“特殊值法”妙解初中数学题举隅

张良江 虞苏艳

摘  要：某些类型的初中数学题直接求解思路会比较繁杂，解题过程冗长. 在解决填空题、选择题等不需要呈现解题过程的题目时，可以根据题目的特点采用特殊值法进行求解. 特殊值法解题有其独特的優越性，是对解题方法的有益补充.

关键词：特殊值法;化繁为简;几何直观

对于初中数学中的某些问题，有时直接求解会比较难以入手，此时往往可以先考虑某些简单的特例，通过解答这些特例，最终达到解决原题的目的. 这种解题方法被称为“特殊值法”.

特殊值法解题的逻辑依据是：对于一般性成立的结论，特殊值必然成立;而当特殊值成立时，一般性的结果未必成立. 虽然特殊情形只是一般性结论的必要条件，但如果题目只要求从若干结论中选取一种，特殊值法不失为一种有效的方法. 特殊值法不仅适用于诸如选择题、填空题等不需要提供解答过程，只需要结果的客观性题目，而且对那些结果不是很明确的求解或探究类题目，也可以借助特殊值法为问题的求解及结果指明方向. 特殊值法是从特殊到一般的数学思想和极端化思想的集中体现.

从广义的角度看，所谓特殊值，不仅指特殊的数值，更是涵盖了特殊图形、特殊位置，甚至特殊信息、特殊方法等. 下面结合实例，探讨特殊值法在初中数学解题中的广泛应用.

一、任意数值取特值，化繁为简巧排除

由于选择题和填空题不需要呈现解题过程，仅考查结果，因此对于那些可以取任意实数或字母取值范围明确的选择题和填空题，就可以在允许的范围内选取合适的特值，用具体的数值代替相关字母，从而得到结果.

例1  正实数[a，b，c，d]满足[a+b+c+d=1.] 设[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1，] 则（    ）.

（A）[p>5]       （B）[p=5]

（C）[p<5]       （D）[p]与5的大小关系不确定

答案：A.

解：因为[a，b，c，d]均为正实数，且[a+b+c+d=1，]

所以一定有[0<a<1，0<b<1，0<c<1，0<d<1.]

首先，证明[3x+1>x+1.]

将上式两边同时平方，得[3x+1>x2+2x+1.]

所以[x2-x=xx-1<0.]

而此时[0<x<1.]

可见上式显然成立.

于是有[3a+1>a+1， 3b+1>b+1， 3c+1>][c+1， 3d+1>d+1.]

将上述四式相加，得[p=3a+1+3b+1+3c+1+]

[3d+1>a+b+c+d+4=5，]

即[p>5.]

这样由条件逐级推证出结论的过程，涉及了较复杂的推理与运算，综合程度高，学生难以驾驭. 由于条件中给出[a，b，c，d]均为正实数，且[a+b+c+d=1，] 故考虑取特殊值进行排除与破解.

特殊值法：因为[a，b，c，d]均为正实数，且[a+b+][c+d=1，]

所以不妨设[a=b=c=d=14.]

则[p=3a+1+3b+1+3c+1+3d+1=28.]

因为[28 >25=5，]

所以[p>5.]

例2  把多项式[2aa+12+a4-a2+1]分解因式，以下选项正确的是（    ）.

（A）[a2+a-12]       （B）[a2-a+12]

（C）[a2+a+12]           （D）[a2-a-12]

答案：C.

解法1：原式 =[a4+2a3+3a2+2a+1]

[=a2a2+2a+3+2a+1a2]

[=a2a2+1a2+2a+1a+3]

                                             [=a2a+1a2+2a+1a+1]

[=a2a+1a+12]

[=a2+a+12.]

解法2：令原式 =[a2+xa+ya2+ma+n=a4+m+xa3+]

[mx+y+na2+nx+mya+ny.]

因为原式 =[a4+2a3+3a2+2a+1，]

所以[m+x=2，mx+y+n=3，nx+my=2，ny=1.]

联立方程组，解得[x=y=m=n=1.]

所以原式[=a2+a+1a2+a+1=a2+a+12.]

直接分解时，需要对原式进行合理的分组变形，需要较高的解题技巧，对学生的解题能力要求较高. 考虑到因式分解与多项式乘法互为逆运算，因此判断因式分解的正确性，可以从结论出发，将原式及各选项进行展开、合并，从而得出正确的判断. 因此，当字母取相同数值时，原式与因式分解后所得的式子的值应该相等，所以可以取字母允许的某些数值代入计算结果，从而进行判断.

特殊值法：取[a=1，] 代入得原式 = 9. 将[a=1]分别代入四个选项：选项A的结果为1，选项B的结果为1，选项C的结果为9，选项D的结果为1. 故此题选C.

需要强调的是，类似此例的处理方式，若有两个或两个以上选项的值与原式的值相吻合，应另取数值代入进行检验. 例如，在本例中，若取[a=0，] 则原式的值为1. 而A，B，C，D四个选项的值也均为1，显然应另取其他的数值，再进行检验与排除.

采用特殊值法解选择题或填空题是一种化繁为简的方法. 虽然有猜测的嫌疑，但选择题和填空题的特点使这种猜测具有较好的科学性，往往事半功倍，不失为一种有实际效用的方法.

二、动点取特殊位置，拨云见日妙求值

对于一些定值型的动点问题，可以设定特殊的位置获得定值. 例如，对于线段上任意一点，一般来说，我们可以取该线段的中点或端点.

例3  如图1，扇形AOB的半径为6，[∠AOB=90°，] 等边三角形CDE的顶点C，D，E分别在OA，OB，[AB]上. 点P为△CDE的外心，则OP的长为       .

答案：[23.]

解：如图2，取CD中点M，连接OM，EM，OE，OP.

则[OMEM]=[12CD32CD=33， PMOM=13EM12CD=33.]

所以[OMEM]=[PMOM.]

所以△OMP ∽ △EMO.

所以[OPOE=OP6=33.]

所以[OP=23.]

上述解法需要添加多条辅助线，图形各元素间内在的关系不易想到，且对学生的运算能力要求较高. 由于等边三角形CDE的顶点C，D，E分别在OA，OB，[AB]上，且等边三角形的边长并未固定. 换言之，此题的结论与三角形的边长或各顶点的位置无关，因此，可以考虑取特殊位置进行突破.

特殊值法：如图3，使点C，D分别与点O，B重合，则点E在[AB]上. 此时[OMOP=3OP=cos 30°=32.] 所以[OP=23].

例4  如图4，设O是△ABC内任意一点，AD，BE，CF過点O且分别交边BC，AC，AB于点D，E，F，则[ODAD]+[OEBE]+[OFCF]的值为        .

答案：1.

解：如图5，分别过点O，A作线段BC的垂线，垂足分别为点H，G.

则[ODAD=OHAG=BC · OHBC · AG=S△BOCS△ABC.]

同理，[OEBE=S△AOCS△ABC， OFCF=S△AOBS△ABC.]

所以[ODAD+OEBE+OFCF=S△BOCS△ABC+S△AOCS△ABC+S△AOBS△ABC=S△ABCS△ABC=1.]

回看此题，点O为△ABC内任意一点，所求为[ODAD+][OEBE+OFCF]的值. 判断所求值与点O的具体位置无关，因此可以将点O置于某些特殊位置以简化求解.

特殊值法：设点O为△ABC的重心，则由重心的性质易知[ODAD+OEBE+OFCF=13+13+13=1.]

三、一般图形取特殊形，直截了当触要害

当题目中的图形为符合一定条件的任意几何图形时，我们不妨在大前提不变的情况下采用一些特殊的图形来研究问题，有时候会起到意想不到的效果.

例5  如图6，在[△ABC]中，[∠ACB=100°，AC=AE，][BC=BD，] 则[∠DCE]的度数为     .

答案：40°.

解：因为[AC=AE，BC=BD，]

所以可设[∠AEC=∠ACE=x，∠BDC=∠BCD=y.]

则[∠A=180°-2x，∠B=180°-2y.]

因为[∠ACB+∠A+∠B=180°，]

所以[100°+180°-2x+180°-2y=180°.]

所以[x+y=140°.]

所以[∠DCE=40°.]

题目条件中给出[∠ACB=100°]及[AC=AE，BC=][BD，] 要求[∠DCE]的度数. 分析[∠DCE]的度数应该与[∠A]和[∠B]的度数无关，于是将[∠A]和[∠B]特殊化.

特殊值法：不妨设[∠A=∠B=40°，] 则[∠CDB=][∠CED=70°.] 于是[∠DCE=40°.]

例6  如图7，在[△ABC]中，[∠ACB=90°，AB=2，]点[I]是[△ABC]的内心，[CI]的延长线交[△ABC]的外接[⊙O]于点[D，] 则[DI]的长为（    ）.

（A）[3]           （B）2       （C）[2]           （D）1

答案：C.

解：如图8，连接AI，AD，BD.

由点I是△ABC的内心，得

∠ACD = ∠BCD，∠CAI = ∠BAI.

因为∠DAB = ∠BCD，

所以∠DAB = ∠ACD.

所以∠DAB + ∠BAI = ∠ACD + ∠CAI，

所以∠DAI = ∠AID.

所以DA = DI.

由∠ACB = 90°，可知AB是[⊙O]的直径.

由∠ACD = ∠BCD，得AD = BD.

所以△ABD是等腰直角三角形.

由AB = 2，易求得[DI=2].

此题中，由于点C的位置任意，仅需满足∠ACB = 90°这个条件即可，同时原题中只有线段AB的长度为定值，由此断定结论与点C的位置无关，即与Rt△ABC的形状无关. 因此，考虑使△ABC为等腰直角三角形，以特殊图形代替一般图形.

特殊值法：如图9，设△ABC为等腰直角三角形，则CI必过圆心，即CD必为[⊙O]的直径.

所以CD = AB = 2.

过点I作IE ⊥ AC于点E，

则由I是△ABC的内心，知IO = IE.

易知△CIE为等腰直角三角形.

所以[CI=2IE=2IO.]

令[IO=x，] 则[CI=2x.]

由[CI+IO=1，] 得[2+1x=1.]

解得[x=2-1.]

所以[DI=DO+OI=1+2-1=2.]

四、几何直观催生特值，避实击虚显奇效

有些综合性较强的题目，主要考查的是学生对数学思想方法的理解与感悟，而非纯粹的计算或烦琐的推理. 有些几何题中包含着丰富的几何直观素材，这需要我们对图形有较强的敏感度. 恰当地借助几何直观，采用特殊值法解决问题，往往是不错的选择.

例7  图10是反比例函数[y=2x]在第一象限内的图象，A，B为该图象上两个动点，且[AB=4，] 若点M为线段AB的中点，则线段OM的最小值为（    ）.

（A）2                   （B）[22]

（C）[23]               （D）[22-1]

答案：B.

解：設[Aa， 2a，Bb， 2b.]

因为点M为AB的中点，

所以点M的坐标为[Ma+b2， 1a+1b.]

因为AB = 4，

所以[a-b2+2a-2b2=16，]

即[a2+b2-2ab+4a2+4b2-8ab=16.]

所以[a2+b2+4a2+4b2=16+2ab+8ab.]

所以[OM2=a+b22+1a+1b2=14a2+2ab+b2+1a2+][2ab]+[1b2=14a2+b2+4a2+4b2+12ab+2ab=4+12ab+2ab+]

[12ab+2ab=4+ab+4ab=8+ab-2ab2≥8，]

即[OM2≥8.]

所以OM的最小值为[22.]

上述解题的推理难度较高，对于一般程度的学生来说，就算是给予针对性地指导，也未必能够完全接受. 观察图象可以发现，在线段AB沿着x轴从左向右运动的过程中，线段OM的长度是先由长到短，再由短到长的，反之亦然. 根据反比例函数图象的轴对称性（[y=2x]的图象关于直线y = x成轴对称）知，当线段OM与图象处于同样的对称状态，即点M位于直线y = x上时，线段OM最短.

特殊值法：如图11，点M在第一象限角平分线上，且OM⊥AB，分别过点A，B作x轴、y轴的垂线，垂足分别为点P，Q. 根据对称性，易知两垂线的交点在OM上，设为点N.

显然，△ABN为等腰直角三角形，设点N的坐标为[Na，a，]

则点B的坐标为[Ba+22，a.]

由[a+22a=2，]

解得[a1=-2+2，a2=-2-2]（舍）.

所以[ON=22-2.]

所以[OM=ON+NM=22-2+2=22.]

例8  如图12，已知∠MON = 30°，边长为3的等边三角形ABC的顶点A在射线OM上移动，顶点B在射线ON上随之移动，则线段CO的最大值为     .

答案：[33+3.]

解：如图13，在△OAB中，因为∠AOB = 30°，且AB = 3，若AB的位置固定，则点O的移动路线是以AB为弦，所对的圆周角为30°的⊙P.

其中，∠APB = 2∠AOB = 60°，

即△ABP为等边三角形.

点C在⊙P的外部，而点O为⊙P上一动点，则当O，P，C三点共线且点P位于点O，C之间时，线段OC的长度最大，

易求得线段OC的最大值为[33+3.]

分析题意，可知点A在射线OM上移动，带动了点B及△ABC位置的改变，在点A自左向右移动的过程中，线段OC的长度经历了由长到短，再由短到长的变化过程. 由角的轴对称性可知，当△ABC与∠MON处于同样的对称状态，即点C位于∠MON的角平分线上，亦即OC垂直平分AB时，线段OC的长度最大.

特殊值法：如图14，连接OC，当OC垂直平分AB时，线段OC的长度最大.

此时∠ACO = 30°，∠AOC = 15°.

在OC上取点P，使∠OAP = 15°，易知∠OBP = 15°.

则OP = AP = BP，且△APB是边长为3的等边三角形.

所以[PC=33.]

所以[OC=OP+PC=3+33.]

五、结束语

特殊值法在解题中的应用，远不止上述所列举的几类. 适宜用特殊值法求解的题目通常具备特殊的代数或几何结构、特殊的图形、特殊的数据或特殊的命题表述. 虽然特殊值法的运用会受到一些条件的制约，但这种“巧用”却是解题方法的重要补充. 要想活用特殊值法解题，不仅需要学生具有敏锐的观察力，更需要其具有严谨而深刻的逻辑判断能力. 恰当使用特殊值法，能够有效降低题目的求解难度，实现化繁为简.

要想让学生正确、有效，且主动地应用特殊值法求解题目，需要教师在平时的教学中有意识地引导学生进行全方位地深入审题，既明晰题目的一般呈现状态，又善于挖掘题目潜在的特殊状态，巧妙地进行一般与特殊的相互转化，使学生既具有直面一般状态的过硬基本功，又有适时、合理地使用特殊值法解题的意识与能力，两者互为补充，优化思维品质，提高学生的学业水平，为学生的长足发展奠定基础.

参考文献：

[1]龚艳辉. 用“特殊值法”妙解“压轴题”[J]. 数学教学通讯，2014（10）：40-41.

[2]裘秀琴，张良江. 巧进退  妙迂回：例说初中数学解题的间接转化策略[J]. 中学数学教学参考（中旬），2018（6）：34-37.