探析2020年全国高中数学联赛浙江初赛导数题

浙江省衢州第二中学 (324000) 廖如舟

(Ⅰ)若f(x)=0恰有三个根，求实数a的取值范围；

(Ⅱ)在(Ⅰ)的情形下，设f(x)=0的三个根为x1,x2,x3，且x1

1 试题分析

本题以绝对值函数和指数函数为载体，主要考查函数导数、不等式、绝对值等基础知识，其核心是通过导数分析函数的单调性，结合局部判断等手段得到函数的大致图像．浙江省初赛导数题设计的特点是规避题海、综合性强、注重区分．第(Ⅱ)小题判断方程的根之间的不等关系，考查学生推理论证、分类讨论、转化化归等分析解决问题的能力．促进学生逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养的培养．

2 解法探究

命题组给出了如下的参考答案：

图1

图2

3 命制源流

从命题组提供的解答中能够感受到命题者对于题目设计的精巧之处，追本溯源可以发现在《数学分析中的典型问题与方法》一书中有一题与本题函数模型类似：

图3

图4

4 拓展延伸

可以肯定的是很少会有学生按照参考答案的思路解题，而是会采用分析法利用函数单调性证明不等式，思路清晰，过程简单，笔者在考后的第一时间完成本题，用的是如下解法：

通过分析证明的过程发现只用到了一个不等式ex≤x-1．从这个角度出发再改进一下本题证明：

5 教学启示

导数是用来研究函数局部性质的一种重要的工具，是微积分中重要的基础概念，其核心是用导数来研究连续函数的单调性，主要培养学生逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析等数学核心素养．

从知识点看，本题涉及的内容大都是学生熟悉的知识点，大部分学生做不出本题的原因有：(1)题目的新颖，比较少见的导数处理绝对值的问题，且还是绝对值函数和指数型函数的乘积形式；(2)容易与极值点偏移联系在一起，在处理多变量不等式转化的时候，运算分析能力不够，同时没有在合适的地方使用切线不等式放缩；(3)缺乏对解决问题的路径进行规划和试题命制背景的探究，缺少对于寻找同性态函数的勇气，存在着循规蹈矩的思想，大部分学生不敢想、不会想，这个是当前教学亟待解决的问题．

基于以上分析，从发展学生核心素养角度审视导数教学，我们认为要培养学生三个方面的能力[1]．

第一，培养“敢想”的能力．在教学中，注重知识的发生、发展过程，引领学生认识导数的整体结构、本质，夯实基础知识，选择一些典型或者新颖的导数题进行教学，帮助学生建立方法体系，如学会用导数去分析函数的性质，进而刻画函数的图象，注意函数变化过程的增幅和趋势，通过一题多解，比较各种解法的优劣，培养学生的数学理性思维，发展学生数学直观想象、逻辑推理素养．

第二，指导“强算”的能力．为了突破导数问题的“运算关”，在导数教学中，选择一些优秀的解法的推理演算过程，通过剖析展示运算错误的原因，指导学生明晰运算对象的基础上，采用估算、口算、整体运算等方法，预判运算实施的可能性，养成在脑中建立思维过程的习惯，提升运算素养．

第三，引导“钻研”的能力．在导数的教学中，常常要考虑从命题者的角度去剖析思考问题，培养学生对问题的分析态度，养成探究的习惯，对于课堂的问题加以延伸和推广，实现有意义的深度学习．