定数学难题的计算困难性而设计的，主要有大整数因子分解的困难性，有限域上离散对数的难解性，椭圆曲线加法群上离散对数的难解性等。

这些基本数论问题在实际教育教学中，具有抽象、复杂、难以理解等特性。 在传统教学中，重结果、轻过程、重演绎、轻猜想，极大地妨碍对学生思维能力的培养，减少了对学生可持续发展潜力的挖掘[13]。 日常授课的困难主要在于学生难以将数论知识充分理解，并加以实践应用。 为此，我们提出了对于基本数论问题的例证教学方法理论，将基本数论问题通过例证化进行深入探究，极大提升教学效果。

3 例证教学方法理论

基本数论问题例证教学方法以基本数论问题及其扩展问题为引导，教学目的明确，重在启发学员积极探索，有效的化解了数学知识枯燥并难以理解的问题，教学效果极大提升。 学生可以直观清楚地认识到所学习的初等数论知识和理论应用紧密结合[14]。 例证教学方法突出对学员数学应用能力的培养，利用基本数论问题例证知识，将数论基本概念和基本理论的抽象性和复杂性以及难以理解性，尽可能形象、清晰并直观地展现其应用价值。

3.1 例证教学内容

《初等数论》课程的教学，一方面对培养学生系统、科学的数学思维能力和严密的逻辑思维能力，以及学生今后从事科学研究和实践都起到重要作用。 《初等数论》课程中基本数论问题的例证教学方法主要以基本数论问题及其扩展问题为引导，对课程中基本数论问题进行教学模式改革，通过实例来系统覆盖数论知识点，设计适应《初等数论》不断发展的教学新模式，将抽象的概念和基础理论融入例证化数论猜想探究中，解决《初等数论》课程中理论与实际应用的矛盾，满足人才培养特色的需求，适合学院人才培养的体制机制[15]。 这样形成的重点突出，适应发展、结合实际、深入浅出的教学新模式，更好地激发学生对于课程的兴趣与理解。

3.2 例证教学方法

基本数论问题的例证教学方法以基本数论问题及其扩展问题为引导，是一种以基本数论问题和应用实例为基础的教学法，主要是指以应用实例为背景，组织《初等数论》教学，起到对数论问题概念从个体到一般、从具体到抽象的思维转换过程，并在整个教学环节中，以教学实例为牵引，探究《初等数论》理论教学。 例证教学方法一方面能在极大程度上调动学生学习兴趣， 激发学习积极性。 另一方面，传授给学生新的思想方法，以开阔思路， 发挥教学应有的作用。

例证教学方法的具体实施步骤主要分为分析问题、简单实验、推导问题、验证猜想、得出推论五个部分，尽可能形象、清晰并直观地展现数论基本概念和基本理论的抽象性和复杂性，合理组织其教学过程，选择具有针对性的基本数论例证材料和方法，制定合理、高效、寓教于乐的教学方式。

在对诸如哥德巴赫猜想、欧拉猜想、费马猜想、三素数定理等基本数论问题的实际教育教学过程中，我们采取例证教学方法，配以多媒体教学手段，让学生系统完整地理解和学习数论问题的理论与应用。

在学习哥德巴赫猜想时，我们通过创设问题情境，引导学生发现问题和提出问题，激励学生积极思考，进行以基于“素数生成”为中心的学习，引导学生对素数查找的案例展开讨论和探究，以培养学生的研究能力[16]。

在学习三素数定理时，我们为学生设置不同的前置性问题，引导学生设计出多样性的素数生成方案，再由教师进行指导，对素数生成方案进行不断改进，以培养学生的自学能力和创新能力。

在素数无限定理、孪生素数问题时，我们通过在多媒体中运用丰富的数学模型和物理模型进行讲解，更加直观具体的表现出不同素数生成方案在实际应用时的差别，提升学生对于数论理论与素数实际应用的结合，增加学生对问题的思考与理解[17]。

3.3 例证教学意义

例证教学方法区别于经常提到的题例或案例教学，例证教学方法更加贴近专业背景，例证的选取能够可以有效的服务于理论知识[18]。 例证教学方法突出对学员数学应用能力的培养，利用基本数论问题例证知识，将数论基本概念和基本理论的抽象性和复杂性以及难以理解性，尽可能形象、清晰并直观的展现其应用价值，从而激发了学生的学习兴趣，增强了学生对知识的理解和应用，提高了学生利用数论猜想形成问题、分析问题、解决问题的能力[19]。

例证教学方法具有联想性，追本溯源等特点。 教学中艰深难懂的知识点，利用基本数论问题所涉及的数学发展史说明，解释相关数论概念的提出动机，产生背景。 激发学生联想所学数学知识是与实际问题紧密相连的，帮助学生克服对理解抽象概念的恐惧心理，提高学生对相应知识点的学习兴趣[20]。 从教学的过程中，让学生充分掌握了将实际数学问题概括为基本数论问题的方法，切实培养了学生的应用数学能力、创新思维能力。

在新一轮的课程改革中，对培养和提高学生的创新能力和创新意识提出了明确要求[21]。 数学猜想是一种创造性思维方法，若平时能有意识地加强对于基本数论问题例证教学活动，则能使创新能力和创新意识的培养真正落到实处，应该让例证教学在数学课堂中成为一种常态。

3.4 例证教学举例

素数无限定理[22]:素数又称质数。 一个大于1 的自然数，除了1 和它自身外，不能被其他自然数整除的数叫做素数；否则称为合数(规定1 既不是质数也不是合数)。 关于素数有无穷多个的证明，早期经典的证明可以追溯到欧几里德(Euclid)的《几何原本》。 这也用到了数学中的反证法，被认为是经典之作，以后又出现十几种证明方法。

在教学实践过程中，我们应用例证教学方法对素数无限定理给出了以下证明:

假设素数为有限的n个，其中最大的素数是p。 设q为所有素数之积加上1，那么，如果q＝(2× 3× 5× ……×p)＋1 是素数，则q>p成立，q为比p大的素数，与假设矛盾。 如果q为合数，则q一定不能被小于p的任何一个素数整除，那么q的最小素因子m，一定大于p，即大于p的素数存在，与假设矛盾。

综上可知素数是无限的。

关于是否存在上述第二种可能，下面利用编程给出演示:

图1 程序演示

由上图可知2× 3× 5× 7× 11× 13＋1＝30031 为合数，唯一的分解为59×509；虽然在开始的几行中结果为素数的居多，但随着q的平方根逐渐增大，使得在p与q的平方根之间的整数增大，在这个整数空间中包含q的素因子几率增多，以至于q为素数的情况越来越少。

以现有计算机的条件下，我们可以找出比较大的素数p，如图二所示:

图2 素数p

4 例证教学方法应用实践

在实际教育教学过程中，我们提出了一个关于自然数数位相加的数论猜想，下面我们应用基本数论问题的例证教学方法对此数论猜想进行教学实践。

4.1 教学方法应用实例

在学习和研究哥德巴赫猜想的有关问题过程中，我们提出了一个关于自然数数位相加的数论猜想:任何自然数反复进行各位数字求和后平方加2 的变换，都会收敛到123。 即:对任意k∈N＋，将k的各数位数字求和得到M，进一步得到k＝M2＋2，重复以上运算，k最后收敛到123。进一步使用C语言编程，利用计算机检验了20亿以内的自然数都满足猜想[23]。

当1 ≤k≤16 时，得到结果如表1 所示:

表1 1 ≤k ≤16 时猜想验证

(1)数论猜想归纳证明

在对数论问题的研究过程中，会发现存在着多种多样的数学证明方法，经常使用的数学证明方法有构造性证明、反证法、数学归纳法等，在实际应用这些方法解决数学问题的过程中，有的只会应用到其中的一种数学证明方法，而有的则需要结合几种数学证明方法才能够很好地将相关的数学问题加以解决。 在数论中，数学归纳法是以一种不同的方式来证明任意一个给定的情形都是正确的数学定理。 数学归纳法并非不严谨的归纳推理法，它属于完全严谨的演绎推理法。事实上，所有数学证明都是演绎法。 下面我们运用数学归纳法来证明这个猜想:

证明:

设自然数经过一次数位相加再平方加2 为一轮运算。 经程序验证，数位相加后值在1－99的自然数均满足猜想。

当1 ≤k≤99 时，即k取两位数以内时，数位相加的最大值为18，因为数位相加后值在1－99 的自然数均满足猜想，故猜想成立。

当100 ≤k≤999 时，即k取三位数时，数位相加的最大值为27， 经过一轮运算后的最大值为731，所以第二轮运算的数位相加最大值小于等于24，因为数位相加后值在1－99 的自然数均满足猜想，故猜想成立。

当1000 ≤k≤9999 时，即k取四位数时，数位相加的最大值为36， 经过一轮运算后的最大值为1298，所以第二轮运算的数位相加最大值小于等于27，因为数位相加后值在1－99 的自然数均满足猜想，故猜想成立。

当k≥ 10000 时， 即k取m位数时(m≥5) ，第一轮数位相加的最大值为9m， 经过一轮运算后的最大值为81m2＋2。 设81m2＋2 的位数为m′，总有数位m′

综上所述，任何自然数反复进行各位数字求和再平方加2 的变换，最终都会收敛到123。

证毕。

(2)数论猜想验证程序

下面我们运用一个C 语言程序来部分验证这个猜想[21]:

我们在Windows 10 操作系统中对此程序进行仿真实验，该实验的软件运行环境为Visual Studio Code，硬件主机的配置环境为Intel Core i5－9300H 2.4Ghz，RAM 16GB。

在使用C 语言对此猜想进行验证时，通过for 循环中嵌套while 循环，利用除10 算法提取出整型变量各个数位的数字，并进行数位求和与平方加2，在if 语句判断后跳出循环，并进行打印。 接下来不断改变取值范围，利用计算机检验了20 亿以内的自然数都满足猜想。

(3)数论猜想延伸

1、在递归到123 的前一轮运算中，各个数位进行数位求和的值应为11， 例如: 29、38、47、146、227。

2、形如9n的数字(n为自然数) ，在经过一轮运算后，再进行有限次数位相加的值，最终结果为2。

4.2 研究方法思考

数学猜想作为一种高级的创造性思维方法对培养学生的创造性思维和创新品质有着重要的作用，是实现问题解决的一种重要的思维方法，是创新思维的重要组成部分，是发展学生思维品质的一个良好契机[24]。 我们基于基本数论问题的例证教学方法， 给出一些行之有效的原则及具体方法， 作一定范围内的一般方法的探讨， 在形成良好思维定势之外， 更重要的是注重数学思维活动的展开， 通过数学猜想、检验去探索数学问题， 培养学生创新意识及创新能力。在日常实际《初等数论》课程教学中应用例证教学方法，有以下三点优势[25]:

(1)猜想是一种高级的思维方式，那作为学生的引导者的教师则要具备一定的猜想能力，必须懂数学猜想，知道猜想的规律，才能更好地引导学生猜想。 通过例证教学方法在日常学习中饭提升猜想能力， 培养学生创新意识及创新能力。

(2)在平时教学中让学生养成数学猜想的思维习惯，如注重知识的发生和发展，理解问题内部的本质联系，利用对称、统一、奇异的数学特征去引导学生欣赏数学美和发现数学问题。 这样可使学生的猜想思维活动由不自觉或盲目的状态，发展为有意识有目的的创造活动。

(3)努力营造宽松愉快的猜想氛围。 老师不必去限制学生思维的疆域，鼓励学生多积极主动思考，不满足现成解答，大胆猜想，不断开拓。在例证教学过程中，猜想合理的给予积极鼓励，猜想偏向的给予细心引导，使学生的被动的猜想行为转变成自觉的猜想行为，切实让培养学生的创造性思维和创新意识落到教学实处。 在例证教学中在合适的时间不断的渗透数学猜想思想，提高学生的解题能力，进而培养其猜想能力，提升解决问题的能力，以达到培养学生创造能力的目的。

在对教学方法的实际应用时，我们还发现了一些不足。 例证教学方法是以基本数论问题及其扩展问题为引导的教学方法，这对于教师的教学迁移能力、灵活应变能力和联想发散能力均提出了较高要求。 同时，在对某些基本数论问题的教学研究中，例证教学法并不能充分契合日常教学要求，这时教师应能够针对不同的问题选择最合适的数学教学方法，这样才能够充分提高教学效率，更好地解决相关基本数论问题。

5 研究方法推广

在《初等数论》课程的教学实践过程中，我们认为关于《初等数论》的教学方法的研究意义极大，可推广性极强，联系方面极广，需同时满足多样、丰富、合理高效、寓教于乐等特点。 为此我们对基本数论问题的例证教学方法提出了以下三点改进意见:

(1)《初等数论》的教学若采取传统教学和多媒体教学相结合的方式，可以达到更好的效果。 比如，对一些定理的证明和较难的例题可以通过板书，而对大家已熟悉的数论概念和应用举例可以通过课件进行展示，尤其是讲到有的数论问题时可以借助课件大信息量的特点介绍相关数论学家的故事和成果，或者展示数论在计算机科学、密码学、最优设计等领域的应用。 例如，在讲到整数的整除和同余时可以通过课件展示人类保密通讯的历史发展过程中的“凯撒密码”，“维吉尼亚密码”；讲到整数的唯一分解时可以借助课件介绍至今仍在信息安全各领域使用的“RSA 公钥密码”[26]，这可以让学生了解数论知识与我们生活的密切联系。

(2)由于整数是无穷的，对于一些很大的整数的数论性质通过人工的方式无法检验，然而随着计算机的发展，初等数论中最基本、最常用的知识都可以结合具体的实例通过算法编程来实现。 例如，在讲到利用埃拉托斯尼斯筛法判别一个正整数是否为素数时，就可以借助已有的相关程序来检验较大的整数，使学生更直观地理解和掌握数论知识。 总之，适时地通过课件展示可以加深学生对数论知识的理解，又可以在有限的课堂教学时间里使学生获得更多的知识。

(3)《初等数论》的教学则应注重其与交叉学科间的相互渗透。 例如，初等数论中的整除与数进制和计算机紧密相连、数论函数在组合学中有重要应用、同余定理为解决密码学中的信息安全问题提供了核心技术——公开密钥[27]。 因此在讲解这些内容时要注重其应用背景，实现交叉学科间的相互渗透，为学生提供多方面的理论支持。 针对不同发展方向的学生实现分层教学，侧重不同的教学内容，使每个学生不仅在初等数论课堂上学习到了课本上的知识，更为其未来的发展奠定良好的基础。 根据基本数论问题整数性质的不同，以例证教学方法在实际教学进行优化调整、在课程交流与实践中进行理论推广，在反思总结中不断融入新的创新点。

6 总 结

在计算机科学与电子技术深入发展的今天，数论已经不再仅仅是一门纯之又纯的数学学科，同时也是一门应用性极强的数学学科，数论已经在诸如计算、密码、物理、化学、生物、声学、电子、通讯、图形学等诸多领域中都有着广泛而深入的应用[28]。 同时，数学猜想是学习数论问题的重要途径之一，在平时的课堂教学中，营造氛围，给学生提供猜想的空间，培养学生数学猜想的理念。 在数论教学中应用基本数论问题例证教学方法，以数学猜想激发学生的学习积极性，让他们在体验探索的过程中对自己发现的东西会理解得更深刻，掌握得更牢靠，运用得灵活，又可以使学生的观察力、注意力、概括能力、想象能力得到更好的发展。

综上所述，数学证明方法与数学猜想实现之间存在较为密切的联系，在应用一定的证明方法解决相应的数学问题时也会遇到一定的困难。经过以上思考，我们提出了基本数论问题的例证教学方法。 在基本数论问题的例证教学方法的不断研究过程中，我们基于哥德巴赫猜想提出了一个有关数位相加的数论猜想并加以证明，在教学实践中取得了很好的效果。 在实际教育教学中应用基本数论问题例证教学方法，提高了学生的自学能力、解题能力，培养了学生的创新能力、创造能力。

在我国新一轮的课程改革中，也对培养和提高学生的创新能力和创新意识提出了明确要求，因此，教师帮助学生学习《初等数论》基本问题的过程中，也应当提醒学生充分发挥其主观能动性，能够针对不同的问题选择最合适的数学教学方法，这样才能够提高解决数学问题的效率，从而更好地解决相关数学问题。 大学教育绝不单是知识的简单传授，例证教学方法研究的目的和初心就是通过例证教学，帮助学生理解基本数论问题的数学思想所在，最大限度地激发学生的创造力。