对称马氏过程对应梯度型算子的弱(1,1)有界性

周博文，张龙腾

(1.福建师范大学 数学与统计学院，福建 福州 350007； 2.福建师范大学 协和学院，福建 福州 350007)

马氏半群的分析性质是随机过程与随机分析的主要研究内容之一，详见著作[1,2].这其中，对称马氏过程生成元的Riesz变换是一个非常活跃的研究课题.例如，在假定空间满足体积倍增条件下，文献[3,4,5]讨论了具有高斯型热核估计的对称扩散算子的Riesz变换；文献[6]在给定次高斯型热核估计情形下，建立了黎曼流形和图上Riesz变换的Lp有界性.上述四篇文献的证明方法强烈依赖于梯度算子的弱(1,1)有界性。然而，轨道不连续马氏过程对应非局部算子的Riesz变换至今仍未系统研究，部分结果可参见文献[7]中关于分数Laplace算子的研究。本文在狄氏型理论框架下，基于现有热核估计相关结果，建立了一般度量测度空间中对称马氏过程对应梯度型算子的弱(1,1)有界性.

1 预备知识与主要结论

本文在度量测度空间(M,ρ,μ)上讨论问题，其中μ是M上非负Radon测度且支撑为M.记B(x,r)={z∈M:ρ(x,z)0，使得对任意x∈M，0

(1)

其中V(x,r)=μ(B(x,r)).

特别地，由(1)可知，对任意x,y∈M，r>0，有

(2)

记R+=[0,+∞)，令φ为R+上严格单调增函数，满足φ(0)=0，φ(1)=1及如下scaling性质：

(3)

其中C1,C2>0为常数.

假设存在R+上有界递减正函数S，满足

(4)

其中d,α1,C1由(1)与(3)给出.

设(Pt)t≥0为L2(M,μ)上的对称马氏半群，其密度函数(亦称热核)为pt(x,y)，即

(5)

其中Lp(M,μ)表示M上Lp-空间，其范数定义为

(6)

只需

〈f,(-L)f〉L2(M,μ),

定理1假设条件(A)，(B)成立，其中

(A)热核pt(x,y)满足如下上界条件：

(7)

(B)(i)T具有次可加性且L2有界；

(ii)存在(0,∞)上有界正函数F，使得

(8)

且

(9)

则算子T是弱(1,1)有界的，即对任意λ>0，f∈L1(M,μ)∩L2(M,μ)，有

(10)

注1显然，若T满足弱(1,1)有界，则T是Lp有界的，这里p∈(1,2).

2 定理证明

在给出定理1的证明之前，为便于论述先给出两个关键引理.

引理1对任意f∈L2(M,μ)，t>0，

(11)

其中：

进一步，若满足假设条件(B)- (ii)，则

(12)

证明根据定义(6)，对任意f∈L2(M,μ)，

即有

即式(11)得证.

进一步，根据(8)可得

一方面，根据(9)可得

另一方面，利用F的有界性可知，

从而式(12)得证.

引理2存在常数c>0，使对任意t>0，x∈M，非负可测函数φ，有

其中:M为非中心Littlewood-Paley极大算子；

(13)

一方面，由(7)，S的有界性和体积倍增条件，对任意y∈B，有

(14)

另一方面，根据(7)与函数φ和S的单调性可知，对任意y∈B，j≥2，z∈Cj(B)，

这样，

(15)

其中，最后一个不等号利用 (2)和(4).

结合(13)及估计(14)、(15)，有

由y与z的任意性可得所要的结论.

下面给出定理1的证明.

证明要证T满足弱(1,1)有界性，即需证明对任意λ>0，f∈L1(M,μ)∩L2(M,μ)，有

根据著名的Calderón-Zygmund分解定理可知f=g+b[11].由T的次可加性可知，对任意λ>0，

μ({x:|Tf(x)|>λ})≤μ({x:|Tg(x)|>λ/2})+μ({x:|Tb(x)|>λ/2}).

根据切比雪夫不等式、T的有界性及文献[11]可得

下面只要证明，对任意λ>0，

(16)

‖bi‖1≤2n+1λμ(Bi)

和

记ti=φ(ri)，则bi=etiLbi+(I-etiL)bi.由T的次可加性可知

(17)

注意到

(18)

由体积倍增条件及文献[11]定理可知

(19)

利用切比雪夫不等式及T的次可加性可得

为简单起见，省略下标i，记kt(x,y)为T(I-etiL)的热核.由supp(b)⊂B可知

再由引理1可得

从而

(20)

结合(18)、(19)和(20)可知

(21)

下面估计式(17)右边第二项.由切比雪夫不等式，对任意λ>0，有

(22)

根据对偶性和supp(bi)⊂Bi，有

(23)

进一步根据引理2及文献[11]定理可得

又利用Cauchy-Schwarz不等式，得

其中第一个不等式是根据上文构造球序列{Bi}i≥1所述M中每个点至多包含在2n+1个球Bi中这一事实.

(24)

结合(22)、(23)和(24)估计，得

(25)

最后，根据(17)、(21)及(25)，定理得证.

注2定理1的证明主要参考文献[10]命题3的证明，其思路源于文献[3,6]的讨论.文献[3,6]分别建立具有高斯、次高斯热核估计对称扩散算子对应Riesz变换的有界性.文献[10]命题3表明高斯或次高斯估计对建立Riesz变换的有界性是非必要的，即存在紧流形，在不具有高斯或次高斯估计条件下，其对应的Riesz变换是Lp有界的，其中1≤p<2.