2020年全国Ⅲ卷理科数学第23题的探究与推广

广东省中山纪念中学 (528454) 邓启龙

高考真题设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1.

(1)证明:ab+bc+ca<0;

首先给出第(1)问的三种证明方法.

由(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)=0得a2+b2+c2=-2(ab+bc+ca),于是得到以下结论:

结论3 设a,b,c∈R,a+b+c=0,abc=1,则a3+b3+c3=3.

证法一:由a+b+c=0得c=-a-b,所以a3+b3+c3=a3+b3-(a+b)3=a3+b3-(a3+3a2b+3ab2+b3)=-3ab(a+b)=3abc=3.

证法二:由恒等式a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)得a3+b3+c3=3abc=3.

证明:当n=1,2,3时,结论显然成立.

最后,本文提出以下猜想: