混合区间删失下指数分布的可靠性分析

万 宇，李云飞

(西华师范大学 数学与信息学院，四川 南充 637009)

0 引言

定时截尾试验是可靠性统计分析中一种重要的寿命试验方案，许多学者研究了此样本下寿命分布的可靠性问题[1-8].定时截尾试验是对一批被测产品从时间0到预定时间t0进行跟踪观察，并将其余未失效的产品全部退出试验，从而得到t0前失效产品的具体失效时间和区间(t0,+∞)内失效产品的数量.为了避免失效数太少或太多，恰当确定停止测试的时间是至关重要的.如果有很大一部分产品在t0时刻退出试验，将对统计推断的准确性产生很大影响[9].针对定时截尾试验的弊端，可以先进行连续观测，再进行定期观测，即从时间0到时间t0进行连续跟踪观测，时间t0后进行定期观测，这样就可以知道每个区间内失效产品的数量，这种试验称为定时区间删失试验.文献[10-13]为此试验下的研究成果.龙兵等[9]结合这两种试验方案的特点，提出了一种新的寿命试验方案，即将定时截尾试验和定时区间删失试验相混合的试验方案，称其为混合区间删失试验，并对Rayleigh分布在此寿命试验数据进行可靠性分析，通过随机模拟比较了定时截尾样本和定时区间删失样本所得到的相关估计量的精度.

指数分布在可靠性研究中有着广泛的应用.目前，许多学者对传统试验样本下的指数分布进行了可靠性分析，并取得了一些成果[14-22].然而，目前基于混合区间删失试验方案下，没有探讨指数分布的可靠性的文献.与文献[9]不同的是，本文基于混合区间删失试验，讨论了指数分布的可靠性，并通过算例对基于混合区间删失样本的估计值和基于定时截尾样本的估计值进行了比较，分析了两种试验样本的优劣性.结果表明，混合区间删失试验下的平均相对偏差(average relative error，ARE)更小，平均区间长度(average interval length，AIL)更短，均方误差(mean square error，MSE)更小，因此混合区间删失试验更优越.

1 参数的极大似然估计

指数分布的分布函数为：

概率密度函数为：

可靠度函数为：

(1)

混合区间删失试验如下：现有一批服从指数分布的产品，从中随机选取n个产品从时间0开始进行寿命试验.确定观测时刻0

情形1：如果r≥[np],试验停止，并从试验中撤离所有没有失效的产品，此时为定时截尾试验，这样，在t0之前获得具体观测数据，在t0之后获得一个区间删失数据.

在情形1下，似然函数为：

对数似然函数为：

对θ求导，对数似然方程可得：

(2)

在情形2下，似然函数为：

对数似然函数为：

对θ求导，对数似然方程可得：

记Y=(Y1,Y2,…,Yk),Yj=(Yj1,Yj2,…,Yjdj),且Yj(j=1,2,…,k)为产品在[tj-1,tj)内失效时刻构成的向量.Yjl(l=1,2,…,dj)的条件概率密度函数如下：

令θ=θ(s),则

令U=(x1,x2,…,xr),将U和Y结合得到W=(U,Y),其中W称为伪完全数据，基于W的似然函数为：

对数似然函数为：

E步：对Yjl求条件期望，则伪对数函数为：

M步：极大化Q(θ),Q(θ)对θ的一阶导数为：

可得迭代公式如下：

(3)

2 参数的渐近置信区间

在本节中，通过建立Fisher信息矩阵来构造参数的ACI.

设W=完全数据，X=观测数据，IW(θ)=完全信息矩阵，IX(θ)=观测信息矩阵，IW|X(θ)=遗失信息矩阵，基于Louis[23]提出的遗失信息原则，即：

IX(θ)=IW(θ)-IW|X(θ).

在完全数据情形下，则有：

对于情形1，令Z=(Z1,Z2,…,Zn-r)表示截尾数据，可得Zj(j=1,2,…,n-r)的概率密度函数为：

则

因此

因此

则

区间长度为：

(4)

3 算例分析

下面基于混合区间删失试验，首先利用Monte Carlo模拟生成随机数，然后利用MLE方法得到参数的估计，同时计算了相应的ARE、MSE和AIL.此外，还得到了可靠度的均值和ARE.具体步骤如下：

(1)在均匀分布U(0,1)中，产生n个独立同分布样品，记为U1,U2,…,Un；

(2)给定参数θ=2,令xi=-θln(1-Ui),i=1,2,…,n,则x1,x2,…,xn就是一个服从指数分布的独立同分布样本；

(3)取t0=2,t1=2.6,t2=3.3,t3=4.9,t4=+∞,得到t0前的观测值x1,x2,…,xr及区间(t0,t1],(t1,t2],(t2,t3],(t3,t4]内的失效数分别为d1,d2,d3,d4.

根据上述样本，利用(2)-(4)式计算出参数θ的极大似然估计值和置信区间的长度，模拟上述步骤1000次.在不同的n下，计算出参数θ的ARE、MSE和AIL，见表1.其中

当θ=2时，取t=2.6,利用式(1)计算出R(2.6)=0.2725.根据上述样本计算了可靠度估计值的平均值和ARE(见表1).其中

表1 指数分布的统计分析

由表1可知：

1)当n一定时，从参数θ的ARE、MSE和AIL来看，基于混合区间删失样本所得到的参数θ的估计值都要小于定时截尾样本所得到的参数θ的估计值，说明混合区间删失试验方案可以提高参数估计的精度.

2)在混合区间删失方案下得到的可靠度估计值的均值比较接近其真实值.

3)随着n的增加，参数θ的ARE和MSE逐渐减小，AIL逐渐变短，可靠度估计值的ARE逐渐减小.

4 结论

当产品寿命服从指数分布时，讨论了基于混合区间删失试验数据的参数估计和可靠度函数的估计.结果表明，与定时截尾试验方案相比，在混合区间删失试验方案下对指数分布进行可靠性估计，可以提高估计的精度.