因势而『为』巧整合 精准采『点』深思辨
——以《分数的初步认识》单元统整为例

文|陈飞 庄旦丹

错例：把2个相同的面包平均分给3位同学，每位同学分到这些面包的（）。

这一类型是学生熟悉得不能再熟悉，却又“反复受伤”的题目，甚至到了毕业考试，正确率仍不容乐观。笔者曾对本校五六年级的学生做过调查，错误率分别高达58.6%和32.9%，在访谈中笔者还发现两个现象：一是找不准单位“1”。但当教师在“这些面包”下面划出横线，标上单位“1”时，有超过25%的学生发现了自己的问题，并能迅速答对。二是低阶思维。回答正确的部分学生，机械记忆教师传授的“秘诀”：有单位名称的是把数量分一分，没有单位名称的是把单位“1”平均分。那么，怎样从学生的认知水平和思维特征出发，合理、有序地设计立体式的教学活动，在三年级初识分数时上好“种子课”呢？笔者尝试从以下几个方面出发，抓住核心本质，探究深度学习。

一、为“诊”而测，找准起点

前测目的：了解学生对于分数含义以及大小比较的认知程度和表征能力。

前测对象：三年级全体学生272名。

前测方式：无提示笔试+后期访谈。

前测题目：

①把1个苹果平均分成2份，每份是（）个。

②如果把每个图形看成整体“1”，你能用分数表示涂色部分吗（图略）？

从前测中我们可以看出：

1.分数表征，存在欠缺。

第①题中，有超过半数的学生写出了正确答案，其中有个班能用“个”符号表征结果的约占全部人数的13%，另一个班中表示“个”的人数有所下降，用半个表示的人较多，说明学生对整数以外的数有一定的了解。从第④题看出，学生具备了画图表征的经验，但在“平均分”和“涂出一份”这两个点上，学生错误率较高，说明学生对于的图像表征理解不完整，还存在着一定欠缺。

2.分数含义，理解模糊。

学生对分数的书写形式有了初步的感知，有个班对于总份数理解尚可，但颠倒了总份数与所取份数的位置；另一个班不仅有同样的错误，而且对于总份数的理解还存在偏差，准确率不到10%。由此可见，学生不能准确把握分数中总份数与所取份数这两个量与分子、分母之间的联系，对于分数所表示的含义是模糊的，在分数本质理解上很不到位。

3.分数比较，粗浅模仿。

纯数字化的比大小较为抽象，学生还没有这方面的表象。在访谈中发现，同分母分数大小的比较学生建立在最初的整数大小比较的模式上，这种迁移仅仅停留在模仿层面，对同分子异分母分数大小的比较很陌生。

二、为“源”而理，聚合散点

要跨越以上几点“障碍”，重要的是整体理解教学内容的内在关联性，再加以分解，逐步把目标具体化。为此，笔者从横向和纵向两个方面出发，做了深入的解读分析，以此追根溯源，避免短视行为。

1.横向梳理，解读单元教材内容。

通过横向梳理教材内容，我们可以发现，分数的初步认识是在学生掌握整数加减法、除法的意义等基础上学习的。分数和自然数一样，是一种有大小的数，可以表示具体量的大小，也可以表示两个量之间的倍比关系。从数的叠加到数的均分是数概念的一次扩充，它是后续分数的意义和小数初步认识的基础。

三年级上册“分数的初步认识”是学生第一次接触分数，单元知识结构为：分数的初步认识（认识几分之一，几分之一比大小，认识几分之几，同分母分数比大小）；分数的简单计算（分数加减法，1减几分之几）；分数的简单应用（把一些物体看成整体，解决问题，整理和复习）。

由于学生第一次接触较为抽象的分数，所以教材在内容的编排上有以下几个特点：（1）教学内容，步子略小。从分数的初步认识——分数的简单计算——分数的简单应用，在难度上进行了分散，用分数的计算缓冲了“一个物体”到“一些物体”带给学生的认知负担。但从另一个角度而言，这样的小步子教学略显“碎片化”，就分数含义揭示的一般性而言，缺乏整体化的观察和对比，不利于学生抽象思维的发展。（2）大小比较，植入过早。同分子（母）分数的大小比较，紧跟在分数的认识之后。多数学生发现规律后，就会直接进行应用，导致分数大小比较过早形式化，对于分数含义的巩固不利。（3）画图表征，比重不足。在学习解决问题之前，教材基本以直接给出直观图为主，学生的画图能力没有得到足够的重视，这也使学生在后面的学习中出现不会表征或表征单一，以及题意和图示不相对应等现象，对于解决问题造成一定的困难。

2.纵向比较，把握教材前后脉络。

“只见树木不见森林”的教学，难于从整体上把握教材结构。小学阶段有关“分数”的教学内容主要分布在哪些年级？每节课的主线是什么？承载的目标是什么？前后又有哪些关联？笔者对教材进行了纵向的比较，从比较中可以发现，三年级上册的“分数的初步认识”直接影响着五年级下册“分数的意义和性质”的教学；“分数的简单计算”为五年级下册“分数的加法和减法”算理的理解和算法的掌握积累丰富的计算经验；“分数的简单应用”是六年级上册分数乘除法的雏形。由此可见，三年级中有关分数的知识点，对后续的学习起着重要的奠基作用。

三、为“效”而整，撬动支点

分数概念的建构是一个螺旋上升的过程。三年级学生认知经验是有局限的，认知方式是感性的。此时学生只要结合具体情境进行平均分和分数之间的自如转化，并感受到分数是一个由三个部分组成的整体来表示“平均分不到1的结果的大小”，目标即达成。因此，学生只有撬动“行为”和“符号”之间的一一对应关系这一支点，才能从直观经验建构概念深入到充分关注分数的本质内涵。

1.聚焦目标，让整合教学更有“理”。

综合前测解读和教材分析，笔者认为在教学中应该做到以下三点：（1）增加有关分数“量”的学习，并加强在“量”的联系对比中过渡到“率”，理解分数的含义。（2）通过丰富的操作活动，从面积模型、数线模型过渡到数量的关系，进一步感知分数的本质特征。（3）引导学生在可视化的表征中理解掌握解决分数问题的多样化策略。为此，笔者对本单元的内容做了以下的重组和调整——认识几分之一和几分之几；练习课；把一些物体看成一个群体；解决问题；练习课；分数比大小；分数的计算；练习课；整理和复习。

2.分层推进，让知识衔接更有“利”。

立足“分数的初步认识”中分数的含义、应用与计算三个知识内容，将本单元学习课时进行重组、调整。（1）把“认识几分之一”和“认识几分之几”4个例题合并成1课时，让学生从整体的角度更好地感知分数的含义，明确总份数、所取份数和分子、分母的一一对应关系。（2）将“把一些物体看成一个群体”、“解决问题”2个例题进行前置，在原有教学目标的基础上，整合“分数的简单运用”中“以多当一”的内容，让学生在理解“几分之一”的基础上，从单个数量的几分之一走向多个数量的几分之一模型建构，并趁热打铁用多种表征解决分数的相关问题。（3）将“分数比大小”和“分数计算”2课时延至第三阶段，引导学生从“一个物体”和“一些物体”两个维度出发去思考、去表征，让分数的大小比较在具象和抽象之间来回沟通，更加丰富、更加立体，从而进一步巩固分数的含义，明确行为和符号的对应关系。另外，每一大块知识点之后都设置了相应的练习课，对整合的内容进行及时巩固和拓展。

3.多元表征，让探究生长更有“力”。

笔者从概念表征的视角出发，对本单元主要新授课的思路进行架构。通过“原型再现”、“表征内化”、“完善结构”三个主要步骤，完整表征间的转化和互译，顺应儿童学习心理的发展，引导学生逐步认识分数，让学习充满生长的力量。

（1）寻分数产生之源，循序渐进。

以“分纸”切入，架构除法和分数之间的联系；用“量”呈现，感受分数产生的必要性；以“量”导“率”，画物体或图形的个——折几分之一个——涂几分之几个——提炼分数含义——构建分数模型，感受计数单位的累计。

（2）探分数结构之本，抽象建模。

“以一当一”延伸至“以多当一”，引发认知冲突，沟通联系区别；借助图形，呈现“整体”的不同类型，构建分数模型，探究分数结构的本质；任务驱动，利用《学习单》表示一些物体的几分之一和几分之几，摒弃一问一答式的教学方式；交流探究，在对比中体会变与不变。

（3）融分数理法之美，策略共生。

如何让图示会“说话”，最重要的是“会悟”。教材中的分数比较是直接给出直观图，降低了难度。整合后的教学引导学生从“一个物体”和“一些物体”两个层面出发进行思考，探究过程中需要悟出三个层次：一是统一标准。在同分母分数比较大小时，学生出现了分子大的分数反而小的情况，通过观察，学生发现错例中所取的标准不一，的正方形图大，的正方形图反而小。通过对比，学生明白必须统一标准，即同一个物体或同样多的一些物体，否则就不公平。二是确定数量。在几分之一的大小比较（和）时，选择“一些物体”表征有一定难度，学生发现统一标准（数量为5个）后，无法表示。通过讨论发现，只统一标准还不够，数量的确定还大有讲究，进一步引导学生需要找两个分母的公倍数（分母相乘）。三是等值“替身”。拓展部分给出分子和分母都不同的两个分数，引导学生明白除了画图，还可以寻找“替身”即等值分数比较更为简单，实现策略的多样化和优化。在三个“悟”中，进一步巩固分数的含义，也让学生感悟到分数的大小比较就是在比相同计数单位的个数。

4.题尽其用，让知识联结更有“底”。

单元重组并不一定是单元内所有知识的一个整合，也可以是单元内习题的整合、内容的补充、知识的拓展等，关键是要具备单元整合的意识。

（1）以小见大，提升高度。

“分数的初步认识”第1课时跟进练习：你能表示出下面这条线段的几分之一或几分之几吗？

（线段长10厘米，事先不告诉学生长度）

在揭示分数的各部分名称、初步认识分数的含义后，学生已经对“平均分”深有感触。所以碰到这道题时，学生会先进行测量，然后根据经验平均分成若干份（2、5、10份），并选取其中的1份和几份用分数表示。教师给予肯定并及时追问：为什么同样一根线段，大家所表示的分数却不一样呢？讨论后引导学生发现，在0-1之间有无数个分数，并用数线的形式进行展示，让学生感悟分数就是把“1”进行不断均分产生的。

（2）动态分步，拓宽广度。

“分数的初步认识”第2课时跟进练习：①出示图（a），估一估灰色小正方形是整个大正方形的几分之几？你有什么方法验证？②出示图（b），你能用分数表示阴影部分吗？③出示图（c），现在你还能想到哪些分数呢？

在本题中，题①结合估算培养学生的空间观念，并鼓励学生用折一折、量一量、分一分等方法进行验证，感受策略的多样化；题②的阴影部分是离散的，让学生感受分数单位的累计产生新的分数；题③的阴影部分通过移动，让学生感知可以从不同角度进行观察，渗透了分数的基本性质。通过动态分步呈现习题，把看似比较简单的内容进行合理拓展，使学生的思维逐渐变得深刻、灵活。

（3）内容延伸，挖掘深度。

“分数的大小比较”跟进练习：

先出示题①，引发学生认知冲突，质疑为什么同样的两个分数，大小会不一样呢？引导学生画图验证。随后马上跟进题②，从部分推理整体，考查学生的逆向思考能力。通过题组对比练习拓展延伸，让学生明白当单位“1”的量不同时，得到的分数可能相同也可能不同，为以后分数的学习埋下伏笔。

单元重组教学不是教学内容简单的合并、增加与调换，教师“心中需有一盘顾全大局的棋”才能高瞻远瞩；学生“脑中需有一张思维导航的图”才能触类旁通。只有抓住核心、触及本质的统整，才能让深度学习真正发生。