论类比推理形式化

那顺乌力吉

(内蒙古师范大学 内蒙古 呼和浩特 010022)

正如阿托查·阿利塞达和唐纳德吉利斯所言：“类比推理的形式化仍是正在成长的研究领域，关于一个类比究竟意味着什么还没有一个明确的概念。”[1]因为还未形成一种明确的概念，使得对于类比的形式化呈现了多样性。这些进路的丰富性体现在，进路领域或者视角的多样性，也就是从不同领域对类比推理进行形式化或者对类比推理形式化进行探讨。

类比推理形式化路径虽然出现了多种多样，但并非不可分辨，模糊不清。实际上，目前存在的形式化存在隐喻与非隐喻方式。 隐喻的方式中典型的是斯坦哈特的隐喻逻辑。对隐喻进路因国内黄华新、徐慈华和胡毅敏等学者已经充分讨论，在此先不讨论。然而，非隐喻方式是并未受到多少关注。实际上，非隐喻方式的形式化也已经开始慢慢兴起，而且展现出多种路径的发展。

1 多种形式化路径

1.1 类比形式化的可能性——数学中的类比

数学中的类比探讨，开始于波利亚上世纪50年代的工作。在其著作《数学与猜想：数学中的归纳和类比》中探讨了数学中的类比。他的探讨首先辨析类比这一概念的含义。他说明，类比一词的希腊语词源Analogia愿意是比例。例如：6：9=10：15。但通过图形的比较，例如：三角形与棱锥相似(取一条线和一个多边形，过线所有点与线外一个点连接得到三角形，过多边形所有的点与多边形外连接得到棱锥)，四边形与棱柱相似。这种平面图形与空间图形就无法进行比例对应，所以就将比例变成类比。波利亚也强调类比有含糊的地方，对这种含糊我们不应当忽视。

波利亚通过著名的毕达哥拉斯定理说明在数学中一般化、特殊化和类比之间的关系。

图1.1 毕达哥拉斯定理的特殊化处理图

如图1.1 从Ⅰ到Ⅲ是一般化的过程：就是将a2+b2=c2的证明拓展到一般的多边形。这样直角三角形斜边的多边形面积就等于λa2□，那么我们就能得到λa2=λb2+λc2。从Ⅰ到Ⅱ是从特殊到特殊，也就是一种类比。

波利亚所探讨的数学中的类比是广泛而深入的。他不仅发现在数学中，类比在证明里发挥一定的作用，类比也在许多数学发现中发挥至关重要的作用。他举了数学史上最著名的例子之一欧拉发现无穷级数的精确值的例子。这一例子中，欧拉用类比作了一个非常大胆的猜想。这一大胆猜想使得他发现了雅克·伯努利与他弟弟约翰·伯努利。是继牛顿和莱布尼茨之后微积分最重要的两位奠基者[2]。他发现了好几个无穷级数之和，试图解决却未曾解决的所有自然数倒数之和。

拉普拉斯曾说过：“甚至在数学里发现的主要工具也是归纳和类比”[3]。波利亚想要展示的数学中的类比是多面的，丰富的。如上面所给出的那样，他不仅指出平面几何和无穷级数的一些重要发现中类比发挥重要作用，而且也指出，立体几何中也存在类比的这样作用。在立体几何中面、棱E、顶点V之间数目关系就是通过类比进行研究发现的。

这是波利亚所显示的数学中的类比。关于数学中的类比早在欧拉时期就有所论述，拉普拉斯也有些论断，但波利亚是较早系统地阐释类比在数学中的角色和作用的。显然我们不能够直接说明，这就是类比形式化的最早尝试。实际上这样的展示与形式化离得很远。但我们可以肯定地说这是类比形式化的第一步，也就是说波利亚的这一步已经说明了类比能够通过严格的方式表达的可能性。这一严格的表达的可能性在形式化的语境中恰恰为形式化道路开辟了一条可能的道路。

1.2 认知科学类比形式化

类比推理在认知科学中的研究如火如荼。与此相应，认知科学的类比形式化也逐渐开始有所讨论。在认知科学中类比形式化的最显著的工作来自于罗素(Russell Greiner)。 上世纪80年代他在类比形式化方面做了一些工作，这些工作从他的博士论文开始，也散见于他的一些专著和论文中，例如，“Learning by Understanding Analogies”(Stanford University, Technical Report ST AN-CS-l 071.)与他的扩充专著。他的类比形式化是一种称之为基于抽象化的类比推演(Abstraction-Based Analogical Inference)。基于抽象化的类比推演是为讨论由理解类比来学习的任务而展开。在类比形式化中论述了如何使用已经深入理解的源域中的信息对目标域提出新的假设的过程。[4]罗素指出，日常交流经常使用类比，说话者不会按照理想的如此清楚地说出自己的话，而常常使用大量的类比来表达，此时听者就会进行解码过程(Decoding Process)，这一解码过程，称之为类比推演(Analogical Inference)。在此过程中使用类比线索(Analogical Hint)：□A像B，从而断定B存在的事实，A也存在。

图1.2 Th+ 导图

罗素指出一种处理类比推理学习问题的系统NLAG，该系统是通过类比线索提出新的猜想的一种程序。上面例子就是通过该程序进行解决的。罗素说明该程序有两个特征：第一，该程序对任务采取基于模型的进路，该进路普遍采取一般化(Generalisation)的方法，该方法在不同的文献中也被称作抽象化(Abstraction)；第二，NLAG并不寻找两个类比项，而是通过类比线索“A像B”进行处理。罗素认为NLAG实际上在做隐喻推理(Metaphorical Reasoning)，而不是类比推理(Analogical Reasoning)。[4]

给出这种规定后罗素给出类比推演形式定义。该形式定义通过三个步骤来完成：首先，一般地定义学习；其次，将这一学习过程限制在类比中；最后，对于有用进行说明。罗素使用“|～”来表示有用的类比推演过程。这一算子在一个完整的有用类比推演过程中牵涉三个输入：理论Th、类比线索“A～B”和目标问题。输出是一个新的命题。形式定义如下：

一个理论只能解决自己理论范围内包含的合式公式，也就是一个合式公式对于一个理论而言是演绎封闭的。因此，对于理论Th'←Th也就是Th'=ThU{φ(A)}的条件Th是对于φ(A)是演绎封闭，而这一点就是未知的这一概念的形式表达。因为对Th加上新公式φ(A)而扩充的，因此一致的要求就是不能够语义推演┐φ(A)，否则将是不一致的，也就是矛盾的。因为Th语义推演φ(B)，而且A与B像，因此ThUφ(A) ，也就是扩充后得到的Th'语义推演目标问题，φ(A)是类比。罗素指出“有用的”这一条件是后验的条件。罗素也指出上述定义只允许一元公式，也就是说，从单个源域类比项到单个目标域类比项的一种类比。基于类比推理中大量非一元类比推理的事实，罗素将上述公式从一元扩展到多元的集合，例如上述B变成集合{bi,B}，目标域中A变成集合{ai,A}，从而理论Th(b1,…,B,…,bn)到Th(a1,…,A,…,an。

在这一形式定义框架中罗素也讨论了上面所讲的例子，那一例子的形式框架是：

这一形式处理遇到一种困难，其困难就是如何确定一个类比是最好的，最合理的。对于这一点上述定义不能提供任何线索，因此罗素就诉诸于洞见。此外，他将洞见区分为最好的洞见Imost、最差的洞见Ileast以及一致的洞见Icoherent。罗素对两个极端的情况并无理会，认为合理的有用的类比推演应当是Icoherent。但他承认从后验角度对其进行判定是较为容易的，然而从先验的角度对进行判定是一个很大的难题，因为对n个命题存在2n子集的可能性。

罗素给出了这一类比形式化之后，介绍了这一类比形式化的实验验证的程度。这与很多对于类比形式化的逻辑进路不同，也是认知科学对类比推理进行形式化的一个重要特征之一。

2 溯因推理的类比形式化

加贝和伍兹的研究表明类比推理形式化能够以溯因推理的方式实现。他们所尝试的类比推理形式化是在溯因推理架构的基础上进行的。因此我们首先需要说明溯因推理架构，然后再说明类比推理形式化。

2.1 溯因推理架构

溯因推理与类比推理的联系使他们从溯因推理的视角对于类比进行形式化研究。这种类比形式化是基于溯因推理的概念架构中进行的。因此我们要考察这种类比形式化，首先需要讨论溯因推理的概念架构。上面所使用的溯因一般意义上是包含三个认知过程的种类：假说产生的过程、从众多竞争假说中选择某个假说的过程、锁定假说的过程。这三个过程的逻辑分别是：假说产生(Hypothesis-generation)的逻辑、假说约定(Hypothesis-engagement)的逻辑、假说流出(Hypothesis-discharge)的逻辑。从第一阶段到第三阶段，假说已经从产生，经过被选择，最后达到断定，这是一种过滤器模型。

2.2 类比推理形式化

在给出溯因推理架构和过滤结构后，类比推理形式化还需要两部分内容：其中一个显然是类比形式化本身，关于这一点加贝和伍兹通过元进路(Meta approach)进行的；另一个是还有两点说明的准备工作。

类比推理形式化——元进路

早在20世纪70年代达登(Lindly Darden)的一篇论文中所提出的架构内将溯因推理者标注成为进行类比者。这里关键是达登所提出的假说产生和约定问题的架构。我们依据加贝和伍兹所给出的达登架构梗概来考察一下他的架构。达登的架构受汉森的架构影响的。下面我们按照时间顺序，先后考察这两个架构的梗概，见图2.1所示。

汉森的架构中并非明确地谈到类比，也并没有将溯因推理者标记成进行类比推理者，而是标记成类型推理者。加贝和伍兹的元进路与这两种架构都密切相关[5]。因此我们也需要介绍汉森架构的梗概。

汉森的架构：

1)观察到或相遇一些令人惊奇的现象p1, p2, p3…。

2)但找到假说H类型后，这些现象p1, p2, p3…将不再是令人惊奇的。这些现象是与假说H类似假说所能推出的现象，并且从这些类型得到解释。

3)因此我们就有足够的理由将对假说H的类型进行详细说明，这假说类型的假设可能解释现象p1, p2, p3…。

图2.1 达登架构

约翰和伍兹的元进路将这两个架构综合，在此基础上提出一种称之为类比论证的元论证理论(Mata Argument Theory of Analogical Argument：MATAA)。相比而言，汤姆森将那两件案例进行类比推理的基础归于未命名的“类比基本法则”：推理价值平等相似的事件得到相似地处理。这一法则如同休谟的那个著名论断，按照当代的计算的科学哲学语境中是相当模糊。我们看出加贝和伍兹的这个一般化的处理比较精确。此外，他们指出这一“一般化”是汤姆森给出的两个案例更深一层的共性，由此他们认为类比论证实质上是元论证。

加贝和伍兹通过这一例子给出了他们的元论证(Meta Argument)：

论证A具有深层结构，这结构中前提A支撑关系R投射到论证结论中；论证B与论证A共享相同的深层结构；因此，B也具有那种深层结构：论证B的前提也相似地将关系R投射到论证结论中；因此B是A的类比，A和B在好论证或坏论证方面是推理价值平等。

按照元论证中的这些规定，就上面给出的例子而言，就会有如下的对应：加贝和伍兹指出，上面例子中论证A是小提琴手论证，B论证是怀孕论证，而深层结构是上述一般化，R关系是强后承关系。有几个关键点值得提出的是类比中有两个关键步骤：第一，一般化已经得到评估的论证；第二，将一般化的论证具体化到不同的论证上。更为关键的是具体化过程中，具体化的属性是一般化过程中也保存。加贝和伍兹指出，后一步骤在达登架构中是个别化。

加贝和伍兹这样给出了类比推理的形式化之后，为这一模型，也就是MATAA进行了辩护。他们认为MATAA有两个优点：一，MATAA将类比推理还原为任务——属性的一般化和深层结构中有共性的具体化，使得类比推理过程变得简单，清晰；二，它使得达登和汉森的架构洞见更加清晰，而且通过内容来充实这两个架构。

结语

从上文看出，类比推理形式化还远未完成。毋宁说，如今类比推理形式化都处在一种尝试阶段。看到这种尝试分为隐喻进路和非隐喻进路。非隐喻进路的尝试，使得我们看到类比推理从非隐喻角度形式化的可能性。这种可能性或许不能足够大到如许多现代逻辑系统那样处于完成状态。而且，类比推理形式化始终无法与经验相关的心理内容扯断联系。这是因为类比推理的经验依赖性和主体依赖性特征所致。因此，一种合理的类比推理形式化应当尽可能的刻画类比推理这些性质。这一点只能通过对形式化提出新的要求：即，弱化经典逻辑以及现代逻辑的形式化概念才能完成。这种弱化表现为从经典逻辑以及一些成熟的现代逻辑的语形形式化基础上语义形式化相对应的方式转变为直接从语义形式化入手或者涉及到语用方面等方式。因此，似乎很难找出经典逻辑的那种形式化。