中高速转动机械结构的振动特性研究

唐刚

（中珐国际核能工程有限公司，四川 成都 610000）

随着我国经济从高速发展到高质量发展的转变，机械制造业也处于从高速发展到高质量发展的转型变革中，在中高速转动机械的设计工作中，需要对机械结构进行振动特性分析，并根据分析结果优化机械结构设计，提升产品质量和经济效益。

1 概述振动特性分析和转动机械设计工作的关系

对于中高速转动机械产品，过度振动会加快机械磨损，加重噪声污染，影响产品的稳定性、安全性、使用寿命等问题，对于转动机械的设计，振动分析越来越受到设计人员和研究人员的重视。在产品研发阶段设计迭代次数较多，采用合理的分析方法，可以提高设计效率，节约设计成本。

2 振动特性分析在转动机械设计中的应用原则

机械系统的振动往往是复杂的，应根据具体情况和要求，简化为单自由度系统、多自由度系统等物理模型，再运用力学原理及数学工具进行分析。在中高速转动机械设计中，转动部件作为机械振动的来源，需要对其进行准确的振动特性分析，转动部件一般为对称设计，利于模型简化，可采用理论计算。工程中只有极少数简单的结构可以简化为连续系统，对于绝大多数实际问题，需要采用近似计算方法，将分析对象简化为单自由度系统或多自由度系统进行分析。

3 转动部件振动特性分析的实际应用

离散系统振动特性的近似计算方法有多种，本文以某中高速电子转子为例，介绍集中质量法和传递矩阵法的应用。对转子进行振动特性分析时，转子的横向振动和扭转振动需要单独建立物理模型进行分析，分析思路基本一致，本文主要考察转子的横向振动特性。

3.1 集中质量法在转子振动特性分析中的应用

集中质量法是将连续系统离散为有限自由度系统，是一种物理概念清晰且简便易行的近似计算方法。本文所列转子结构由转轴和转子铁芯组成，质量主要集中在转子铁芯处，忽略轴承刚度和基座刚度的影响。转子的横向振动受转轴的弯曲刚度和质量分布影响，模型处理时将转子结构简化为由无质量变截面梁和有限集中质量点组成的离散系统，为便于计算和对比说明，本文仅将模型简化为单自由度系统和三自由度系统进行分析。

（1）单自由度系统的近似计算

单自由度系统模型是解决振动特性问题最简化的形式，将转子结构简化为无质量变截面梁和单集中质量点的简支梁结构，集中质量点位于转子重心处，如图1 所示。

图1 转子结构简化为单自由度系统示意图

由柔度表示的固有角频率求解公式如下：

对于变截面简支梁结构，可利用卡氏定理求解某点处的柔度，卡式定理表达式如下：

AC 段和BC 段的弯矩方程，弯矩对广义力的偏导方程如下：

将式（3.4）和式（3.5）代入式（3.2）可得C 点变形方程。

其中Ii1为AC 段各截面惯性矩，I2i为BC 段各截面惯性矩，对不同截面段分段积分，并取广义力iF等于1，得到C 点柔度，将柔度Cδ和转子质量m代入式（1）可得单自由度系统下转子结构的固有角频率近似计算值。代入转子结构的相关参数求得该简化模型下的固有角频率为

（2）三自由度系统的近似计算

将转子结构离散为无质量变截面梁和三个集中质量点的简支梁结构，集中质量点位置分别取转子铁芯两端和转子铁芯中心处，质量均为m/3 ，如图2 所示。

图2 转子结构简化为三自由度系统示意图

由柔度矩阵表示的特征方程如下：

本简化模型将转子质量均分在三个集中质量点处，质量矩阵为：

其中，为柔度影响系数，其物理意义为在j坐标施加单位广义力时沿i坐标所产生的位移。柔度矩阵对角线元素根据上述单自由度系统中柔度的求解方法计算，对角线之外的元素采用附加力法，利用卡氏定理求解。

将式（8）和式（9）代入式（6），则有：

展开后可得ν的三次特征方程，求解该方程可得系统的前三阶固有频率。经计算该简化模型下转子结构的一阶固有角频率为

3.2 传递矩阵法在转子振动特性分析中的应用

传递矩阵法适宜计算链状结构的固有频率及主振型，像连续梁、汽轮机、电机转轴等结构可以简化为无质量的梁上带有若干集中质量的振动系统。传递矩阵法的基本思路是将离散链状结构系统视为由一系列代表惯性的点和代表弹性的场构成，每个单元上的点传递矩阵和场传递矩阵构成单元传递矩阵，各个单元传递矩阵依次连乘构成总传递矩阵，最后根据边界条件建立频率方程，求解固有频率。类似集中质量法，将转子结构离散成为无质量的变截面梁上带有若干集中质量的横向振动系统，由此将连续问题转化为多自由度问题。

对于转子结构的横向振动问题，任一截面的状态向量包括4 个元素，即广义位移y与θ及广义力Q与M。

相邻的状态向量之间的传递关系为：

Hi为第i个单元的传递矩阵，此种离散方式下Hi的表达式为：

从最左端到最右端的整体传递关系为：

H为总传递矩阵，其表达式为：

本文分析模型为简支结构，边界条件如下：

利用式（15）和式（16）导出频率方程式如下

在本示例分析中根据转轴的截面分布和质量分布将计算模型划分为12 个单元，利用数学计算软件求得一阶固有角频率为

4 振动特性分析方法的对比研究

通过以上分析方法和计算结果对比研究，将转动机械结构简化为单自由度系统最为方便，且能保证一定精度，由于将转动结构的质量全部集中在转轴刚度最小区域，计算的固有频率小于转动系统的实际一阶固有频率，对于转速低于一阶临界转速的转动机械结构设计，采用此方法能方便地给出保守的结论，具有重要的实际意义。集中质量法的计算精度与离散密度和质量分配有关，本文示例计算为便于说明情况将质量均匀分配在三个质量点，外侧两个离散质量点离重心较远，因此计算一阶固有频率可能大于实际固有频率，当离散密度较高时，计算工作量会随着自由度增大显著增加。传递矩阵法是将转动结构系统的计算分解为阶数较低的各单元的计算，每个单元的传递矩阵的阶数与系统的自由度无关，从而极大的减少了构造矩阵的计算工作量。目前有限元法在工程应用中最为广泛，对于复杂模型的分析一般采用有限元软件进行仿真计算，但理论近似计算分析更容易使设计人员认识和掌握转动机械结构振动特性分析的理论内涵，从而更好的指导设计工作。

5 结语

我国正在从制造大国到制造强国转变，制造业正在向高质量发展，要实现这样的目标需要各个岗位上的工作者共同努力。对于机械设计人员需要不断夯实基础理论，拓展专业知识面，在中高速转动机械结构设计过程中，准确的振动特性分析非常重要，可以保证在合理的结构下有效避免机械运行中发生共振的可能，设计人员需要掌握振动特性分析方法，理解分析方法的理论内涵，合理简化分析模型。