对理想变压器电路中“等效电阻”的探讨

邓伟

摘 要：自从新课标高考考纲中知识点“理想变压器”由“Ⅰ”级要求变为“Ⅱ”级要求后，在高考中变压器问题考查频率与难度都有所增加，有一类这样的问题（在变压器原线圈中连入电阻）在高考中频频出现，使问题变得较为复杂，如果用常规解法，计算量很大，令学生感到望而生畏.笔者在教学研究中发现这类问题如果用等效电路来分析计算，能降低难度，使问题简单明了，实现问题的“巧解”.

关键词：等效电阻;理想变压器;推导;应用;化繁为简

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0094-02

2020年高考，在全国Ⅲ卷第20题、山东卷第5题、北京卷第6题等物理试题中均有与理想变压器相关的问题.理想变压器的原线圈和副线圈通过电磁感应联系在一起，互相影响，彼此制约，内部机制相当复杂.在高中阶段，当原线圈输入电压一定时，相关问题采用原副线圈电压、电流与匝数的关系加以分析，解决起来比较容易.而在原线圈上串联有一个定值电阻的电路中，当负载电阻改变时，副线圈中电流也改变，原线圈输入电压与电流亦随之改变，从而又引起副线圈的输出电压改变.此种情形下采用常规的电压、电流与匝数的关系来分析，解决起来非常繁杂.此时，将变压器问题转化为恒定电流中的等效电路来分析，可以达到化繁为简，事半功倍的效果.

一、理想变压器电路问题中等效电阻公式的推导

设理想变压器原副线圈的匝数之比为n1∶n2，原线圈输入电压为U1，副线圈负载电阻为R，如图1（1）所示，在变压器正常工作时，我们先分析一下a、b间的等效电阻.

先画出等效电路图如图1（2）所示，设变压器等效负载电阻为R′.在（1）中由变压器的分压规律：U1U2=n1n2得：U2=n2n1U1.

方法一：用电压推导等效电阻

U1=n1n2U2=n1n2I2R=n1n2·n1n2I1R=I1·n21n22R

而U1=I1R′，可得a、b间的等效电阻R ′=n21n22R

方法二：用功率推导等效电阻（略）

通过分析可知：在只有一个副线圈的理想变压器电路中，原线圈的匝数为n1，副线圈的匝数为n2，副线圈负载电阻为R，则变压器的原、副线圈和负载电阻可以等效为一个电阻R′=（n1n2）2R （*）.

以上是只有一个副线圈的情形.若在变压器中含有多个副线圈时，能否采用上述等效电阻的方法呢？作图图2所示.

由等效电阻法我们可以将副线圈n2，负载R1与原线圈看为整体，等效为新电阻R1x，将副线圈n3，负载R2与原线圈看为整体，等效为另一个新电阻R2x，则R1x与R2x两端电压相同，均为原线圈输入电压U1.作等效电路图如图3所示.

推导可知，等效电阻R1x与R2x的值均满足（*）式中的规律，表明多个副线圈的变压器问题，确实可以将每个副线圈与原线圈分别看为一个整体，等效为一个新电阻，作出等效电阻的并联电路图加以分析.

二、理想变压器电路问题中等效电阻公式的应用

1.关于负载电阻一定时的计算问题

例1 （2015年全国新课标Ⅰ卷·理综）（单选）理想变压器的原、副线圈的匝数比为3∶1，在原、副线圈的回路中分别接有阻值相同的电阻，原线圈一侧接在电压为220V的正弦交流电源上，如图4所示.设副线圈回路中电阻两端的电压为U，原、副线圈回路中电阻消耗的功率的比值为k，则（）.A.U=66V，k=19B. U=22V，k=19

C. U=66 V，k=13D. U=22 V，k=13

解析 其等效电路图如图5所示，则Rx=（n1n2）2R=9R

由于R与Rx串联，电流相等，功率、电压与电阻成正比

所以有：k=19，URx=U1=9UR，

而URx+UR=220V;U1U=n1n2，

解得：U=66V.故答案选A.

2.关于负载电阻变化时的动态电路分析问题

例2 （重慶七校联考题·理综）（单选）如图6所示是某一理想变压器所在电路的电路图，交变电源的输出电压U的有效值不变，电阻R0，R1已知，

A1、A2、V为理想交流电表，滑动变阻器总阻值为R，原副线圈匝数比为k=2，且R1=R0/8，R=R0.当滑动变阻器的滑片P由最上端向下滑动的过程中，下列说法正确的是（）.

A.电压表V的示数增大

B.电流表A1的示数减小

C.电流表A2的示数减小

D.变压器副线圈输出的功率先增大后减小

解析 作出等效电路如图7所示，由“等效电阻法”中的二级结论可知Rx=n1n22R1+R，滑片P下移，R减小，Rx减小，则等效电路图中的电流I1=URx增大，即电流表A1的示数增大，由变压器电流关系I1n1=I2n2知副线圈中电流I2即电流表A2示数也增大.R0两端电压增大，而Rx两端电压，即原线圈输入电压U1=U-I1R0，知U1减小，由电压比关系知副线圈输出电压，即电压表V示数减小，则A、B、C选项均错误.

滑动变阻器总阻值R≤R0，则等效电阻R02≤Rx≤9R02，将R0看为交流电源U的内阻，Rx看为外电阻，对理想变压器，等效电阻Rx消耗的功率P即为变压器副线圈输出的功率，由等效电路图作出P-Rx的关系如图8所示.

由图可知，P先增大后减小，正确选项为D.

3.关于含多个副线圈的变压器计算问题

例3（模考试题·理综）（单选）如图9所示，接在理想变压器回路中的四个规格相同的灯泡都正常发光，那么，理想变压器的匝数比n1∶n2∶n3为（ ）

A.1∶1∶1

B.3∶2∶1

C.6∶2∶1

D.2∶2∶1

解析 变压器有多个副线圈，作出等效电阻的电路如图10所示，四个灯泡电阻均相同，令其为R0，则由“等效电阻法”中的二级结论可知

RBC=n1n222R0

RD=n1n32R0

等效电阻上消耗功率即为对应负载所消耗的功率，而每个灯泡消耗的功率均相同，则

PBC=2PD=2PA则UD=3UA

由P=U2R容易得到2RBC=RD=9R0

联立以上各式解得n1∶n2∶n3=3∶2∶1，选项B正确.

通过以上的分析过程，在理想变压器电路问题之中，当原线圈串联有一个定值电阻时，采用电压、电流与匝数关系的常规解法分析时，由于原线圈中定值电阻的分压，使得采用常规法解题时往往比较繁琐.而将变压器通过等效，转化为一个简单的闭合回路后，能将问题的分析过程变得直观形象，解题变得更加的便捷，起到了化繁为简，化难为易的功效.

参考文献：

[1]李小丹.两种等效法解决变压器问题研究[J].中学物理教学参考，2017（05）：41.

[责任编辑：李 璟]