从一道高考题谈试题命制

山东 孙 浩

圆锥曲线问题是历年高考的主力军，也是高三复习备考的重头戏.但是在高三复习备考中却体现为用时多、收效低的特点，学生在历次考试中都作答不理想，试题得分率极低.下面笔者基于多年参与统考试题命制工作，从试题命制的角度谈谈看法，期望能给读者以启迪.

1.高考试题为命制试题提供优秀蓝本

命制试题经常会参考往年全国卷及各省市的高考试题，高考试题出题严谨，无论是考查的知识点、考查能力，还是命题角度都能给命制试题提供好的思路和想法，因此在命制试题时经常以高考试题为蓝本进行改编命制.

(1)求椭圆E的方程；

(2)当直线l与x轴平行时，设直线l与椭圆相交于C,D两点.

∴Q点在y轴上，可设Q点的坐标为(0,y0).

当直线l与x轴垂直时，设直线l与椭圆相交于M,N两点，

∴若存在不同于点P的定点Q满足条件，则Q点的坐标只可能为Q(0，2).

当直线l的斜率不存在时，由上可知，结论成立.

当直线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y=kx+1，A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2).

其判别式Δ=16k2+8(2k2+1)>0，

∴kQA=-kQB,

∴∠PQA=∠PQB.

过点A,B向y轴分别作垂线AM,BN，垂足分别为M,N，则Rt△QMA∽Rt△QNB，

又Rt△PMA∽ Rt△PNB,

从这道高考试题的分析和解答过程可以看出，本题设置了求椭圆方程和两直线的斜率关系两个落脚点，试题命制围绕这两个落脚点而展开.下面谈谈依据这两个落脚点如何进行试题命制的.

2.以求椭圆的标准方程为落脚点进行试题命制

椭圆的标准方程含有a,b两个量，这两个量与c,e有直接关系，因此在试题命制中，一般是围绕a,b,c,e四个量来建构两个方程，思考这几个量与哪些知识点有关联，如何建立联系，围绕其中一个或几个量进行问题设计、建构关系式，从而达到考查有关知识和能力的目的.

(1)求椭圆C的方程；

(2)略.

【详解】(1)由题意可得,

∴a=2.

(1)求椭圆C的方程；(2)略.

解得c=1或c=2(舍去)，

∴b2=1，

通过上面两道试题的命制，发现以求椭圆的标准方程为落脚点的试题命制，先确立要求的椭圆标准方程是什么，然后根据a,b,c,e的具体值，从这些值中选取两个，围绕这两个值结合其他相关知识来设计问题，完成试题的命制.

3.以斜率为落脚点来命制考查直线与圆锥曲线位置关系试题

试题命制就是寻找一个问题有什么不同的说法，把这个问题延伸拓展一下，向前走几步或者向后退一退，寻找合适的说法进行化归与转化，把旧问题转化为新问题、新情境，实现新瓶装老酒，灵活考查知识、能力和数学核心素养.

3.1 直接以斜率之间的关系来命制试题

命制试题时，考虑学生对知识掌握的程度，有时需要降低试题难度，直接给出斜率之间的关系，来考查学生的知识熟练度.

(1)略；

(2)在x轴上是否存在定点，使得直线TA与TB的斜率互为相反数？

【分析】(2)由题意可知，直线l的斜率存在且不为0，先假设存在定点并设为T(x0,0)，用坐标直接表示出kTA,kTB，然后借助韦达定理就能求出满足条件的x0.

【题目1(2)改编题1】(2)在y轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得直线QA与QB的斜率互为相反数？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

题目1经过这样改编，就成为一道直接考查两直线斜率关系的基础题.这种追根逐源，透过现象看本质的命题办法，在命制试题时经常使用.

3.2 以角度关系为切入点来命制试题

直线的倾斜角与斜率有着密切的联系，斜率问题向前走一步可以转化为角的问题来呈现，进而考查学生的化归与转化能力.

3.2.1直接给出角度关系

【题目1(2)改编题2】(2)在轴上是否存在与点P不同的定点Q，使得∠PQA=∠PQB？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.

3.2.2 用线段比值设置问题，暗含角度关系

如果两个三角形相似，则对应角相等，对应线段成比例.因此，在命制试题时，可以以线段成比例为视角，通过恰当的化归与转化把问题转化为对应角相等，在问题中经常以构建直角三角形实现转化与沟通.

题目1第(2)问就是用线段比值的视角来命制的斜率问题.

3.2.3 借助面积比转化为角度问题

3.3 以直线过定点为切入点来命制试题

直线过定点可以转化为定点与两个动点连线的斜率相等，因此在命制试题时，可以用直线过定点来变相考查斜率问题.

(1)略；

(2)过点A(-4,0)的直线l与椭圆C1交于M,N两点，点M关于x轴的对称点为E.当直线l绕点A旋转时，直线EN是否经过一定点？请判断并证明你的结论.

【分析】(2)当直线l的斜率为0时，直线l与椭圆C1交于M,N两点，则M,N两点为椭圆C1的左、右顶点，因此点M关于x轴的对称点E是点M本身，所以直线EN与x轴重合，由此可得直线EN若经过一定点，定点一定在x轴上，可设为T(x0,0).由题意可知，kTM=-kTE，然后根据kTE=kTN，结合韦达定理求出x0的值.

4.结束语

以考查椭圆的标准方程为落脚点命制试题时，围绕a,b,c,e四个关键基本量如何建构两个方程上下功夫，通过建构不同的方程来考查学生对基本知识和基本方法的掌握程度，不断变换考查角度，灵活设置问题，考查学生的数学核心素养.命制此类试题可以从以下几个方面思考如何设置问题，建立方程式:

①从考查椭圆定义的角度来命制试题；

②从考查椭圆性质的角度来命制试题；

③从考查点与椭圆的位置关系的角度来命制试题；

④从考查直线与椭圆的位置关系的角度来命制试题；

⑤从与其他曲线相结合的角度来命制试题.

以斜率为落脚点来命制考查直线与圆锥曲线位置关系命制试题时，可以直接考、间接考、变换考，把斜率、倾斜角、线段成比例和三角形面积等知识有机结合，不断变化命题角度，灵活设置问题考查学生知识的迁移度和数学核心素养.