小学生数学符号意识：表现、问题及培养建议

刘晓婷　李雅君

【编者按】符号意识在义务教育阶段的具体表现为运用符号表示数、数量关系和变化规律;知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。它是数学抽象素养在小学阶段的具体表现之一，亦是学生抽象思维形成的基础。如何帮助学生具备良好的符号意识，如何科学地评价学生符号意识水平？本期话题围绕“小学阶段学生数学符号意识的培养与评价”展开。

数学符号是用以表示数学概念、数学关系等的符号和记号，符号意识是义务教育阶段重要的数学核心素养之一。对于小学生而言，应知道数学符号所表达的现实意义;能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律;依托具体内容的学习感悟符号的数学功能，知道用符号表达的运算规律、推理结论等具有一般性;初步体会符号的使用是数学表达和思考的重要形式。学生通过数学学习应能够感知符号含义，能够运用符号进行表达、运算和推理，感悟符号的功能和价值。那么，小学生数学符号意识的表现如何？如何培养数学符号意识？本文结合对某校五年级学生的调研，阐释对上述问题的思考。

一、学生数学符号意识的表现

考虑到五年级学生处于具体运算阶段向形式运算阶段过渡的时期，未来的数学学习会遇到更多、更抽象的数学符号，了解其现阶段符号意识表现将有助于教师在后续教学中提供更精准、有力的教学支持。本文借鉴已有研究成果，从“感知符号及其含义”“运用符号表达、运算和推理”“感悟符号功能与价值”三个维度对51名学生的符号意识表现进行调研，基于SOLO分类理论对学生的表现进行划分。

（一）感知符号及其含义

学习数学总要同数学符号打交道，这就要认识符号，了解符号的含义，包括感知、理解数学符号本身所特有的含义，也包括数学符号之间的相互关联性。五年级学生在前期已经学习了大量的数学符号，如数字符号、运算符号、关系符号、几何符号等。学生是否知道哪些属于数学符号的范畴，对数学符号有怎样的认识呢？调研题目如下：

问题1：在数学学习中会遇到很多的数学符号，如数字符号1、2、3……运算符号+、-、×、÷……回顾五年的数学学习历程，你还学过哪些数学符号？请列举在下面空白处，并尝试给这些数学符号分分类（用你喜欢的方式，可列表，可画思维导图）。

该题目有一人未理解题目，写成了自己喜欢的符号，其余50人的作答表现如表1所示：

（二）运用符号表达、运算和推理

符号意识主要是指能够初步运用符号表示数量、关系和一般规律，能够对数学符号对象进行运算和简单推理。本次调研我们改编了两个相对陌生的情境问题，以此了解学生的具体表现，问题如下：

问题2：图1是13世纪中国数学家的计数方法，仔细观察，虚线框中“”表示的数是（     ）。在下面空白处写出你的思考过程。

问题3：小西在月历卡上圈出了3组数，如图2所示。她发现圈出的每组4个数之间都有相同的关系，而且用同样办法再任意圈出4个数，关系仍然不变。

有4个同学分别用不同的方式把每组4个数之间的关系表示了出来，如下图所示。

你更欣赏哪个同学的表示方法？为什么？把你的选择和理由写在空白处。

两个问题学生的作答表现分别如表2、表3所示：

（三）感悟符号的功能与价值

数学符号是应数学思维的需要而产生的理想化的、科学的书面语言。学生应知道用符号表达的运算规律和推理结论等具有一般性;初步体会符号的使用是数学表达和数学思考的重要形式，体会到数学符号的重要性、准确性、简洁性等。该维度不太容易观测，我们设计了一个开放问题，希望学生能够自由呈现对数学符号功能与价值的思考。调研题目如下。

问题4：请举例说明数学符号在数学学习中的作用和价值。

学生的作答表现如表4所示。

二、关于学生数学符号意识问题的反思

（一）对数学符号的认识存在误区

小学数学中的符号按照作用及领域类别，可做如图3（见文末）所示简单、粗略的整理。

在感知符号及其含义的调研中发现，学生梳理数学符号时，对常见的计算符号以及大小关系符号大多能够回忆并再现，对于其他类别的符号，如分数、小数等符号有16人提及;几何领域中的符号3人提及;用符号表达的运算律、数量关系2人提及;公式符号组合2人提及。学生再认符号困难不大，却不能主动再现，究其原因可能与对数学符号的认识存在误区有关。如认为“符号就是独立记号，公式不算符号”“符号就是字母符号”“每个符号只有一个含义”等。感知符号及其含义，也需要学生了解符号的来龙去脉，了解符号的作用，在此基础上才能更好地运用符号，感悟符号的功能和价值。

（二）用数学符号进行表达推理时考虑不周全

调研问题2主要是考查学生运用符号进行简单推理的能力，问题3考查学生对运用符号表达关系的理解。从调研数据发现，96%的学生在运用符号进行推理时考虑都不够周全，获取部分信息就得出结论，只有4%的学生能够根据条件获取所有符号的信息后再进行合理推断。在使用符号表示一般关系时，超过一半的学生仅关注部分数之间的关系，而未能考虑符号表示的任意性和全面性。

（三）对数学符号价值的理解不够深入

数学符号的出现是数学诞生与发展的重要标志，是数学研究不可缺少的工具，它具有简明、直观、准确、符简理深、优美等特点。学生通过五年的数学学习，对数学符号这种特殊的数学语言有哪些认识呢？问题4的调研表明，学生能够认识到具体符号的含义，知道其作用，但只有约49%的学生表达出了数学符号在数学中的价值，如它的重要性、准确性、简洁性等，约31%的学生能结合实例阐释。对于数学符号作为数学研究中不可或缺的工具、作为数学交流的工具，在提高运算效率，直观表达数量关系方面的价值体悟不深。

三、学生数学符号意识的培养建议

基于调研及初步分析，我们对小学生数学符号意识的培养提出如下建议。

第一，教学中应有意识地对数学符号做阶段整理，帮助学生弄清数学符号的含义和实质，明晰符号之间的关系，丰富学生对数学符号语言的认识。例如，让学生以思维导图的形式梳理某个阶段学习中的数学符号。上述调研中有学生把小括号、中括号、大括号单独放到一个类别中（图4），还有的学生把它们和运算符号归为一类（图5）。两种想法各是基于何种考量？有学生认为括号在计算中有改变计算顺序的功能，可以算作运算（计算）符号;有学生认为小括号、中括号还可以用在求最大公约数、最小公倍数的表达中，小括号还可以用于表示数对，一个符号多种含义。教师可以基于学生的梳理组织教学交流，在讨论中丰富学生对符号含义的认识。

第二，在数学教学中涉及符号表示的内容时，让学生经历独立思考、自主表达、集体讨论、反思调整的过程，培养学生思考的全面性和思维的反省性。例如，问题3，在教学中教师可鼓励学生独立思考、自主表达，学生会出现题目所示的四种答案，在此基础上选取有代表性的四类作品，引导学生交流研讨，让学生在对比中进行分析，通过观察、反思来感悟符号表达一般规律时需要全面、准确、简洁，体会符号语言的含义确定性、表达简明性、概括全面性。

第三，在数学教学中应有意识地进行数学符号历史的讲解、滲透，让学生了解数学符号产生的历程，体会到数学符号中散发的数学家理性精神的光辉及数学家对数学美的追求，洞察到简单的数学符号背后蕴含着深刻的道理。例如，小数的表示方法，并不是生来就如此，而是随着人类社会生产活动的发展与需要逐渐演变并稳定下来的。通过引入数学史料，让学生思考数学符号发展和演变的道理，体会数学符号表达的简明性、直观性，以及含义确定的符号在交流时的便捷性。

数学符号的产生是数学史上具有划时代意义的大事，学生的数学学习无时无刻不与数学符号打交道。学习、理解并喜欢这种特殊的数学语言，感悟这种无声音符在表达数学概念、数学运算，以及进行推理时的美妙，才能更好地学习数学，形成数学素养。

（作者单位：北京教育学院 北京小学）