鲁棒迭代学习模型预测控制的实现研究

陈妮

（廊坊热电厂 河北省深州市 065000）

迭代学习控制可以在对之前批次信息的应用下，实现对学习的优化，进而合理调整控制输入轨迹，也就有助于显著提高跟踪性能能，提高跟踪精度。所以这一控制方法在间歇过程控制中的应用较为广泛，然而ILC 为典型开环控制，所以针对系统时域稳定性无法保障，也没有足够的实时干扰处理能力，在应用中需要结合系统反馈控制，以确保系统镇定且对其外部扰动起到抑制作用。针对ILC控制器设计中，通常会忽视被控对象，但是系统收敛性直接受到被控对象数学模型的影响，所以在设计中一定要和被动对象数学模型收敛条件相符。其中就算是在鲁邦反馈控制系统，实现了对ILC 控制器的设计，然而和鲁棒性相关信息并没有得到充分应用。想要对这一问题进行改善，本文在研究中在确保鲁棒性性能加权函数技术上，实现了对单轴ILC 控制器的设计。并通过仿真分析实现对其应用性能的研究。

1 迭代学习控制

本次主要是考虑到CARIMA 离散时间系统模型中所描述的重复过程，具体表示为：

式中：

t——重复中不同个执行周期中的离散时间指标；

k——重复周期指标；

T——各执行周期的固定时间长度；

y(t,k)——重复过程第k 个执行周期的t 时刻输出；

u(t,k)——重复过程第k 个执行周期的t 时刻输入；

w(t,k)——重复过程第k 个执行周期的t 时未知扰动信号；

qt

-1——沿离散时间指标t 的单位平移算子；

∆t——沿离散时间指标t 的单位平移算符，其∆t=1-qt-1；

A（qt-1）——输出信号算子多项式，定义为A(qt-1)=1-a1qt-1+...+ anqt-1；

B（qt-1）——输入信号算子多项式，定义为B(qt-1)=1-b1qt-1+b2qt-1+ ...+bmqt-1。

单纯从形式上来看，以上模型针对重复过程中的输入、输出以及扰动变量全部看成是t 和k 的函数，然而基于表征过程动态算子多项式能够发现，模型仅对沿时间指标的动态特性进行了描述，忽视了沿重复指标k 状态。在各个批次中，如果扰动信号w(t,k)均一致，代表重复过程动态和周期指标没有太大关联性，过程即为完全重复。针对以上公式（1）中所描述的重复过程，迭代学习控制律设计具体为：

图1：单轴ILC 控制系统

图2：轮廓误差的均方根

式中：

l(t,k)——待设计的迭代更新律；

∆tu(t,0)——初始周期控制增量信号。

以上提出的公式（1）和公式（2）共同组成的控制系统，即为迭代学习控制系统，在设计中重点即为实现确定合理迭代更新律，以能够确保在重复过程中依照期望轨迹跟踪性能，可以在重复过程中逐渐得到改善。

2 鲁棒迭代学习控制器设计

在鲁棒迭代学习模型中，为能够降低各单轴跟踪中存在的误差，本次在鲁棒ILC 控制器设计中，基于性能加权函数实现在各弹轴位置环的设计。在图中yd(t)为期望输出，y(t)和u(t)分别为实际输出和反馈控制输入。另外C(s)代表反馈控制器，对系统稳定性以及鲁棒性提供保障；G(s)代表存在不确定性的被动对象，描述对象主要为：

式中：

Gn(s)——系统标称矩阵；

∆——未知不确定性函数，可以实现对；

Wu(s)——已知不确定性加权函数。

在C(s)设计中，基于鲁棒控制理论中的混合灵敏性问题，相应的引理为：引理1：针对上图1 中的反馈控制系统，G(s)描述详情见公式（3）。由此可得这一系统鲁棒充分必要条件为：

以上公式和以下公式一致：

式中：

S(s)——灵敏度函数，S(s)=1/(1+Gn(s)C(s))；

Gn(s)——已知性能加权函数；

T(s)——补灵敏度函数，T(s)=1-S(s)。

单轴ILC 控制系统详情见图1。

在单轴ILC 控制系统中，相应的迭代控制输入vk(s)具体为：

如果v0(s)=0，跟踪误差Ek(s)的计算公式为：

式中：

k——迭代次数；

Q（s）——ILC 控制器下标。

将定理1 中的Q(s)更换为Wp(s)，也就能够得到定理2。结合定理2，能够在反馈控制器C(s)设计对性能加权函数Wp(s)应用，进而实现对ILC 控制器Q(s)的控制。在此过程中，不必针对Q(s)单独设计，也可以实现对ILC 系统鲁棒性以及收敛性的保障。但是如果Wp(s)幅值小于等于1 情况下，才能够确保定理2 成立。如果不在这一条件下，剩余误差和学习前误差相比偏大，同时在反馈控制器设计中，为能够降低跟踪误差，Wp(s)幅值一般均会在1 以上。所以针对这一问题，进行了修改，即为定理3。

定理3：针对上图2 中的ILC 系统，迭代学习律见公式（6），如果k →∞情况下，系统的收敛充分必要条件具体为：

通过引理1 和相应的公式能够得出：

由于C（s）可以实现对反馈控制系统鲁棒性的保障，因此以上公式（8）的成立即可以实现对系统充分必要条件成立的保障，具体为：

通过公式（9）能够发现，Q（s）阶次和Wp(s)阶次相比应该偏大，所以Q（s）截止频率和Wp(s)相比应该偏小，以能够实现对曲线下方提供保障。

3 实验仿真分析

基于Matlab 中的鲁棒工具箱实施反馈控制器计算，具体为：

CCC 控制器具体表示为：

期望输出轨迹呈现出四叶草，各单轴的期望输出表示为：

假设在各次迭代中，系统扰动属于是-10～10N 的随机值。初始输出假设为ux0(t)=uy0(t)=0，迭代次数设置为8。对其实施迭代发现，就算是被动对象模型不确定模型受到了随机扰动的影响，然而各个控制器均可以实现对各单轴跟踪误差的降低，且收敛为0。其中轮廓误差均方根详情见图2，从图中能够发现，所完成的CCC 控制器Kc(s)可以显著降低轮廓误差，同时在ILC 作用下也能够确保其基本收敛为0。

本次系统设计的反馈控制器、鲁棒ILC 控制器针对CCC 控制器实施图形轮廓跟踪看出，期望轮廓和实际轮廓在连续实施8 次迭代后，基本实现重合，从这一点可以看出本次设计的控制器可以实现对轮廓的精确跟踪，预测控制效果好。

4 结语

本次研究所得结论：

（1）结合不确定直驱系统鲁棒性条件以及鲁棒收敛条件，实现对单轴ILC 控制器的设计，且完成直驱XY 平台系统模型建构，实现优化设计

（2）这一模型在应用中，和传统ILC 控制器相比，显著提升了跟踪精度及轮廓精度。仿真结果显示这一方法更具有预测控制正确性。