基坑开挖对下卧盾构隧道变形影响的计算分析

徐国元，黄思源

(华南理工大学 土木与交通学院，广东 广州 510641)

0 引 言

近些年来，基坑开挖在我国城市建设中较为广泛，由于基坑工程的周围环境越来越复杂，施工过程中会对下卧的盾构隧道及管道等结构物造成一定的影响。特别在软土地区，除基坑自身支承结构强度及稳定性应达到要求外，还必须严格控制隧道衬砌结构的变形和保证列车正常运营安全。因此，如何合理计算分析基坑开挖对下卧既有盾构隧道变形的影响，是工程建设中亟待解决的问题之一。[1-2]

目前，很多学者就此问题进行了探索和研究。在模型试验方面：Y.KOJIMA等[3]研究了地面加卸载2种不同工况条件下隧道衬砌的变形规律；魏少伟[4]通过设计2组离心模型试验，分析了在开挖卸荷作用下，坑底不同位置处隧道横截面附加内力和附加变形的分布规律；姜兆华[5]在室内试验中设计了3种工况，通过改变隧道与基坑间的相对空间位置关系，总结出隧道结构附加弯矩和周围土压力的变化规律。在数值模拟方面：高广运等[6]应用FLAC 3D模拟了基坑开挖及坑外地层二次加固的全过程，发现既有的地下结构和土体加固可以减小基坑周围土层的位移；郑刚等[7]依托天津市区某实际基坑工程，采用更符合土体变形特性的HSS模型模拟分析，划分出在围护结构不同变形模式下基坑开挖对隧道变形的影响区域；刘方梅[8]在软土地区工程实例的基础上，建立了不同本构模型并与工程监测数据比较，发现采用HSS模型分析的结果与实测数据最为吻合。在理论解析方面，两阶段法是常用于分析基坑开挖引起邻近隧道变形的方法，刘国斌等[9]首先提出了坑底卸荷残余应力的概念，由刘浩[10]将其应用在Mindlin基本解中；张治国等[11]充分考虑了基坑底部和四侧坑壁土体同时卸荷的作用，结合Winkler地基梁模型求解得到隧道纵向的变形，与现场实测数据有较好的吻合性；周泽林等[12]在第一阶段计算附加应力中把地基看作黏-弹性空间体，同时还考虑了降水和支承结构的作用等因素的影响，最后基于Pasternak地基模型计算得到隧道的变形和内力值。

由于室内试验要求条件较高以及数值模拟存在建模复杂、计算耗时的缺点，笔者从理论解析方面入手，在两阶段法的基础上，通过在Pasternak地基模型的上部增加一层弹簧层来考虑上覆土层对隧道的约束作用，提出基坑开挖引起下卧盾构隧道变形的简化计算公式，通过将隧道变形的解析解分别与数值模拟结果和实测数据进行对比，验证其合理性。

1 隧道纵向附加应力

1.1 建立力学模型

一隧道下卧于矩形基坑，两者中心线的水平距离为x1，围护结构与隧道的最小水平净距为s，隧道的外径为D，中心埋深为z0，基坑的尺寸为L×B，开挖深度为d，基坑侧壁按①～④分别进行编号，如图1。以基坑地面中心点为坐标原点O，平行于基坑宽度的方向为x轴，以点O到侧壁①为正；平行于基坑长度的方向为y轴，以点O到侧壁③为正；平行于基坑深度的方向为z轴，以竖直向下为正。

图1 基坑开挖对隧道影响Fig. 1 Influence of foundation pit excavation on tunnel

在求解基坑卸荷应力过程中做3点假设：①分析坑底卸荷时考虑土体的弹塑性；②不考虑基坑开挖过程中的时空效应；③不考虑基坑降水的作用。

在求解隧道上附加应力过程中做2点假设[1]：①土体为线弹性、均质的半无限空间体；②忽略既有隧道存在对计算基坑卸荷过程引起隧道处附加应力的影响。

1.2 计算公式

1.2.1 坑底卸荷分析

文献[9]认为由于土体是弹塑性材料，在基坑开挖后会存在残余应力，并通过分析工程实测资料，提出了确定残余应力系数α的方法如式(1)：

(1)

因此坑底卸荷荷载大小如式(2)：

σ=(1-α)γd

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Ω为坑底的积分区域；v为土体泊松比；R1、R2分别为基坑底面某点(ξ,η,d)及其关于地面对称点(ξ,η,-d)到隧道轴线一点(x1,y1,z0)的距离。

1.2.2 坑壁卸荷分析

由于在计算中把土体视为弹性半空间体，根据文献[14]，认为Mindlin解不能计算远离隧道的基坑侧壁②的土体卸荷应力对隧道变形的影响，只适用于计算其他3侧坑壁的应力作用。另外，坑壁土体侧向应力的释放受到围护结构影响，基坑开挖前后，围护墙后土体由静止土压力状态转变为主动土压力状态，利用两个状态下最大土压力差值比上初始状态静止土压力最大值，便可得到应力释放折减系数β，如式(7)：

(7)

式中：P0为静止土压力；Pa为主动土压力。可根据JGJ 120—2012《建筑基坑支护技术规程》[15]中的土压力计算方法或者有限元方法得到。

(8)

(9)

(10)

(11)

式中：Γc1为侧壁①上的积分区域；K0为静止侧压力系数，一般由试验直接获得。在缺乏试验条件时，对于砂性土，可取K0=1-sinφ′；对于黏性土，可取K0=0.95-sinφ′，φ′为有效内摩擦角；T1、T2分别为基坑侧壁某点(B/2,η,τ)及其关于地面对称点(B/2,η,-τ)到隧道轴线一点(x1,y1,z0)的距离。

(12)

(13)

当基坑中心轴线与隧道纵轴线成一定角度时，为了计算简便，隧道轴线上附加应力的求解可以通过不同坐标系变换来实现。在隧道正上方地面处建立局部坐标系x′-y′，其中x′轴垂直于隧道轴线方向，且通过全局坐标系x-y的坐标原点，y′轴平行于隧道轴线方向，如图2。隧道轴线上的点在坐标系x-y中的坐标(x,y)可按式(14)由局部坐标系x′-y′中对应的点坐标(x′,y′)得到。

图2 计算模型的平面投影Fig. 2 Plane projection of calculation model

(14)

式中：X为全局坐标系原点在局部坐标系中的横坐标；θ为y′轴与y轴正向的夹角。

2 隧道纵向变形理论

2.1 隧道纵向变形计算模型

城市地铁隧道一般建于深层土体中，传统弹性地基梁理论往往忽略了上覆土体对盾构隧道结构的约束作用，对于埋深超过1.5倍隧道外径的盾构隧道，可将其结构上覆土体视为Winkler弹性地基来模拟这种相互作用[16]。笔者通过在双参数Pasternak模型[17]的上部增加一层弹簧层，来分析隧道的纵向变形，既考虑了上覆土层对隧道的影响，又使下部弹簧之间产生联系，可以体现下卧地基扩散应力效应和土体变形协调性，使计算结果更符合实际，简化地基梁计算模型如图3。

图3 地基梁模型Fig. 3 Foundation beam model

2.1.1 隧道平衡微分方程

图4 微元体受力Fig. 4 Stress diagram of microelements

由微元段的力与弯矩平衡条件和材料力学[18]中梁的纯弯曲理论，隧道最终的挠曲线微分方程如式(15)：

(15)

式中：E是材料的弹性模量；I是材料的界面惯性矩；EI为隧道纵向等效抗弯刚度；G为土体剪切模量；q(y)为隧道处附加的竖向或水平荷载，可分别由式(12)和式(13)得到的σz与σx乘以隧道外径D得到；w(y)为隧道的竖向或水平位移。

由地基梁模型的基本假设可知，地基上某点的变形S仅与其所受到的应力p成正比，因此

p1(y)=k1S

(16)

p2(y)=-k2S

17)

式中：p1(y)，p2(y)分别为上、下部地基土体受到的应力；k1，k2分别为上、下部地基土体的基床系数。当上下地基为同一类土或力学性质相近时，可采用相同的基床系数k，为计算简便取k=k1=k2。

由于隧道与土体之间是协调变形的，不会发生相对滑移与脱离，即：

S=w(y)

(18)

联立式(15)～式(18)，得到梁的挠度微分方程为：

(19)

2.1.2 方程求解

式(19)是非齐次四阶常微分方程，在求解解析解上有一些难度，下面笔者应用有限差分法近似计算，同时也便于编程求解。将隧道离散为n+4个独立单元，各段长度为l。在隧道两端各补充上两个虚拟单元，对应的节点分别为-2，-1，n+1和n+2，如图5。

图5 隧道离散分析Fig. 5 Discrete analysis of tunnel

每分段的隧道位移分别为w0，w1，…，wn，假定隧道两端是自由的，根据有限差分原理可得：

(20)

式(19)中微分项的有限差分格式可表示为：

(21)

(22)

联立式(20)～(22)得到n+1个未知数为各分段位移的方程，可写成：

(K+2Ks-Gs)w=Qt

(23)

式中：K和Ks分别为隧道和地基的刚度矩阵，Gs为地基剪切刚度矩阵；Qt为作用在隧道上的附加荷载列向量；w为隧道位移列向量。

根据材料力学，将求解出的w分别进行二次和三次求导，可进一步得到隧道结构的附加弯矩M和附加剪力Q：

(24)

(25)

2.2 参数确定

2.2.1 隧道纵向等效抗弯刚度

由于盾构管片之间是通过螺栓连接的，存在纵向接缝，在计算隧道刚度时一般采用等效刚度连续模型将其视为均质圆筒进行折减，即：

EI=ηEcIc

(26)

式中：Ic为管片截面惯性矩；Ec为管片混凝土的弹性模量；η为隧道纵向刚度折减系数，按照文献[19]中的方法，取η=1/5～1/7。

2.2.2 地基参数

确定地基参数常用简化弹性空间法[20-21]，其计算简便但得到的参数精度不够高，因此周泽林[22]借助有限元软件，通过数值解和理论解反复对比试算得到k和G的最优取值方法，见式(27)、式(28)：

(27)

(28)

式中：Es为土体弹性模量；h为隧道下方的地基厚度，根据经验取h=6D；η′1，η′2分别为Es和h的修正系数，根据文献[22]的研究取[η′1,η′2]=[0.85,1.10]。

3 算例验证

3.1 有限元算例

假定某建筑矩形基坑长为L=15 m，宽为B=10 m，深度为d=6 m，采用厚度为1 m、插入深度为10 m的地下连续墙作为围护结构。盾构隧道拱顶埋深为12 m，其纵轴线方向与基坑的长边平行，与围护桩结构的最小水平净距为s=6 m。隧道纵向等效抗弯刚度为EI= 1.52×108kN·m2，管片外径D=6 m，壁厚为0.3 m。为简便计算，地基土层均采用重度γ= 21 kN/m3，弹性模量Es=14 MPa，泊松比v=0.35，的粉质黏土，土体的剪切参数c′=12.8 kPa，φ′=24°。采用文献[15]的方法计算得到基坑侧壁卸荷应力折减系数取β=47%。

采用岩土通用有限元软件Midas/GTS，建模分析基坑开挖对隧道位移的影响。土体采用MC本构关系，隧道管片与基坑围护结构均采用板壳单元模拟，有限元网格如图6。基于笔者的计算方法，把隧道分n=100段，各段长度l=1 m，通过MATLAB软件编程计算求出各段的竖向和水平位移，进而得到隧道沿纵向的变形曲线，并与有限元软件的计算结果进行比较。

图7对应隧道拱顶部位的位移值，图8对应靠近基坑侧隧道拱腰部位的位移值。分析可知，由3种方法计算得到的结果尽管在数值上有一定偏差，但是沿隧道纵向的位移曲线变化规律大致相同，呈现正态分布的趋势。采用Pasternak地基梁模型计算结果明显大于其他方法所得结果，笔者方法所得结果与数值模拟较为接近。这是因为相比于Pasternak地基梁理论，笔者方法充分考虑了上覆土体对隧道结构的约束作用，计算结果更加准确，符合客观规律。另外，由于数值模拟采用的摩尔-库伦本构模型作为理想弹塑性模型，不能区分基坑底部土体加荷和卸荷的力学响应，而笔者的计算方法则是考虑了开挖卸荷后坑底土体会存在残余应力的影响，因此得到的结果会比数值模拟偏小。

图7 隧道拱顶竖向位移值Fig. 7 Vertical displacement value of tunnel vault

图8 隧道拱腰水平位移值Fig. 8 Horizontal displacement value of tunnel haunch

相比数值模拟的方法，笔者方法计算速度快，省去了大量的建模时间，可用于初步评估基坑开挖对下卧盾构隧道变形的影响，从而尽快提出相应的工程措施。

3.2 工程案例

我国东部城市某建筑基坑长为L=30 m，宽为B=20 m，深度为d=7 m，详细的地质条件可参见文献[23]。基坑采用0.8 m厚的地下连续墙作为围护结构，插入深度为15 m，并在内部施作一道水平横撑。地铁1号线建成区间的下行线平行于基坑宽度方向，与基坑围护结构的最小净距为s=4 m，隧道拱顶与地面的距离为10 m。隧道等效抗弯刚度EI=7.21×107kN·m2，管片外径D=6 m，厚0.35 m。文献[23]采用有限元方法进行建模计算，得到应力释放折减系数β=25%。

图9、10均对应隧道拱顶部位的位移值。文献[23]采用的是基坑侧壁应力仅考虑临近隧道一侧的Winkler弹性地基梁理论，所得结果与实测值偏差较大，而笔者方法则在文献[23]方法的基础上考虑了上覆土体对隧道的作用以及隧道下卧层土体的剪切效应，因而隧道变形更趋向于实测值，进一步验证了笔者方法的可靠性。

图9 隧道拱顶竖向位移值Fig. 9 Vertical displacement value of tunnel vault

图10 隧道拱顶水平位移值Fig. 10 Horizontal displacement value of tunnel vault

笔者方法在计算中作了一些近似的折减考虑，如围护桩的挡土作用以及坑底土体的塑性变形等，且实际施工中存在一定人为因素，故理论计算结果与实测结果存在一定差异，但是都满足小于控制值为20 mm的变形要求[24]，说明在整个基坑开挖过程中隧道结构是处于安全状态的。另外，地基参数的取值也会对计算结果产生一定的影响，这需要在以后的工程实践中不断修正完善。

4 结 语

1)基于Mindlin经典解，根据二重积分法分别得到坑底及侧壁的卸荷应力引起隧道处的竖向、水平附加应力，应用数值求积法及叠加原理即可求出基坑开挖后作用在下卧盾构隧道上的总附加应力。在计算中同时考虑了坑底残余应力的影响及围护桩的挡土效应，更加接近工程实际。

2)通过在Pasternak模型上部增加一层弹簧层不仅可以体现下卧地基的剪切效应，还能考虑上覆土层对隧道的约束作用，根据力学分析得到地基梁的挠度微分方程，最后转化为有限差分方程来计算隧道整体位移值。与有限元数值模拟得到的隧道纵向变形曲线的趋势大致相同，并且与实测变形值也较为接近，相比于常规的Winkle、Pasternak地基梁模型方法，笔者方法更能够反映埋深超过1.5倍隧道外径的盾构隧道在外荷载作用下的力学响应。另外，笔者方法可以通过前期计算程序的编写，然后输入不同工程的参数即可快速得到隧道的变形及内力，省去了建模时间，能够对盾构隧道管片结构的安全性进行初步评估。