定调 定位 定向

郑日锋

历年高考总是吸睛无数，而试卷的命制规律、考试效度以及其对实际教学的引领，也总是吸引不少专家研究。本期所选3篇论文，一篇指向浙江高考数学试题，一篇指向全国8套作文试题，一篇指向浙江高考历史试题第28题，或全卷评析，或分类统整，或单题分析，各有侧重，各有精神。

摘    要：2021年浙江高考数学试题系统全面地考查了高中数学的基础知识、基本思想方法，突出考查学生的核心素养，保持了浙江卷的一贯特色，于稳中求变.许多试题背景源自于课本素材的移植与改编，让基础薄弱的学生可动笔.此外，又设计了多道综合性强、思维能力要求高并且设问方式新颖的试题，便于有效区分考生的水平.试卷再次传递信息，高中数学教学不能依靠“题海战术”，呼唤数学教学回归自然.

关键词：浙江高考数学试题;数学教学;核心素养

一、试题特点

自2017年浙江高考数学实施文理合卷以来，今年已是第五年.对于今年的高考数学，一般考生反应比较平静，尖子生则反应比较强烈，他们普遍觉得容易题大家都会做，而试卷上的第10题及第22题最后一小题，大家又都没思路.笔者对全卷做了一番研究，认为今年的试卷系统全面地考查了高中数学的基础知识、基本思想方法，突出考查学生的核心素养.试卷难度与去年相当，保持了浙江卷的一贯特色，稳中求变，具有一定的区分度，并对高中数学教学具有良好的导向作用.主要体现了以下特点.

（一）定调——通性通法唱主角

今年大部分试题让基础薄弱的学生可动笔，许多试题背景熟悉，源自于课本素材的移植与改编，并从学科整体意义与知识结构上进行了设计，全面覆盖了中学数学教材中的主干知识模块，试卷中第1，2，3，4，6，7，9，11，12，13，14，15，16，18，19，20，21第（1）小题，22第（1）小题，都源自于课本，或从课本中的例题、习题直接改编过来，这体现了试题的基础性.试卷第11题，以赵爽弦图为背景设计.赵爽是三国时期吴国的数学家，此题意在对学生进行数学文化的熏陶，与爱国主义教育相关.

试卷注重考查对数学概念、基本定理、基本性质等的理解，及数学思想方法的运用，倡导用通性通法解决问题.大部分试题都可以运用教材中的方法来解决，如：第6题，以正方体为载体，考查立体几何中空间线面位置关系;第15题，以熟悉的摸球模型，考查古典概型、随机变量的均值、超几何分布等基础知识;第20题，考查数列的和与通项的关系、错位相减法求和及含参数的不等式恒成立求参数范围.

试卷中的许多试题，可以有多个观察视角，进而可用多种方法解决，这可以有效区分不同层次学生的数学水平和能力.如第19题是立体几何中线线垂直与求线面角问题，既可以用传统几何法解决，也可以用建立空间直角坐标系的向量法解决，但后者会容易些.

例1   （第21题）如图（略），已知F是抛物线[y2=2px（p>0）]的焦点，M是抛物线的准线与x轴的交点，且[|MF|=2.]

（1）求抛物线的方程;

（2）设过点F的直线交抛物线于A，B两点，若斜率为2的直线[l]与直线[MA， MB， AB， x]轴依次交于点[P， Q， R， N]，且满足[|RN|2=|PN|?|QN|]，求直线[l]在[x]轴上截距的取值范围.

此题以抛物线为载体，关注了解析几何的本质，体现了坐标法思想.解决此题的关键是将几何条件[|RN|2=|PN|?|QN|]坐标化，即把同一直线上的三条线段[RN，PN，QN]投影在[y]轴上，得到[R，P，Q]三点的纵坐标的关系[|yR|2=|yP?yQ|].解答此題通常有两种思路：

一是设[AB ： x=1+ty（t≠12）]，[l： y=2x+m]，

则[N（-m2， 0）]，由[|yR|2=|yP?yQ|]，建立关于[m， t]的方程，[（m+2）2（m-2）2=（1-2t）24t2+3]，求出[（1-2t）24t2+3]的取值范围[（0， 43]]，再解不等式[0<（m+2）2（m-2）2≤43]，得[m≥14+83]或[m≤14-83]且[m≠-2]，所以直线[l]在[x]轴上截距的取值范围是[（-∞， -43-7]?[43-7， 1）?（1， +∞）.]

二是利用抛物线的焦点弦性质，发现直线[MA， MB]的斜率互为相反数，设[AB： x=1+ty（t≠12）， l： x=x0+12y]，[MA： x=-1+ny]，则[MB： x=-1-ny]，可得[n2-t2=1]，将直线[MA， MB]看成一条曲线[（x+1）2-][n2y2=0]，利用直线[l]与此曲线交点为[P， Q]，由[|yR|2=|yP?yQ|]，建立关于[x0， t]的方程，[（x0-1）2（x0+1）2=（1-2t）24t2+3]，同样得到直线[l]在x轴上截距的取值范围是[（-∞，]

[-43-7]?[43-7， 1）?（1， +∞）.]

（二）定位——以考查素养为主导

试卷在考查数学基础知识和基本技能的基础上，重视对数学核心素养的考查：第8，9，10，13，15，17，18，20，21，22等题考查数学抽象素养;第3，6，7，8，10，19，20，22等题考查逻辑推理素养;第2，4，9，10，12，13，14，15，16，17，18，19，20，21，22等题考查数学运算素养;第4，5，6，7，9，11，16，17，19，21，22等题考查直观想象素养.

例2 （第8题）已知[α， β， γ]是互不相同的锐角，则在[sinαcosβ， sinβcosγ， sinγcosα]三个值中，大于[12]的个数的最大值是（    ）

A.0      B.1      C.2      D.3

本题设计新颖，考查数学直觉和估算能力，及综合运用知识分析问题、解决问题的能力，考查数学抽象、逻辑推理素养，有以下两种解法：

解法1：[sinαcosβ+sinβcosγ+][sinγcosα]

[≤sin2α+cos2β2+sin2β+cos2γ2]

[+sin2γ+cos2α2=32]，所以[sinαcosβ]，[sinβcosγ]，

[sinγcosα]中至多有两个大于[12]，故选C.

解法2：[（sinαcosβ）（sinβcosγ）（sinγcosα）=18sin2αsin2βsin2γ≤18.]

所以[sinαcosβ， sinβcosγ， sinγcosα]中至多有2个大于[12]，故选C.

解法1的本质是[min（a， b ，c）≤13（a+b+c）];解法2的本质是[min（a， b， c）≤]

[abc3][（a， b， c>0）.]

例3 （第17题）已知平面向量[a， b， c（c≠0）]满足[|a|=1， |b|=2， a?b=0， （a-b）?c=0].记向量d在[a， b]方向上的投影分别为[x， y]，[d-a]在[c]方向上的投影为[z]，则[x2+y2+z2]的最小值是________.

本题考查平面向量数量积的几何意义，及分析问题、解决问题的能力，考查数学运算及直观想象素养.解决本题既可以用几何法，也可以用建系的方法，它的本质是求直线上的动点到此直线上两定点距离的平方和的最小值，此时动点为两定点的中点.

（三）定向——设计新颖问题求突破

高考评价体系对高中数学提出了数学建模能力、空间想象能力、运算求解能力、逻辑推理能力及创新能力等要求.试卷设计了多道综合性强，思维能力要求高并且设问方式新颖的试题，这些试题回归概念、回归通性通法、回归数学本原，能有效区分考生的水平.

例4   （第22题）设[a， b]为实数，且[a>1]，函数[f（x）=ax-bx+e2（x∈R）.]

（1）求函数[f（x）]的单调区间;

（2）若对任意[b>2e2]，函数[f（x）]有两个不同的零点，求[a]的取值范围;

（3）当[a=e]时，证明：对任意[b>e4]，函数[f（x）]有两个不同的零点[x1， x2]，满足[x2>blnb2e2x1+e2b].（注：e=2.71828…是自然对数的底数）

本题是零点问题，2018年与2020年的浙江省高考数学试卷的压轴题也都是零点问题，解决本题需综合运用导数、指数函数、对数函数的性质.此题考查了函数与方程思想、分类讨论思想、数形结合思想及转化思想，考查了学生的逻辑推理素养、运算素养及分析问题、解决问题的能力.

解决第（1）小题，求出导函数后，需对[b]分（i）[b≤0]，（ii）[b>0]两种情况分类讨论，利用导函数的符号与原函数的单调性的关系来解决.

解决第（2）小题，由第（1）小题及已知条件，只需[f（x）min=f（logablna）=blna-][blogablna][+]

[e2<0.]即把问题转化为此不等式对任意[b>2e2]恒成立，求[a]的取值范围。接下来求解有三种常用方法.一是将不等式左边记作函数[g（b）]，转化为[g（b）]的最大值小于零（或上确界不大于0），需分类讨论;二是令[blna=t>0]，则不等式化为[t-tlnt+e2<0]，设此不等式左边为[h（t）]，通过求导得[h（t）]在[（0， 1）]上递增，在[（1， +∞）]递减，又[h（e2）=0]，作出[h（t）]的图象（图略），得[t>e2]，即[blna>e2]，从而得[lna≤2]，故[12e2]，指数函数[y=ax]与一次函数[y=bx-e2]的图象恒有两个交点，求[a]的取值范围”，可以采用定性分析的方法解决，即若[b]固定，则[a]越小越满足，若[a]固定，则[b]越大越满足，故只需考虑函数[y=ax]与[y=2e2x-e2]相切时的情况，设切点为[（x0， ax0）]，则[ax0lna=2e2ax0=2e2x0-e2，]解得[x0=1a=e2 ，]所以[1

解决第（3）小题，先证明[f（x）]有两个零点，后证明不等式，前者比较简单，后者的证明思路如下：由第（2）小题得[f（x）]在[（-∞， lnb）]上单调递减，在[（lnb， +∞）]上递增，且[x1e4]，所以[lnb>4.]由[f（2e2b）=e2e2b-e2<0]，所以[x1<2e2b]，所以[blnb2e2x1+e2blnb+e2b.]又只要证[f（lnb+e2b）=b（ee2b-lnb）<0.]接下来的证明就容易了.当然还有其他证明方法，本文不再赘述.

本题第（3）小题不等式的证明，需要学生运用分析法、综合法及放缩的技巧，与平时练习的极值点偏移问题，虽然在解题方法上有相似之处，即将证明的自变量的大小关系转化为证明函数值的大小关系，但避开了运用常见不等式[ex≥1+x， lnx≤x-1]及对数均值不等式，导致绝大部分学生未能做出此题.与此类似的还有第10题，给出递推数列，估计前100项和的范围，这是本届学生备考时忽略的问题;第21题也是如此.这样的考查打破了原有的模式，体现了试题的灵活性与创新性，展现了稳定与创新、稳定与改革的融合，考查了学生的数学理性思维、知识技能及灵活解决问题的能力等，发挥了高考数学学科选拔人才的功能.

二、对试题的认识

加强应用，培养学生的应用意识，发展学生的数学建模素养，是新课程的一大亮点.数学的应用分两大类，一类是内部的应用，另一类是实际应用.在今年的试卷中，与往年一样仅设计了第15题，以摸球为背景的概率问题，与全国卷比较，实际应用的试题偏少.

选择题第10题、填空题第17题及解答题第21，22题作为给优等生量身定制的问题，选材及设问方式都较新颖，但第10题答案为A，与前两年的答案相同，让投机取巧者占了便宜.第22题第（3）小题分值只有4分，而且包含了证明[f（x）]有2个零点（此证明比较容易），明显占分太少，这让优等生情何以堪？笔者认为最后一小题赋6分会更合理.

自2017年以来，连续5年选择题答案分配均为3，3，2，2，即A，B，C，D四个选项正确答案个数为3，3，2，2，我们认为这样命题是不科学的，只会给投机取巧者占便宜，对优等生尤其不公平.

此外，填空题前6题都比较简单，梯度不够，如将第15，16题稍微提高点难度会更恰当些.从整张试卷来看，简单题稍微少了些，导致试卷对艺术、体育类及纯文科的考生不太有利.运算量还是比较大，应该体现“多考点怎么想，少考点怎么算”.

三、对教学的启示

综观全卷，考查基础主干知识是不变的旋律，强调探究应用是命题的指向，力求推陈出新是不懈的追求.试卷再次传递信息——高中数学教学依靠“题海战术”并不能保证考生在高考中取得好成绩，呼唤数学教学回归自然.

在概念教学中，教师要注重揭示概念的发生、发展过程，让学生明晰概念的内涵与外延.注重基础、回归教材是教学的首要环节：一是帮助学生构建知识网络;二是再现重要知识的产生过程;三是挖掘教材例题、习题的潜在价值.

在教学中，只有加强数学知识内在的联系，抓住数学的本质，突出对概念的理解和运用，突出思维能力的培养，才能真正提高学生的数学素质，提高学生解决新颖问题的能力.

开展深度学习，关注高阶思维和意义建构，以此引导学生在体验知识方法的过程中不断发现问题、提出问题、分析问题、解决问题，落实数学核心素养.同时，教师应对课堂上的某些问题适当加以延伸、推广，并引导学生加以解决，使学生的数学关键能力和学习力获得提升.