中学数学教师怎样理解数学

蒋 双，赵思林，李红霞

(内江师范学院 数学与信息科学学院，四川 内江 641100)

正确地理解数学是中学数学教师基础性的数学核心素养．《教育大词典》认为，数学教师专业素质是由“良好的个人品德，职业道德，有比较广博的知识，精通数学学科知识，教育理论素养，语言素养，能力和身体健康[1]”组成的．数学教师的专业知识主要包含数学本体性知识；数学教育知识；数学教学知识以及对数学课程标准的准确理解[2]．理解数学的素养，对中学数学教师而言容易片面地局限于对数学知识的理解.而在研究者看来更应重视对整个数学的宏观认识和理解，如对“数学的定义”“数学的特点”“数学化”“数学的价值”“数学的发现创造机制”等内容的理解．前者偏重于理解数学的“树木”，后者偏重于理解数学的“森林”．本文侧重于对整个数学的宏观认识和理解．

1 问题的提出

1.1 研究背景

王宏等[3]认为，中学数学教师的数学学科知识是教师个体专业发展过程中的核心，是数学教师专业地位的来源和依据．中学数学教师的数学学科知识素养是中学数学教师核心素养的基础，更是中学数学教师必备的素养之一．郑晨等[4]对文献统计分析发现，中国数学教师学科知识的研究在选题和研究方法方面存在一些问题．数学学科知识在教师专业发展中占有核心地位[4]，但涉及数学学科知识的论文数量并不多．从十多年“国培计划”实施中数百节教学观摩课(研究课)及说课、评课的情况来看，许多中小学数学教师对数学的认识和理解存在不少问题甚至有较大偏差．因此，研究中学数学教师理解数学的素养是有意义的．

1.2 已有研究

毕力格图等[5]认为数学教师数学素养的发展是指以入职前所理解或掌握的数学专业知识为基础，传承与发展数学思想、数学文化的心理活动．毕力格图等[5]还提出数学教师学科知识可分为三个发展水平：直观水平、概念水平和理论水平．黄佳宁[6]认为数学教师的学科知识水平是数学知识的正确性、解释性、联系性和数学思想方法这四个维度的提升和自我研修展开．舒尔曼[7]认为，学科知识是指在特殊学科中的概念、原则与技能以及这些知识在教师头脑中的结构和数量．SII/LMT认为学科知识包含3类：一般的学科知识、专门的学科知识和横向的数学知识[8]．KAT把数学学科知识分成两类：中学代数知识，高于中学数学课程的高等数学知识[8]．黄毅英等[9]把数学教师开展常规教学应具备的知识分为3类，即数学学科知识(MK)，一般教学法知识(PK)，有关数学学习的知识(CK)．“MK”“PK”“CK”三者共同构成数学教学内容知识(MPCK)[9]．MPCK是指教师能够把数学家发现的数学(即学术数学)用通俗易懂甚至是大白话的语言予以讲授和阐释，使“学术数学”变为学生易于理解和接受的“大众数学”[10]．由此易见，MPCK素养是数学教师的核心素养，并且强依赖于数学学科素养．数学教师的角色有点像从“数学家”到“中学学生”的“二传手”．从数学学科知识的视角看，数学教师要当好“二传手”，最重要的素养是具有优良的数学学科素养[10]．

2 中学数学教师理解数学的素养

数学素养的养成是在个体数学经验基础之上对数学“感悟”“反思”与“体验”的结果[11]．教师养成了数学素养即是说教师已在数学经验的基础上形成了“数学头脑”，能用基本的数学思维、数学手段和数学方法去分析和解决数学具体问题以及其他一些现实问题[11]．理解数学的素养在教师的数学素养结构中占有重要地位．理解数学包括对“数学的定义”“数学的特点”“数学化”“数学的价值”“数学的发现创造机制”等内容的理解．

2.1 对“数学的定义”的理解

关于“数学的定义”，有各具特色的一些观点，如“科学说”“逻辑说”“结构说”“文化说”等．

(1)科学说．“纯数学是研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”[12]．数学被看作是关于量的科学，或者是关于空间与数的科学[13]．“演算”概括了数学研究的特点，反映了数学的经验性与演绎性及其辩证关系，有理由把它作为对数学本质的概括，因此可以说“数学是一门演算的科学”[14]．吴文俊在《中国大百科全书·数学卷》中几乎沿用了恩格斯的定义．数学界公认的“数学的定义”是“数学是研究数量关系和空间形式的科学”．数学的“科学说”定义主要强调了“数学是系统严谨的科学”，并指出了数学研究对象是“数”与“形”，“演绎”与“计算”．“演绎”与“计算”是数学的本质．

(2)逻辑说．什么是数学？罗懋康[15]说，数学就是针对结构、关系及其变化细化后的逻辑．以罗素和弗雷格为代表的逻辑主义认为：数学就是逻辑[16]．罗素[16]指出：“所有纯粹数学，既然它能从自然数的理论演绎出来，就不过是逻辑的延伸．并且即使是不能从自然数的理论演绎出来的数学的现代分支，将以上的结论推广到它们，也没有原则上的困难．”“逻辑是数学的少年时代，数学是逻辑的成人时代．”[16]由此可认为，逻辑是数学之母．事实上，数学的概念按逻辑来划分，数学命题由概念或公理(公设)来推演(演绎)，数学证明必须严格遵循逻辑规则，数学中的算法依逻辑而生成．

(3)结构说．布尔巴基学派认为，数学科学的内部演化，使其各个不同的组成部分聚集在一起形成更为密集的统一体，好像创造出某种类似于中心核的东西，它比以往任何时候都更加紧密[17]．任何一门数学学科(分支或方向)的知识都可以统一在某一公理体系之下，公理体系就是该门数学学科(分支或方向)的根基．这就是说，数学是一门统一的科学，可以按照“数学结构”的原理将数学的各个分支加以分类，这就是所谓的“结构主义”[18]．布尔巴基学派曾把整个数学知识分别归结为代数结构、序结构和拓扑结构．布尔巴基学派用“结构主义”思想把整个数学用严谨的逻辑组织起来，取得了不少成果．

(4)文化说．克莱因说数学是一种文化[19]．数学是打开科学大门的钥匙；数学是科学的语言；数学是思维的工具；数学是一种思想方法；数学是理性的艺术；数学充满理性精神[14]．数学是看不见的文化．数学代表人类心灵最高成就之一，是心(逻辑)对物(科学)的胜利[18]．数学对象终究不是物质世界中的真实存在，而是抽象思维的产物，它是一种人为约定的规则系统[14]．数学作为人为约定的规则系统包括两个内容：一是数学中“人为约定”的东西就是数学中的概念、符号和特殊的规定(约定)，这有利于使数学的语言系统成为人类通用的科学语言；二是“规则系统”，主要是指数学在人类的发现(创造)、发展与完善过程中必需要符合人类思维的基本规律，即数学的发现(创造)、发展与完善必需建构“规则系统”(如公理系统)并充分运用“规则系统”．数学除了在科学技术方面的应用外，还具有精神领域的功效[14]．数学文化具有人文性的特点．数学的人文性在培养学生的理性精神、理性思维、人文精神等方面具有重大的教育价值与作用．

2.2 对“数学的特点”的理解

(2)逻辑性．数学具有严密的逻辑性．逻辑是人类数千年历史中已无数次验证过的对客观世界进行思考的正确方法和理论，它反映了客观世界最基本的关系、最本质的内在结构[15]．从前面谈到的“数学的定义”的“逻辑说”可以清晰地看到，逻辑对于数学是极端重要的．离开逻辑的数学是不存在的．数学的逻辑性决定了数学的严谨性，数学的严谨性体现在对概念下定义、证明数学命题、推导数学公式、设计计算方法(算法)等方方面面．数学的逻辑性对培养人的求真品格、理性精神具有重大教育价值．

(3)应用性．数学具有广泛的应用性．如，数学在物理学、化学、生物学、经济学、医学、航天科学、人工智能、大数据分析、网络技术、5G通讯、人脸识别、天气预报等各学科、国民生产各部门、社会经济各个领域都有广泛应用．例如，中国华为公司开发的5G通讯技术主要依赖于土耳其一位数学家的一篇论文.又如，数学模型是研究宏观经济与微观经济的重要工具，在经济与金融的理论研究上，数学的地位更加特殊[21]．

(4)系统性．数学是一个组织结构良好的系统[22]．数学本身就是一个巨系统，此系统是概念(符号)、命题、推理、算法四个子系统的集成．数学知识系统本身是结构化的、整合的，而不是零碎的[23]．因此，个体从学习数学到认知数学，再到数学经验系统的形成，都应是系统化的、全息化的．

(5)概括性．概括是思维的最显著的特征，数学概括能力是学习数学的必要条件[24]．数学的学习包括对知识点的分类，而分类则是将具有同一特征的知识归在一起，这个过程需要将事物的相同属性进行分析，归纳和总结，形成系统的表述语言，即是需要一定的概括能力．因此，数学具有概括性．如，加法的交换律即a+b=b+a可以看成是在2+3=3+2、13+5=5+13、23+61=61+23、(-7)+(-2)=(-2)+(-7)、x+2=2+x等特殊事例的基础上概括出来的.又如，复数数系是在正整数数系基础上不断抽象和概括出来的．数学的概括性与抽象性密切相关．

2.3 对“数学化”的理解

“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心．数学化是指人们运用数学的思想方法来分析和表征客观世界的种种现象并加以整理和组织的过程[25]．后来许多研究者将数学化划分为横向数学化和纵向数学化，横向数学化是指把生活世界引向概念系统和符号世界[26]，纵向数学化是指在横向数学化基础上作进一步抽象化、系统化处理的过程并获得整体数学知识体系(系统)．研究者认为，横向数学化和纵向数学化的分类过于粗略，可以更为详细地将“数学化”分解为概念化、符号化、逻辑化、结构化和模型化等．

(1)概念化．“概念是逻辑思维的细胞”．由数学概念(定义)可以演绎出数学命题(公式，定理，性质等)．由此可以说，数学概念(定义)是数学知识的源泉．数学学习基于事实(事例)，始于概念(定义)．数学概念(定义)是数学学习的核心内容，也是学习的难点内容．数学概念(定义)的产生和发展，往往是从一个问题开始，由实际问题到数学问题，由具体问题到抽象概念，由解决问题到更进一步应用的一个教育全过程[27]．有的概念可从客观事物或实际问题中抽象出概念，如“圆”的概念可以看成是从太阳、铁环、圆柱的水杯的轴截面等“圆形”“球形”实物抽象而得；有的概念可从问题解决之需要来建构，如“导数”这个概念是为求解“运动物体的瞬时速度”而产生的，又如虚数单位i是为了使方程x2+1=0有解之需要而产生，并直接定义(规定)虚数单位i满足i2=-1；有的概念是为了建立公理体系而设立，如欧几里得中“点”“直线”“两条直线平行”等原始概念就是为建立欧氏公理体系而设立．

(2)符号化．数学概念的创设往往伴随数学符号的创设，“对数”概念伴随“logaN”“lgN”“lnN”等符号的诞生．符号化要求我们将复杂繁琐的数学概念用简洁的符号来表示，并理解符号是怎么来的，从而对符号进行再创造，形成新的符号．2001年中国《义务教育数学课程标准》提出“符号感”，将发展学生的符号意识作为中小学数学课程的目标，符号意识是中国义务教育阶段的一种数学核心素养，体现数学学科的逻辑性与学生的认知水平[28]．虽然数学符号的使用比数字晚，但数学符号的数量却远远超过了数字．目前数学符号已经超过了两百个，并且每个符号都有其自身的意义和故事．符号的出现将复杂繁琐的数学概念、冗长的文字变得简洁美观．符号是数学思想传达的媒介，是数学知识表达的核心工具，能够清晰而简明地表达数学知识、数学规律以及数学思想．数学符号作为数学抽象物的一种表现形式，既是对现实世界数学关系结构的抽象，也是数学学科内部规律的集中体现[28]．符号具有统一性原则，并不是随意编造而来的．

(3)逻辑化．数学与逻辑密不可分．数学活动的本质是逻辑思维的活动．给数学概念下定义必须遵守四条逻辑规则，数学命题的“猜想”依赖于合情推理，研究数学命题之间逻辑关系需要借助于“充分条件”“必要条件”“充要条件”等重要概念，数学命题的“证明”依赖于已有真命题和逻辑规则，三段论推理，解决问题的算法一般是由具有先后顺序的机械步骤构成，等．这些数学活动都充分体现了数学的逻辑化．

(4)结构化．结构化强调由数学知识、方法和思想可以构成一个完整、严谨、系统的体系．如欧几里得公理体系就是一个结构化的东西，布尔巴基学派把数学看成是研究结构的科学，并认为整个数学是由代数结构、序结构和拓扑结构构成．

(5)模型化．数学模型不能局限于数学建模，数学建模包括“真实情境、实际问题、抽象与假设、数学问题、数学问题的分析与解决、解决实际问题、检验模型、优化模型”等环节．数学模型包括数学问题、数学定义(符号)、数学公式、函数模型、方程模型、空间图形、数学结构、公理体系等具体形态．“真实情境、实际问题化”、“实际问题、数学问题化”、“数学问题、数学知识化”是建立数学模型、获得数学知识的过程，而“数学模型、应用化”则是运用数学模型(知识)解决问题的过程．

2.4 对“数学的价值”的理解

数学的生命力在于数学的高价值．包括科学价值、思维价值、文化价值、育人价值、审美价值等．

(1)科学价值．数学是追求逻辑真的科学．“数学是思维的科学．”数学科学对人类正确、精准地认识世界提供了强大的思想武器和普适的科学方法．认知科学的研究表明，心智是涉身的、思维是无意识的、抽象概念是隐喻的．而科学发现的心理逻辑模型从心理直觉和逻辑推理两种加工方式来说明科学发现的规律，揭示了创造性思维在科学发现中的作用[29]．数学不仅是自然科学的基础，而且也是一切重大技术革命的基础[21]．

(2)思维价值．数学的重要价值一方面在于数学发现，而数学发现是一个创造性思维过程，同时也是一个心理逻辑过程[29]．数学思维活动的一个直接结果是可以产生数学思想．数学思想是指现实世界的空间形式和数量关系反映到人的意识之中，经过思维活动而产生的结果，它是对数学事实与数学理论的本质认识[30]．数学思维作为数学思想的方法和手段，其价值不容低估．人们通常所说的等量替换、图形结合、递归法等都是数学思想的方法，即数学思维[31]．数学思维主要包括创造性思维、逻辑思维、转化思维、逆向思维、对应思维等．创造性思维是具有新颖性、流畅性、原创性、灵活性的思维．溯因、类比和归纳这三种扩展前提的推理是具有创新性的推理，这三种扩展前提的推理与创造性思维高度契合[29]．

(3)文化价值．数学文化是指数学的思想、精神、方法、观点、语言及其形成和发展过程[32]．高中数学新课标把“体现数学的文化价值”置于课程设计基本理念的重要位置上，并提出：“通过在高中阶段数学文化的学习，学生将初步了解数学科学与人类社会发展之间的相互作用，体会数学的科学价值、应用价值、人文价值，开阔视野，寻求数学进步的历史轨迹，激发对于数学创新原动力的认识，受到优秀文化的熏陶，领会数学的美学价值，从而提高自身的文化素养和创新意识”[32]．中学数学教学渗透数学文化的途径有很多，如在各章引言中、新课引入时、讲述概念时、定理(公式)证明时、数学思想方法中、例题教学、实际应用中渗透数学文化[32]．

(4)育人价值．数学的抽象、推理和模型思想在数学教学中，具有其他学科不可替代的育人价值[33]．对具体事例(事物)的抽象概括，不仅可以得到数学的研究对象如“数”“形”、数学概念、数学符号、数学定律，更具教育意义的是让学生经历数学抽象的过程、掌握数学抽象的方法、感悟数学抽象的思想，能让学生学习如何从量或形的角度去观察、认识、把握现实事物，基于“客观世界-数学世界”的数学认知方式是每个公民无论从事何种职业都不可缺少的基本素养．因此，抽象思想体现了数学教育最核心的育人价值[34]．数学推理包括合情推理、逻辑推理、统计推理、模糊推理等，对形成和发展数学的理性思维、科学精神、严谨求实态度；实践创新能力；学习能力等方面都有育人的价值[35]．数学的模型思想是学生在建模、解模、用模、评模(即评价模型)等活动中形成的．数学的模型思想地形成有利于学生用数学的方式去认识、分析和表征“个体的生活世界”与“客观世界”．

(5)审美价值．在古希腊时期数学被珍视为一门艺术，当时的数学家把算术与几何视之为心智的艺术与灵魂的音乐，他们已经在数学中认识到和谐、简单、明确等美学特征．古希腊的数学家正是基于对数学美的认识和欣赏，才使得当时对某些数学理论的研究，已远远超越理解自然界所必需的深度[36]．“数学，如果正确地看它，不但拥有真理，而且也具有至高的美．正像雕刻的美，是一种冷而严肃的美”[37]．如果美的组成和艺术作品的特征包括洞察力和想象力，对称性和比例、简洁，以及精确地适应达到目的手段，那么数学就是一门具有其特有完美性的艺术[37]．

2.5 对“数学的发现创造机制”的理解

“许多数学上的创造成果可以看成为通过直觉俘获的‘战利品’，而逻辑好比是‘关卡’，在这里起了验收的作用，没有直觉就不可能达到目的地．”数学直觉又分辨识直觉、关联直觉和审美直觉．审美直觉是解决新思想、新方法是否符合数学美的原则问题[38]．任何数学科学的创造发明都产生于观念的选择，而最佳选择的出现归因于无意识里的“审美直觉”[39]．“人脑(最高物质组织形式或机制)”内蕴心智本能[21]，心智本能内蕴数学创新机制，数学的发明创造源于数学审美直觉，数学审美直觉基于研究对象的和谐性与简单性．由此得到数学创新机制的线路：研究对象、和谐性与简单性、数学审美直觉、数学创新．因此，数学审美直觉可激活数学发现创造的心理机制．但数学创新的“心智本能”在人的心智机制中往往潜藏得很深，对中学生来说，需要教师通过数学审美去唤醒、激发、强大起来[39]，才能实现数学的创新．因此，把数学讲得很美，让学生认知数学的美、欣赏数学的美、感悟数学的美、创立数学的美，是数学教师培养学生数学创新意识和发现创造能力的核心素养．当然，这需要教师具有深厚的数学专业功底、教育理论功底以及优良的教学功夫．数学的发现(创造)源于对数学美的感受与追求．美是灵感的源泉．美感是感觉的极致．教师数学语言的优美、图形的美观和板书的工整是学生感受数学美最直接的路径．

3 中学数学教师理解数学的路径

素养源于学习、练习及反思．中学数学教师的学习分为工作前系统的数学理论学习和工作后的在职学习，在职学习包括研读中学数学著作特别是中学数学期刊、做中学数学知识和问题的专题研究性学习以及积极参加与中学数学相关的讨论交流活动．因此，中学数学教师“理解数学”的素养的生成路径有：运用“高观点”深度理解中学数学知识；研读中学数学著作特别是中学数学期刊；做中学数学知识和问题的专题研究；积极参加与中学数学知识和问题相关的讨论交流活动．

3.1 运用“高观点”深度理解中学数学知识

系统学习并掌握大学本科(或研究生)阶段的数学知识体系是本科学生(或研究生)获得中学数学教师资格的必备条件，也是获得“理解数学”素养的主要渠道，还是认识、形成“高观点”的关键．“高观点”是用高等数学的知识、方法、思想和观点去看待并处理初等数学问题的简称．系统学习小学的算术、中学数学、高等数学、近现代数学是中学数学教师生成“理解数学”素养的主要途径．只有系统学习并全面掌握高等数学、近现代数学的基础知识和基本思想方法，才能形成中学数学的“高观点”，才能用“高观点”认识和处理中学数学的疑难问题，才能更加深刻地理解中学数学的知识、方法和思想．

3.2 通过数学活动来理解数学

(1)研读中学数学著作特别是中学数学期刊．许多中学数学骨干教师(名师、专家)的成长经验表明，研读大量中学数学著作特别是中学数学期刊是这些教师成长为中学数学骨干教师(名师、专家)的必经之路．几乎所有中学数学期刊都刊登了大量涉及数学疑难概念的理解与教学，数学命题的发现、证明、应用、推广与教学，教材中典型例题、习题、复习题的深度研究与教学等方面的文章，这些文章凝聚了许多中学一线教师(专家)、教研员、高校学科专家的心血与智慧，这些文章对中学数学知识和问题在认识上有深度、在思维上有广度、在思想上有厚度．也可以说，这些文章是深刻理解中学数学的“范文”，是教师快速获得“理解数学”素养的“阶梯”．教师在读这些“范文”、登这些“阶梯”之后，还应写出心得体会，写出所想、所感、所悟、所获，最后把写出来的文章去投稿并争取发表．这是中学数学教师生成“理解数学”的快速路径．

(2)做中学数学知识和问题的专题研究．教研与创新素养是教师专业发展的核心素养．数学教师的教研与创新素养是指在数学科学和教育科学指导下开展教育课题研究、探索数学教学规律、优化数学教学方案和解决数学教学疑难的素养[10]．做中学数学知识和问题的专题研究是教师获得“理解数学”素养的重要路径．教师对中学数学知识和问题做一些专题研究，必然对这些数学知识和问题要有全面的了解，围绕这些数学知识和问题的探究与深刻认识一般需要读相关的大量文献，更需要深度地思考．这些工作的有效实施，一般会对这些专题研究的内容(数学知识和问题)形成深刻的理解．因此，无论是探究还是研究中学数学的知识和问题，都会对这些知识和问题得到良好的理解．

(3)积极参加与中学数学相关的讨论交流活动．教师在参加各种教研活动(含教师培训)中，积极与其他教师讨论数学疑难问题，主动交流学习、探究一些中学数学知识和问题的认知状况、心得体会、经验教训，这些都会获得新的认识和经验．教师在与学生的对话、讨论、交流等过程中，特别是学生向老师突然提问并且教师对这个问题的思考不多或不太深入，这时教师的思维处于应急状态，教师急需顿悟，往往可能突发灵感，对一些数学知识和问题会突然有新的认识和理解．因此，教师在参与中学数学相关知识和问题的讨论交流活动中容易产生顿悟，即对某些数学知识和问题产生新的认识和理解．