基于模拟退火-蚁群变步长优化算法的椭偏数据反演分析

赵明琳 ，吴嘉瑶 ，童荣景 ，赵明瑶

(1．江苏科技大学 理学院，镇江 212100 )(2.北京大米未来科技有限公司，北京 100123)

随着新型薄膜材料的大量涌现，基于薄膜材料的各种半导体器件、太阳能薄膜器件、光电器件以及高温超导薄膜器件等都得到了快速的发展，而新型薄膜器件的研发与性能的优化，都离不开对薄膜材料基础光学参量的深入理解[1-3].椭圆偏振光谱能够无损的获取薄膜材料的厚度和复光学常数，是目前薄膜材料光学特性分析的最优测量技术之一[4].椭圆偏振光谱作为非直接测量技术，其椭偏方程是非线性的超越方程，因此椭偏数据的处理过程中涉及到的反演算法一直是椭圆偏振光谱技术研究的难点之一.目前，粒子群算法、单纯形算法、蚁群算法、遗传算法和模拟退火算法等多种算法均已被应用于椭偏数据的处理中[5-10]，其中文献[10]首次给出了蚁群算法在椭偏数据处理问题中的应用，但是此前单纯的蚁群算法仍然存在两个问题：一是蚁群算法只接受评价函数更低的蚂蚁，最优蚂蚁一旦陷入局部最优解就难以跳出；二是原蚁群算法中蚂蚁的全局搜索步长和局部搜索步长的变化范围限制在千分位精度上，不能再以更小的步长移动，使得迭代后期最优蚂蚁会跳过评价函数的低谷区，算法的评价函数无法进一步降低.

因此，文中在蚁群算法的基础上，提出了一种模拟退火-蚁群变步长优化算法来处理椭圆偏振光谱的数据反演问题.该方法融合了模拟退火算法和蚁群算法，以模拟退火机制按一定概率接受次优解，同时引入动态步长，通过逐步降低局部搜索步长来进行更精细化的搜索.将该算法应用于高温超导薄膜FeSe的椭偏数据处理，实验结果表明，应用该混合优化算法得到的反演结果准确，且混合优化算法的收敛速度更快，评价函数更优.

1 椭圆偏振光谱基本原理

图1给出了单层薄膜中光的反射与折射示意图.椭圆偏振光谱是一种反射光谱，以单层吸收薄膜为例，入射光在薄膜层内多次反射，光的偏振态受到薄膜的厚度和复光学常数的调制，导致反射光在薄膜表面反射前后的振幅和相位发生改变.椭圆偏振光谱仪可以获取椭偏参量(Ψ,Δ)来表征反射光偏振态的变化.在薄膜中传播的光可分为光矢量在入射面内的p偏振光和光矢量垂直于入射面的s偏振光，椭圆偏振光谱测量的即为p光和s光的总的复反射系数Rp、Rs比值[11]：

图1 单层薄膜中光的反射与折射Fig.1 Schematic diagram of photic reflection and refraction in monolayer film

(1)

(2)

公式(1)为椭偏方程，而公式(2)则表明了椭偏参量Ψ和Δ分别对应着反射光振幅和相位的变化.对于单层薄膜来说，则有[12]：

(3)

ρ=tanΨeiΔ=f(λ,θ0,N0,N1,N2,d1)

(4)

实际情况下θ0，λ，N0和N2一般为已知量,薄膜的厚度d1和薄膜的复光学常数N1=n+ik(其中为n折射率，k为消光系数)为未知量，显而易见，椭偏方程实质上是一个非线性的超越方程.在对椭偏方程进行反演分析时，通过比较模拟椭偏参量和实验椭偏参量之间的差异来判别尝试解的优劣，文中的反演算法所用到的评价函数(MSE)为[13]:

(5)

式中：Q为涉及到的总的波长数量；下标cal，exp，err为椭偏参量的模拟计算值、实验值、预期误差.

2 模拟退火-蚁群变步长优化算法的实现

文中的混合优化算法在蚁群算法中融合了模拟退火算法，优化设计了每个蚂蚁的领域搜索规则，其中算法优化涉及的关键点在于：① 将Metropolis准用于来判断是否接受每个蚂蚁的领域搜索解，若邻域解小于移动前的解，则接受邻域解；若邻域解大于移动前的解，对于最优蚂蚁，不接受次优解，对于非最优蚂蚁，按照一定概率接受次优解.② 将局域搜索步长进行动态调整，进行变步长搜索.

动态步长由基础值、随机乘数、级数乘数三部分组成，其值为三者的乘积.基础值保证了不同步长的变化范围和不同步长之间的相对关系，随机乘数保证了步长的随机性，级数乘数动态的根据评价函数值调整步长的数量级.由此，该混合优化算法可以防止算法陷入局部最优解，同时动态降低步长可防止最优蚂蚁跳过评价函数的低谷区，从而提高了反演算法的搜索速度和准确度.该模拟退火-蚁群变步长优化算法的流程如图2.

图2 模拟退火-蚁群变步长优化算法流程Fig.2 Flowchart of the dynamic step ant colony optimization-simulated annealing algorithm

模拟退火-蚁群变步长优化算法的具体步骤：

步骤1 初始化各参数，设定退火算法初始温度、退火衰减系数alpha、Markov链长度、最大迭代次数；初始化蚁群算法蚂蚁数量，初始化解空间{n,k,d}.

步骤2 在初始温度下利用蚁群算法获得局部最优解，随机放置N个蚂蚁于解空间{n,k,d},并行求得N个蚂蚁的局部最优解和对应的评价函数值Taum，比较获得最优评价函数min(Taum)和最优蚂蚁.

步骤3 按照邻域搜索规则搜索蚂蚁的邻域解和对应的新评价函数值.

步骤4 依据Metropolis准则决定非最优蚂蚁是否接受新解，并更新蚂蚁位置和目标函数值.

步骤5 重新比较选择出最优蚂蚁，并记录.更新局部迭代次数k，更新总迭代次数.

步骤6 判断局部迭代次数，若局部迭代次数小于Markov链长度L，跳到步骤7，若局部迭代次数大于Markov链长度，则跳到步骤8.

步骤7 在同等温度迭代重复步骤2～7.

步骤8 按照指数降温公式进行降温操作，重置局部迭代次数.

步骤9 判断是否满足算法终止条件，若不满足终止条件，则跳回步骤2，在更低的温度下判断是否接受次优邻域解，若满足终止条件，则优化程序结束.

3 实验与结果分析

FeSe是最为简单的铁基高温超导材料，其晶体结构(图3(b))仅具备铁基超导材料的最基本结构单元FeSe层，研究其光学性质有助于深入理解铁基超导材料的基础物性和超导特性来源[15-17].文中，以FeSe薄膜的椭偏光谱为例，来验证混合优化算法.利用脉冲激光沉积技术在CaF2衬底上制备了FeSe高温超导薄膜，具体的制备过程及参数见已发表的文章[18-19].采用X射线衍射方法(D8 ADVANCE,Bruker)对薄膜进行了物相分析，测试结果如图3(a)，XRD测试结果表明FeSe薄膜为c轴外延的高质量单晶薄膜样品.椭圆偏振光谱的测试采用的是武汉颐光公司的SE-VM椭偏光谱仪，在室温下以65°入射角测量了FeSe薄膜在300～800 nm波段的椭偏光谱.采用扫描电子显微镜(Hitachi S-4800)表征了FeSe薄膜的截面SEM图像，从图3(c)可以得到薄膜的厚度大致为140 nm.

图3 晶向、晶体结构和表面形貌Fig.3 Crystal orientation crystal structure and surface morphology of fese

为说明文中提出的混合优化算法的准确性和可靠性，我们分别运用原蚁群算法，改进后的混合优化算法对椭偏数据进行了点对点反演分析，同时也通过商业化软件对椭偏数据进行了基于色散模型的反演分析.因点对点反演分析时每个波长下的分析彼此独立，每个波长下均给出一个薄膜厚度值和评价函数值，而基于色散模型的反演分析仅基于整个波段给出一个薄膜厚度值和评价函数值，为便于分析讨论，在进行椭偏数据反演时，FeSe薄膜的厚度取定值，不参与拟合，FeSe薄膜厚度采用截面SEM测试得到的厚度值140 nm.经过实验，每个波长选择50个蚂蚁组成蚁群，设置退火降温衰减系数为0.95.当评价函数小于1.0时，动态步长级数乘数降低为0.1，当评价函数小于0.01时，动态步长级数乘数降低为0.01.经过大量实验发现，基于评价函数取值动态调整级数乘数即能保证迭代前期跳出局部最优解，又可以在迭代后期达到更快的收敛速度，获得更准确的解.图4，5分别给出了椭偏参量Ψ和Δ的实验数值以及运用不同反演方法得到的模拟数值，图6给出了应用不同反演方法得到的FeSe薄膜的折射率和消光系数.从图4，5，6中可以看出3种方法均能很好的逆向求解椭偏数据，实验数值与模拟数值较为一致，本文中的混合优化算法点对点反演得到的数值与商业化软件中基于色散模型得到的折射率n和消光系数k基本一致，说明本混合优化算法能够实现椭偏数据的反演分析，且得到的数据真实可靠.

图4 FeSe薄膜的椭偏参量Psi实验数值及模拟数值Fig.4 Experimental and simulated data of ellipsometric parameter Psi of the FeSe film

图5 FeSe薄膜的椭偏参量Delta实验数值及模拟数值Fig.5 Experimental and simulated data of ellipsometric parameter delta of the FeSe film

图6 多种反演方法得到的FeSe薄膜的折射率和消光系数Fig.6 Refraction index and the extinction coefficient of the FeSe film obtained by different regression and inverse analysis

图7给出了原蚁群算法和改进后的混合优化算法在反演分析FeSe薄膜椭偏光谱300 nm波长下的椭偏数据时的评价函数MSE随迭代次数的变化趋势，可以看出，模拟退火-蚁群算法因为采用了动态变化的局域搜索步长，从而使得算法整体的收敛速度显著提升.各个波长的平均收敛迭代次数从500轮降低为300轮，在200轮基本达到最低点，收敛速度提升40%.此外，因为混合优化算法有效的融合了模拟退火算法，增强了算法跳出局部最优解的能力，因此评价函数的数量级相较于蚁群算法有效下降了4～5个数量级，最终得到的反演结果质量更好，图8给出了不同波长下两种算法的最终评价函数的对比结果，可以看出，整体上混合优化算法的评价函数明显低于原蚁群算法，进一步说明了混合优化算法的反演结果更好，跳出局部最优解的能力更强.

图7 蚁群算法和模拟退火-蚁群算法的收敛速度对比Fig.7 Convergence rate of ant colony algorithm and ant colony optimization-simulated annealing algorithm

图8 蚁群算法和模拟退火-蚁群算法的评价函数性能比较Fig.8 MSE values of ant colony algorithm and ant colony optimization-simulated annealing algorithm

4 结论

(1)针对椭圆偏振光谱数据的反演分析问题，文中将模拟退火算法融合进蚁群算法，同时将局域搜索步长改进为依据评价函数动态变化的变步长搜索策略.

(2)混合优化算法有效地融合了蚁群算法和模拟退火算法的优点，通过对高温超导薄膜FeSe的椭偏数据的实例分析，可以表明，在椭偏数据反演分析上，该混合优化算法是可靠的，且具备较强的跳出局域最优解的能力，算法的收敛速度明显提升.