快速线性三维坐标转换方法研究

葛仁磊

(海洋石油工程股份有限公司，山东 青岛 266520)

0 引 言

在工程测量中经常需要进行坐标转换，以达到测量数据与设计数据最佳匹配。与传统的大地测量中的坐标转换相比，工程测量中的坐标转换主要有两点不同：① 工程测量坐标转换中经常需要进行大角度的坐标转换；② 工程测量坐标转换中一般不需要进行尺度变换。

由于存在以上特征，传统大地测量坐标系变换的方法不完全适用于工程测量数据处理。目前常用的工程测量的坐标系变换方法主要参考了刚体的旋转方法，常见的有四元数法、欧拉角法、奇异值分解法等[1]。但这些方法都为非线性模型；非线性模型的处理方法一般为将其线性化，然后反复迭代，直至达到目标精度。这些方法都要经过大量运算，而且有时初始值的选择会影响迭代的收敛性，给计算造成了很大的不便。如果能够找到一种线性的三维坐标转换方法，就能大大降低工程测量数据处理的复杂度。下面就以罗德里格矩阵为基础，推导出一种线性的三维坐标转换方法。

1 平差模型推导

三维坐标转换用以下公式表示：

(1)

在工程测量坐标转换中，尺度参数一般为1或已知的常数。如在对钢材进行测量时，如果考虑热胀冷缩，则需要根据测量温度、设计温度及钢材的线性膨胀系数来计算尺度参数γ[2]。当然，也可以在坐标转换开始前使用以下公式对尺度参数的估计[3]。

(2)

也就是说，在大多数工程测量应用中，γ为已知的常数。根据罗德里格矩阵，式(1)中的R可以表示为[4-5]：

R=(I+S)(I-S)-1

(3)

式中，I为单位矩阵，S为反对称矩阵，可以表示为：

(4)

上式中的S被称罗德里格矩阵，其中的参数a、b、c都有明显的几何意义，具体可以参照引文[4]，这里不做详细推导。将式(3)、(4)代入到(1)式中，并在等式两边同时乘以(I-S)可得：

(5)

(6)

将式(6)代入式(5)中可得线性方程：

(7)

V=AX-L

(8)

不难看出，该误差方程为线性方程。根据条件平差方法[6]，可得未知参数X的最小二乘估计为：

X=(ATPA)-1ATPL

(9)

式中，P为观测值的权矩阵。在工业测量中，如果使用同一台设备进行所有观测，P一般取单位矩阵。

中误差的估值为：

(10)

未知量X的协方差矩阵为：

(11)

得到X的最小二乘估计后，根据式(3)，(4)可以计算出旋转矩阵R。将式(6)进行变换可得：

(12)

将[mnp]T代入式(12)就可以得到平移参数。

2 工程应用实例

下图为某液化天然气工厂项目的一个6立柱模块图纸的一部分。图纸(图1)中标记出了这个模块的左下角在当地坐标系中的坐标。将各个节点坐标整理如表1所示。

表1 模块设计坐标

图1 某液化天然气工厂项目图纸

建造过程中，测量团队在该模块周围建立了一个8个点的控制网，并测量该模块6个立柱的位置。具体测量数据如表2所示。

表2 模块节点及控制网的坐标

在图纸上，该模块上所有的结构、管线、设备的位置都是使用设计坐标进行表示的，所以将控制网的坐标转化到设计坐标系中十分必要。使用上文所提供的算法对测量数据进行了坐标系转换，计算结果如表3所示。

表3 参数计算结果

坐标转换后的测量点坐标及其与设计坐标的差值如表4所示。

表4 变换后坐标及与设计坐标差值

3 精度分析

为了使精度比较更具可行性，本文使用相关教材[6]中的算例与精度比较方法，使用本文中算法进行比较计算，5点坐标(15个坐标分量)残差结果比较如图2所示。

图2 三维坐标转换偏差比较图注：杨凡等[1]的3种方法为四元组法、SVD法和迭代法，精度高度一致，曲线基本重合。

另外，评价坐标转换精度常用指标除了杨凡等[1]使用的坐标分量的残差外，还有点位中误差[7]，点位中误差相比于坐标分量的残差更能体现坐标系变换的综合效果。图3为点位中误差的比较图。

图3 点位中误差的比较图

通过上面的比较可以看出，在参与计算的5个点中，使用本文提供的方法计算的点位中误差多数小于杨凡等[1]的方法所计算的点位中误差。通过对所有偏差及点位中误差两个指标进行比较可知，整体而言，在此计算案例中本文所述的线性方法的精度更高。

虽然通过数据比较无法得出一般性结论，但由以上数据不难看出，线性法在一般情况下精度不弱于其他方法。出现这种情况的原因是引文中的非线性算法都是通过迭代逼近真实值。在迭代过程中，为了减少计算量，只要达到工程需要的精度后就会停止迭代；而线性法则直接通过最小二乘法得出了更加精确的解，不存在迭代求解方法中的舍去误差。

4 结 语

本文通过使用罗德里格矩阵对旋转方程进行描述，并进一步引入新的变量对旋转方程进行二次简化，推导出了三维坐标转换这个非线性问题的线性化解法。

显而易见的是，本方法与传统的三维坐标转换方法相比，具有运算速度快、无须进行初始值估算等优点。本文提供的这种快速有效的三维坐标转换方法，更加适用于在工程测量中应用；而且通过与其他方法进行精度比较，可知本方法在一般情况下精度优于传统方法。

当然，此方法存在部分参数几何意义不明确的缺点。此方法中罗德里格矩阵的几何意义明确[2]，但后引入的参数[mnp]T几何意义不明确，所以此方法目前暂时无法用于理论研究；但该方法用于工程中非常有效，实现了方便、高速、高精度三维坐标转换。