朴实中探究本质 简约中凸显思维

李永卫

几何综合题是中考热点问题之一，下面以大连市2020年中考第25题为例探索解决这类问题的思路与方法.

原题重现

[原题重现]

如图1，△ABC中，点D，E，F分别在边AB，BC，AC上，BE = CE，点G在线段CD上，CG = CA，GF = DE，∠AFG = ∠CDE.

（1）填空：与∠CAG相等的角是 ;

（2）用等式表示线段AD与BD的数量关系，并证明;

（3）若∠BAC = 90°，∠ABC = 2∠ACD（如图2），求[ACAB]的值.

[破解策略]

第（1）问：根据等边对等角回答即可.

第（2）问：有多种解题策略.可由已知条件中的“一边一角”来构造全等、平行四边形;由线段中点，可以想到利用“中线倍长”或三角形“中位线”来解题.

第（3）问：看到题中给出了二倍角，一定要迅速回想二倍角的转化方法，同时，题中给出90°角，借助图形可以想到绝配角的运用，进而添加辅助线，建立出绝配角基本图形，再通过设元，结合勾股定理，表示出两条线段，进而求出比值.

解：（1）∵CA = CG，∴∠CAG = ∠CGA. 故答案为∠CGA.

（2）这一问有36种解题方法，下面给出其中6种，其余解法请关注公众号获得.

策略一：突出“一边一角构造全等”

解法1：AD = [12]BD. 理由：

如图3，在CD上取中点M，截取DN = AF，连接EM，EN，

∵DE = GF，∠CDE = ∠AFG，∴△END ≌△GAF（SAS），

∴EN = GA，∠END = ∠GAF.

∵∠CAG = ∠CGA，∴∠CGA = ∠END，∴∠AGD = ∠ENM.

∵BE = CE，DM = CM，∴EM是△BCD的中位线，

∴EM[⫽]BD，EM = [12]BD，∴∠ADG = ∠EMN，

∴△ADG ≌△EMN（AAS），

∴EM = AD，∴AD = EM = [12]BD.

解法2：如图4，取BD的中点M，连接EM，在EM上截取EN = AF，由三角形中位线得ME[⫽]CD，得到△DEN ≌△GFA，△DMN ≌△ADG. 具体过程请同学们自己完成.

解法3：如图5，作AQ[⫽]DE，交CD于点Q，取BD的中点P，连接PE，得到EP[⫽]CD，进而得到△AGQ ≌△GAF， △AQD ≌△DEP，具体过程请同学们自己完成.

解法4：如图6，作EM[⫽]BA交CD于M，EN[⫽]AC交CD延长线于N，可证△CFG ≌△NDE，△NEM ≌△CAD，进而得EM是△BDC的中位线. 具体证明过程请同学们自己完成.

策略二：突出“倍长中线”

解法5：如图7，作EH[⫽]AG交CD于H，作BM[⫽]CD，直线EH与BM交于点M，可证得△DEH ≌△FGA，△HEC ≌△MEB，进而证得四边形GHMN是平行四边形. 具體证明过程请同学们自己完成.

策略三：突出“中位线”

解法6：如图8，作CQ = CF，EP[⫽]CD交AB于P，可证△ACQ ≌△GCF，△AQD ≌△DEP，进而得到PE是△BDC的中位线. 具体证明过程请同学们自己完成.

（3）这一问有20种解题方法，下面给出其中2种，其余解法请扫描本文标题处二维码获得.

思路：突出“翻折+等腰+勾股”

解法1：如图9，延长BA至点M，使AM = AD，连接CM.

∵∠BAC = ∠MAC = 90°，

∴AC垂直平分DM.

∴CD = CM，∴∠ACD = ∠ACM.

设∠ACD = α = ∠ACM，

则∠ABC = 2α，∠AMC = 90° - α，

∴∠BCM = 180° - 2α - （90° - α） = 90° - α，

∴BM = BC，即△BCM为等腰三角形.

设AD = [a]，则AM = [a]，BD = 2[a]，

∴BC = BM = 4[a]，AB = 3[a]，

∴AC = [BC2-AB2=7a]，

∴[ACAB=7a3a=73].

解法2：如图10，延长BA至点R，使AR = AB，设AD = a，由角的关系证得CR = RD = 4a，由勾股定理得AC = [7a]. 具体证明过程请同学们自己完成.