如何求教列的前n项和

马丽

数列求和问题是数列中的重要题型.在解题的过程中，我们经常会遇到一些非等差、非等比数列的求和问题，其求解的办法多种多样.为了帮助同学们熟练掌握求数列前n项和的方法，筆者对下面三种方法进行了探讨.

一、倒序相加法

如果一个数列中与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，我们就可以采用倒序相加法来求和.把正序的和式与倒序的和式中的对应项相加，便能得到n个与首末项等距的两项之和;求出首末两项之和，便可求得数列的前n项和. 例1.若函数f（x）=的值.

分析：通过对已知函数式的观察与分析，可以发现f （x）+f（2 -x）= -4，可采用倒序相加法来求解，将求和问题转化为求首项和尾项的和.

解：

二、分段求和法

分段求和法是指将数列中具有相同特性的项放在一起，把数列分为几段，然后分段进行求和的方法.运用分段求和法解题的关键在于，仔细观察和分析数列的通项，把握其特性和规律，将其进行合理的分段.

例2.求数列{n（n+1）（2n+1）}的前n项和.

解：设

通过对通项的观察与分析，可知该数列的和可以分为三段：

.于是运用分段求和法，将数列的每一项拆开，分段进行求和，再综合所得的结果即可求得原数列的前n项和.

三、裂项相消法

裂项相消法是指将数列中的每项（通项）裂为两项之差的形式，然后将其重新组合，使之能消去中间的一些项，最终达到求和的目的的方法.运用裂项相消法求数列的前n项和的关键是将数列的通项合理变形.常见的裂项方式有

、

我们由已知条件能快速求得

的通项6n=

可将其裂为两项之差的形式：通过裂项相消，便可将中间的一些项消去，这样便只剩下首尾两项，化简该式即可得到答案.

由此可见，倒序相加法、分段求和法和裂项相消法的适用范围各不相同，同学们在解题的过程中要注意合理选择.无论运用哪种方法求和，我们都要首先仔细观察和分析数列的通项，合理进行拆分、组合、裂项，这样才能快速找到与之相对应的解题方法.

（作者单位：安徽省阜南实验中学）