源于感性，归于理性

赵莹莹 宋劼

[摘  要] 文章以“相似三角形”的复习课为载体，通过四个篇章——“源于感性，感知理性”（即教学导入）“源于感性，运用理性”“源于感性，辅于理性”（即典型问题分析）和“源于感性，归于理性”（即课堂小结）论述了数学思维从形象认知的感性思维到理性思维的演变过程.

[关键词] 数学;教学;感性思维;理性思维;相似三角形

数学是基础学科之一，无论是九年义务教育还是后续的职业教育或高等教育，数学都占有一席之地. 作为初中数学，需要培养学生什么？教会学生什么？可以用史宁中先生的一句话来描述——“数学的终极目标，是让学生学会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界. [1] ”初中数学起着连接小学数学与高中数学的作用，小学数学注重感性认识，而初中数学的理性思维的培养更为重要. 初中阶段学生的工具理性大于概念理性，形象思维大于抽象思维，做好感性思维的延续和理性思维的淬炼是初中阶段的数学学习的重要内容.

在初中的知识体系的学习过程中，学生也在慢慢改变自己的学习方式，随着大脑不断成熟，理性思维也开始慢慢替代感性认识. 因此教师在传授知识的同时，也要注重方法的引导，建立学生的数学世界观.

全等到相似，不仅仅是图形的大小由不变到变化，其中还蕴含着解题方法、数学思维、数学思想的变化. 下面就以一节“相似三角形”的复习课谈谈笔者由感性认识发展到理性思考的几点想法.

源于感性，感知理性

教学导入是中国数学教学所特有的一种教学方法，这里采取“温故导入法”. 温故导入：是指教师通过帮助学生复习与即将学习的新知识有关的旧知识，温故而知新，从中找到新旧知识联系的节点，合乎逻辑、顺理成章地引出新知识的一种导入方法 [2] .

通过回忆相似三角形的知识结构绘制出思维导图，从学生的元认知出发，在复习相似三角形的相关知识的同时，引导学生有意识地类比全等三角形和相似三角形的相同点与不同点，从感性的认知中感受理性思维.

如：全等三角形的定义是“能完全重合的三角形叫全等三角形”，而相似三角形的定义是“各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫相似三角形”. 全等三角形的定义是从感性角度出发，从形象思维出发，从图形的形状上来定义. 而相似三角形没有定义成“形状相同的两个三角形”，而是定义为“各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫相似三角形. ”相似三角形的定义从形象定义转变成了定量定义，从形象走向了抽象，这时就需要从理性的角度去思考. 由此可见，相似三角形作为初三年级学生学习的知识点，从定义上已经引导学生从形象走向抽象，从感性走向理性.

源于感性，运用理性

课堂导入后，就拉开了复习课的序幕，从典型例题中复习知识点的应用，为此笔者选择以下几道例题.

例1  如图2，若CD是Rt△ABC斜边上的高，AD=3，AC=5，求AB的长.

例1是一道典型的相似三角形的问题，它可以用多种方法来解决——勾股定理、面积法等等. 但是，相比较而言发现，用相似三角形的方法进行解答最方便. 只要证明△ADC∽△ACB，就能说明“ = ”，再将“AD=3，AC=5”代入，就能很容易地求出AB的长为 . 追溯解答的过程，想到△ADC与△ACB相似是解题的关键. 假如延续全等的思路——先找出图形，再证明相似，学生是很难看出来这两个三角形的形状是相同的. 只有通过理性思维去思考，才能找到解题的方法——通过观察已知边AD，AC和未知边AB所组成的三角形中有一个角——∠A是公共角，另一对角是直角，所以满足相似三角形的判定定理——“两角分别对应相等，两三角形相似”，于是就得到了相似三角形的边成比例的比例式，从而求出了AB的长.

此时，适时地给出一道利用全等三角形解题的例题加深学生对感性思维和理性思维不同的对比，如下例：

例2  已知：如图3，A，F，C，D四点在一直线上，AF=DC，AB∥DE，且AB=DE，求证：BC=EF.

例2是用全等三角形的性质来证明BC=EF，而具体哪一对三角形全等，在图3中很明显就能看到△ABC和△DEF是全等的，经过找寻条件，就能很容易地证明它们全等，从而证明结论成立.

为了对比相似三角形和全等三角形的不同，给出了例3进行对比分析.

例3  如图4，CD是Rt△ABC斜边上的中线，过点D作直线AB的垂线交BC于点F，交AC的延长线于点E，请说明：DC2=DE·DF.

开始分析的时候，发现从图上看，找不出“形狀相同”的相似三角形，一时陷入困境. 于是笔者引导学生从理性思维着手：相似三角形的性质是“对应边成比例”，所以可不可以将等积式DC2=DE·DF先写成比例式 = 来考虑呢？源于相似三角形的边成比例的性质，所以我们可以从比例式倒推，只要证明△DCE与△DFC相似就可以证明这组比例式成立. 而从图上看，△DCE与△DFC已经有一组公共角了，只需要再找一组角相等就能顺利地解决这个问题. 经过分析发现，利用直角三角形斜边中线的性质很容易证明∠E与∠BCD相等，再加上一组公共角∠CDF=∠EDC，就能证明△DCE∽△DFC，从而问题得证.

例3的解决，利用的是理性的推断和思考，它与解决全等三角形类的题目有着本质性的区别，可以让学生感受到从感性的量变到理性的质变.

源于感性，辅于理性

逻辑思维、数学直觉思维、数学的想象能力、数学的认知结构、数学方法论等数学思维不是独立存在的，而是相辅相成的，解决一个问题也不是通过某一种思维独立运作就能办到的. 对此，笔者设计了以下例题.

例4  如图5，在12×12的正方形网格中，△TAB的顶点坐标分别为T（1，1），A（2，3），B（4，2）.

（1）以点T（1，1）为位似中心，按比例尺（TA′ ∶ TA）3 ∶ 1在位似中心的同侧将△TAB放大为△TA′B′，放大后点A，B的对应点分别为A′，B′.画出△TA′B′，并写出点A′，B′的坐標;

（2）在（1）中，若C（a，b）为线段AB上任一点，写出变化后点C的对应点C′的坐标.

例4的第1题解决起来很容易，通过细心作图就能完成. 但是第二题要解决起来就比较困难，很多学生在课上甚至连思路都没有. 这时引导学生将问题（2）往问题（1）上去对比思考：为什么第1题的解决比较简单？关键是由T为位似中心画图，不需要考虑其他因素. 而第2题需要计算，将T的具体坐标值考虑进去. 而T的坐标比较复杂，所以本题无法顺利解决.

其实，学生虽然没有思路，但是很容易感受到问题出在T的位置上. 此时，教师就可以引导学生思考：假如T的位置不是（1，1），而是（0，0），那么这个问题解决起来是不是会容易一点呢？学生经过快速画图，并思考得出：当T为（0，0）时，此时C（a，b）放大3倍后就变成了（3a，3b）. 得出这个结论并不难，只要画图后找几个典型的点猜测推理下就能得到. 但是在这个感性认知的基础上，如何将原题的第2小题完成呢？能通过平移的方法完成吗？先将T（1，1）向下移动1格，向左移动1格到原点处，此时C（a，b）就移动到C′（a-1，b-1）处，再按照之前的经验，C′（a-1，b-1）放大3倍就变成了（3a-3，3b-3），然后再将放大的图形移回到原处，也就是向上移动1格，向右移动1格，此时（3a-3，3b-3）就到了（3a-2，3b-2）处，也就是C′的坐标为（3a-2，3b-2）.

所以，感性与理性是互相衔接、互相帮衬的. 理性思维不排斥感性认知，在此题里“感性认知”不是锦上添花，而是雪中送炭;从感性出发，走理性之路，就能做到有效思考.

源于感性，归于理性

解决了以上例题后，可以总结出在学习相似三角形时的常见模型：A型图、X型图及K型图等感性模型，他们本质上都是两角对应相等得到的三角形相似，在理性的归纳汇总后可以进行演变.

A型图可以演变成反A型图，或者反A共边型图.

X型图可以演变成反X型图，反X型图虽然在纯直线图中不多，在圆里面用得非常频繁.

K型图的演变就更多了，它的本质是一线三等角，利用一线三等角证明两角对应相等进而得到三角形相似. K型图甚至可以叠加形成射影定理的图形.

在源于感性，归于理性后，这节课也就进入了尾声. 带着学生们将相似三角形的常见模型整理成理性思维下的数学模型，这一过程培养学生的逻辑思维能力，使学生思维严密，解题秩序化、严谨，并做到有条不紊.

数学学习并非是一个连续的过程，它涉及知识的重组，甚至要与以前的知识和思考方式决裂 [3].  本节课属于相似三角形的章节复习课，从梳理章节的知识结构思维导图出发，逐步引导学生在感性中认知，在回顾与反思中进行理性思维的捕捉与培养. 通过构造具体题境，引导学生在直观想象中探究问题，并以此加强对学生数学核心素养的培养.

参考文献：

[1]史宁中. 教育的本源与思考[M]. 北京：商务印书馆，2018.

[2]张奠宙，于波.数学教育的“中国道路”[M]. 上海：上海教育出版社，2013.

[3]谢明初，彭上观. 数学学习理论的演变 [M]. 上海：华东师范大学出版社，2020.