一道三元分式函数值域问题的反思及推广

广州大学附属中学 (510006) 朱惊涛

广州大学数学与信息科学学院 (510006) 蔡 飘

该问题相当于求函数f(x,y,z)的值域，其标准答案如下：

反思该答案，比较难以理解的是求极限过程中为何要令z=1，笔者经过分析发现，其实不一定要令z=1，令z等于任何一个常数都是可以的，其思想方法就是固定z，然后分别让x、y趋向两边，从而得到f(x,y,z)取值的一种极限状态.考虑到用降元法解决多元问题的数学思想，笔者给出该问题的另一种解法：

结论1 令min{a,b,c}表示a,b,c中的最小值，max{a+b,a+c,b+c}表示a+b,a+c,b+c中的最大值，则函数f(x,y,z)的值域为(min{a,b,c},max{a+b,a+c,b+c}).

①当t1→0,t2→0时，g(t1,t2)→a+b；

②当t1→+∞,t2→+∞时，g(t1,t2)→c；

⑥当t1→+∞,t2→0时，可令t1t2→0，此时g(t1,t2)→b；

⑦当t1→+∞,t2→0时，可令t1t2→+∞，此时g(t1,t2)→b+c；

该结论还可以推广到n元的情形，即：