以形助数 以数解形

摘 要：数学学科的严密有序性、数学知识的内在逻辑性、数学方法的多样性是提升学生数学素养极其重要的因素。数学运算是数学素养的重要组成部分，也是学生学习数学、解决数学问题的一项基本技能。在数学课堂教学中，教师可以引导学生通过构建直观的图形来展现数学运算的演练和推导过程，以此简化运算过程，提高解题效率。本文以湘教版数学教科书中的实际内容为例，探讨如何以形助数、以数解形，进而培养学生的数学素养。

关键词：数学素养;数学运算能力;数形结合思想

中图分类号：G427                       文献标识码：A                   文章编号：2095-624X（2021）32-0075-02

引 言

数学素养包括数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、数据分析、直观想象六个方面，数学运算是数学素养的重要组成部分，也是初中生学习数学、解决数学问题的一项基本技能。数与形在一定条件下可以相互转化，直观的图形有助于学生解决数学问题，直观的图形也需要数的支撑和表达。在数学教学过程中，为培养学生的数学运算能力，教师们常通过直观的几何图形来展现数学运算的演练和推导过程，使学生理解代数与几何的联系，探究其内在的运算规律和本质特征。本文以湘教版义务教育数学教科书中的内容为例，探讨如何以形助数、以形解数，解决初中数学运算的演练、推导和拓展运用等问题，以此培养学生的数学素养。

一、整式乘法

整式乘法是初中數学的基础，也是学生基础运算能力的体现，特别是对多项式与多项式的乘法，更是学习过程中的易错点。因此，教师在课堂教学中应建构几何模型，搭建起数与图形的桥梁，使解题过程更加直观，以此若帮助学生理解运算的来龙去脉，掌握正确的运算方法，发展运算能力。

例1.计算：（a+b）（m+n）

通过图形可以直观地看到运算规律，从而归纳得到：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

【拓展运用】

二、乘法公式

乘法公式在初中数学的计算过程中同样有着举足轻重的地位，无论整式乘法还是因式分解，都在反复地运用乘法公式进行运算。为避免机械重复，教师通常会发现一些运算的特点和规律，并将这些特点和规律总结提炼成计算公式，然后运用公式进行计算，使得数学的解题过程更简单清晰，更不易出错。

例2.如图3-1所示：将一个边长为a的大正方形剪去一个边长为b的小正方形，并将剩余部分沿虚线剪开，再将这两个长方形拼成如图3-2所示，从这两个图形来看，我们能建立怎样的联系？

分析：图3-1中阴影部分的面积为：;图3-2中阴影部分的面积为：（a+b）（a-b）;

由此可得：a2-b2（a+b）（a-b），我们称之为平方差公式。

例3.如图4所示的正方形。

正方形的面积为（a+b）2，也是如图所分割成的4个部分面积、、、之和。

因此：，我们称之为完全平方公式。

【拓展运用】

计算：（a+b+c）2

分析：构建如图5所示的正方形。由此可得正方形的面积为（a+b+c）2，也相当于按照如图所分割成的9个部分面积之和。

∴（a+b+c）2 =a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc。

学生经历了乘法公式的演练、推导过程，深刻地理解了公式的本质特征，并能熟练地运用乘法公式灵活、正确地进行计算。

三、勾股定理

勾股定理是一个基本的几何定理，它是指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。勾股定理是人类早期发现并证明的重要数学定理，是用代数思想解决几何问题的重要工具，也是数形结合的纽带。勾股定理在西方被称为毕达哥拉斯定理，相传是古希腊数学家兼哲学家毕达哥拉斯于公元前550年发现的，其实，根据我国最早的一部数学著作《周髀算经》记载，早在公元前11世纪，我国数学家商高就发现并应用了这一数学定理，并提出了“勾三、股四、弦五”，比毕达哥拉斯早了至少500年。

下面主要来探讨两种常用的证明方法，以加深学生对勾股定理的理解，让学生进一步体验数形结合思想，形成基本的运算能力和抽象思维能力[1]。

例4.图6-1是2002年在北京召开的第二十四届国际数学家大会会徽，图6-2是应用了三国时期吴国的数学家赵爽在证明勾股定理时创制的“勾股圆方图”。图6-1是由四个全等的直角三角形再加上一个小正方形组成的，每个直角三角形的两条直角边分别为a、b，斜边为c，则中间的小正方形边长为b-a，由此可得出下关系：

这是我国古代数学家最早对勾股定理的证明，方法别具匠心，极富创新意识，既严密又直观，体现了“形数统一”的重要思想方法，在世界数学史上具有重要贡献。

例5.图7是由2个直角边分别为a、b，斜边为c的直角三角形和1个直角边为c的等腰直角三角形构成的直角梯形。（美国总统加菲尔德利用面积法来证明，即利用3个三角形的面积与1个梯形的面积相等的关系来证明。）

勾股定理揭示了直角三角形的三边关系，在直角三角形中，若已知直角三角形的任意两边长，我们就可以求出第三条边的长。

【拓展运用】

在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=3，BC=4，CD=12，AD=13， 求四边形ABCD的面积.

分析：作辅助线AC，使得四边形ABCD变成两个三角形，即△ABC，△ACD（见图8）。要想求出四边形ABCD的面积，可以转化为求△ABC和△ACD的面积之和。

解：连接AC

结   语

利用以形助数、以数解形的方法来解决初中数学运算的演练、推导和拓展运用，是数学学习过程中必要的解题策略。数与形在一定的条件下可以相互转化，一些数学的运算问题往往隐藏着几何文化背景，需要借助它所蕴藏的几何图形性质和蕴含的文化故事，使复杂的数量关系变得更加直观，运算变得更加简便。因此，数形结合在初中数学中有重要地位，它不仅是一种重要的解题方法，更是一种重要的思维方法。

[参考文献]

[1]俞求是.中国古代勾股定理发现过程的猜想和探究[J].中学数学杂志，2018（02）：62-64.

基金项目：本文系2020年贵州省教育科学规划课题“核心素养下数形结合思想在初中数学解题中的应用研究”（课题编号：2020B079）的研究成果。

作者简介：杨州（1976.8—），男，贵州思南人，高级教师。