核心素养视角下概率与统计教学的策略与实践

陈黎

摘 要：文章以新课标和近几年高考导向为指引，从学情、师资、教学资源和教学手段等维度对高中概率与统计主题内容的教学策略和实践进行研究，以期在新一轮教学改革的浪潮中落实发展数学学科核心素养和学生个人核心素养目标，体现概率与统计主题的课程价值。

关键词：高中概率与统计;教学策略;核心素养

在大数据时代，社会的深刻变革使数学有了更广阔的应用空间，同时也会对数学教育提出新的要求。《普通高中数学课程标准（2017年版）》强调：在数学课程开展的过程中，把促进学生数学核心素养的形成与发展放在突出位置。

概率与统计是高中数学教学的重要内容，在《普通高中数学课程标准（2017年版）》中，概率与统计以主题的形式出现，教学的内容与要求均有所增加的同时凝练了学科的核心素养。

另一方面，從高考命题的角度来说：2004年全国高考卷首次出现概率与统计内容的解答题，到2019年全国I卷（理）概率与统计内容的解答题成了压轴题。高考对概率与统计部分内容的考查明显体现出从最初的知识立意到能力立意再到素养立意的变化。如何将新课标中的核心素养落实到平时概率与统计的教育教学中去，这是高中数学教师必须面对和思考的问题。笔者在近几年翻阅了大量资料并结合教学工作，从理论到实践对该主题的教与学进行研究和探讨。

一、概率与统计教学中存在的问题

（一）学情特点

小学、初中的数学课程中概率与统计的内容是以每年1—2章节渗透的形式呈现的。学生有一定的基础，体现在了解概率是什么（模糊地）;计算简单的古典概型;能做简单的数据统计;会计算样本的极差、中位数、平均数、方差等数字特征。这也基本符合学生在该年龄阶段的认知特点。

高中阶段学生在这一主题的内容学习中主要存在以下问题：

1. 对重要概念存在模糊认识。比如对概率研究的对象随机事件，学生就缺乏系统完整的认知，在计算复杂概率问题时不会分析随机事件的相互关系（互斥、相互独立）。这是因为在小学初中的数学课程中学生没有系统地学习这个概念，这显然影响了数学建模和数学抽象核心素养的发展。

2. 对概率与统计的主体思想没有整体地认知。这是因为之前的学习是渗透式的，每个学年学一些，学生对概率与统计主题内容很难有完整系统的概念。即使在高中也分成两个模块来学，之前的零碎感和模糊感很难在短期内消除，造成数学推理和数学抽象核心素养发展不到位。

（二）教师方面存在的问题

师范大学数学教育专业的毕业生在本科期间的《概率论与数理统计》虽然是必修课，但明显偏重于理论，与实际结合较少，非应用数学专业的毕业生基本没有做过一个完整的统计案例。再加上之前的概率与统计主题不是高考的重点内容，教学用到专业知识的地方不多，也就导致很多初高中教师对这块内容缺乏系统的认识，教学上对学生的引领就显得比较无力。

要给学生“一杯水”，老师至少要有“一桶水”。在高中数学课程中，为了让仅具备初等数学基础的学生理解并接受概率与统计中的许多概念，教材不可能用公理化的方式对其进行严格的定义，但教师不但要正确理解，还应在此基础上将难懂的学术语言转换为能符合学生认知水平的教学语言，并引发积极的思考。赵轩、任子朝认为教学中重视做题忽视概念不利于知识的内化和迁移。为了学生的长远发展，高考作为选拔性考试将会进一步发挥加强基本概念考查，打破机械刷题学习模式的导向作用。为了让学生对概率与统计内容有整体的理解和正确的认识，教师有必要将大学教材《概率论与数理统计》重新学习一次，至少将重要的章节重温一遍。笔者这两年利用闲暇时间特意将新旧三个版本的大学教材《概率论与数理统计》重新研读了一遍，对很多相关概念的理解有了新的认识，对概率与统计问题认识的高度和深度使笔者在教学中能游刃有余，让教学过程变得有序、充实，让学生对知识和方法的来龙去脉清楚明晰。另外教师必须认真钻研新课标，将其各核心素养的内涵与价值、表现与水平特征、培养与评价等相关内容烂熟于心，充分领会其精神和本质，才有可能让学科素养落在实处。

如果教师只满足于能讲解课本和习题上的案例是不够的，这就要求教师扩大知识面，多进行课外的阅读，从现实生活中去寻找教育教学的素材，如果在课堂上能将生活中学生感兴趣的事物用概率与统计的观点进行分析、透视，引起学生的兴趣，参与讨论、产生共鸣，那么“创设情境”“有效迁移”就不会停留在表面，这样的课堂就不再枯燥、乏味，而让学生听得津津有味，对教师产生崇敬感。情感、态度价值观的因素融入进来，学科素养的凝练过程才会有“问渠那得清如许，为有源头活水来”的效果。笔者近几年读了吴军博士的《数学之美》，作者用通俗的叙事语言将数学在现今众多前沿领域的应用娓娓道来，是非常好的数学科普书籍。其中包含大量的概率与统计在自然语言处理、密码学、路径规划、人工智能等前沿科学的丰富案例，它们作为教学素材经常在笔者的课堂上适时出现，让学生惊讶“原来让翻译软件正确率大幅提高的不是语言学家的研究成果而是统计模型的应用”“ALPHA GO能战胜柯洁并不是它能理解柯洁的棋风而是它有基于统计学超快的自学能力”，这样的课堂才更具有活力和灵性。

二、教学策略与建议

（一）抓住主题特点，着重发展数据处理核心素养

在高中数学教学中需要学生凝练学科核心素养，数据处理是概率与统计主题所独有的。这一素养与其他数学学科素养相比，其独特主要表现在：一是立论的基础不同。因为数据分析问题的起点一定来自于数学的外部，研究问题的基本思路是从数据出发而不是从定义出发;二是推理方法，数据分析中推理的基础是历史经验，主要采用归纳推理，其他数学内容的推理基础是公理体系主要采用演绎推理;三是判断准则，不同数学判断结论的准则是对与错，这充分体现了数学的严谨性和准确性，统计学面向随机现象探究偶然性下的规律性，即使是同样的数据也允许出现不同的判断。人们根据自己对数据背景的理解采用不同的推断方法进行分析得出不同的推断结果，其判断结论的准则是好与坏，这既体现了统计学的严谨性和准确性，又体现了统计学的艺术特色。只有正确认识数据分析的这些特点，才能在概率与统计的教学中的找准着力点，让学生树立正确的概率与统计基本思想。

在教学实践中，教师应该运用丰富而真实的案例，反复强化以下基本的统计思想，让学生在逐层发展学科素养的过程中有坚实的基础：

统计学在做什么？——研究总体。

统计学对总体怎么研究？——用样本估计总体。

统计学研究总体的那些方面？——数据的分布情况、数字特征;多种数据是否有关、有什么样的关系。

统计学有什么用？——根据总体的情况做出正确的决策。

只有真正落实数据处理这一核心素养的发展，才能让学生从整体上对这个主题学习内容有深层次的认识。这样他们在应对概率与统计问题的时候才会有方向感。

（二）以主题教学均衡发展其他核心素养

概率与统计内容中除了数据分析素养之外还有数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算。数据分析素养主要用在统计部分，而概率部分离不开另外四种素养。概率与統计又是密不可分的。在解决概率与统计问题的时候，除了数据处理素养发挥核心作用之外，其他几个素养也是不可或缺。这部分数学内容的知识结构本身就体现了素养相互交融的特点。从数学的整体来讲我们应该辩证看待，既要用分析的方式，也要有综合的思维方式。

首先要优先发展数学建模思想。概率与统计问题的起点都是实际问题，那么数学建模素养就会在解决问题的过程中扮演重要的角色。数学建模是连接数学与外部世界的桥梁，是应用数学解决实际问题的基本方式。这一素养没有充分发展就意味着建模过程不畅或错误。

比较近两年的高考题我们会得到不言而喻的结论。2019年高考全国卷I（理）21题难度1.6，答卷中大量出现空白卷、审题不清和模型选择错误。而2020年高考全国卷I（理）19题一改前三年背景文本材料较多的风格，采用题干简洁、直接设问的方式，对数学思维的要求虽然更高，但得分率有0.29，明显高于2019年。由此说明数学建模素养恰好是学生的短板。数学建模素养的主要瓶颈在于学生的知识面（对外部事物的理解）和在综合情境中发现、提出、分析问题的能力。毕竟学生和社会接触比较少，很多问题的情境离学生的生活比较远，要想学生在面临陌生情境都能有深刻的理解是不现实的，应对的办法是：1. 认真落实新课标中数学建模活动与数学探究活动（必修主题五、选择性必修主题四）的主题内容，尤其要引导学生完成与统计学有关的数学建模和数学探究活动;2. 为学生提供较多真实的案例，让其进行阅读、分析、建模的尝试。

其次，其他几个素养虽然不是概率与统计主题重点需要发展的核心素养，但教师在教学中也必须统筹兼顾。《普通高中数学课程标准（2017年版）》中提到：数学学科的核心素养通常是在综合化、复杂化的情境中通过个体与情境的有效互动生成的。这就要求数学教师从以往的课节教学向主题教学转换。课节教学以课时为单位进行教学设计，对于合理把控数学教学进程优化教学活动具有重要意义。不足之处是易使学生知识割裂，不利于形成完整的知识链条和体系，常常过多地关注知识与技能、忽视情感、态度、价值观的培养，不利于学生学科素养的发展，易使教师拘泥于具体内容，缺乏对教学整体的把握。

（三）从学生成长角度，聚焦学生的可持续发展能力

数学作为中国学生的一门必修课，除了要落实本学科的核心素养之外，还要肩负中国学生发展的六大核心素养：人文底蕴、科学精神、学会学习、健康生活、责任担当、实践创新。其中的科学精神、学会学习在概率与统计的教学中有非常具体的落脚点。

科学精神可以简单概括为实事求是、求真务实、开拓创新的理性精神和“实践是检验真理的唯一标准”的实证精神。随着大数据时代的到来，概率与统计方法和结论在科学的各个领域、分支都有越来越广泛的应用。这部分的内容相比其他数学内容更容易课本、高考、习题中的各种情境都是概率与统计在各个层面应用的管窥，处处体现理性精神和实证精神，是科学精神最好的涵咏。比如：研究吸引与肺癌关系的独立性检验是心理学、医学中广泛采用的研究方法;二项分布是研究教育教学的有力工具;“要不要购买易损零件”（2016年高考—理19题）、“要不要继续检测”（2018年高考—理20题）带有会计学和工商管理学的背景;“遇到红灯的概率问题”来源于城市交通规划学。教师在讲完这些例子的数学过程之后不妨为学生讲一讲例子背后的理性精神。教师的延拓讲解或许会点亮某些学生心中的科学火种，让他们在不久的将来走上科研之路，最终成为某个领域的领军人物。

学会学习是指既要掌握学习知识的技能和方法，更要通过不同方面的努力，全面提高学习品质，在学习中身心获得发展，不断超越自我。另一种通俗的理解是具备可持续学习的能力和意愿。这一素养的凝练需要丰富的场景和过程加持，而提高专业阅读能力是重要的部分。

在学习概率与统计的过程中，学生有机会获得较其他内容更多的数学与其他科学融合的阅读材料，对这些材料的正确理解是数学建模能否成功的关键。在教学过程中，教师若能对学生阅读进行相应的指导，学生数学建模的核心素养能得到提高的同时，学生学习的素养也得到了发展。余文森教授认为，在由狭义教学走向广义教学的过程中，要由以书本知识为教学对象转化为以课程资源为教学对象，课程资源包括但不限于教材。

（四）合理运用信息技术，有机融合数学教学与信息技术

发展学生数学学科核心素养的重要载体是数学教学活动。在数学教学中，利用信息技术可以创设丰富的情境，可以将较为抽象的内容变得直观可视，可以提高学生自主探究和解决问题的能力。而在概率与统计教学内容中，由于涉及的数据处理方法多样，计算繁杂，对教师的教学设计和课堂控制能力提出了很大的挑战，学生在课堂上面对成堆的数据和眼花缭乱的图形很容易迷失思考的方向，无法真正参与教学活动中，很难实现知识与方法的生成、理解、升华过程，就更谈不上发展核心素养，因此要合理使用信息技术。

随着信息技术的发展，市场上的概率与统计的平台很多，如：SPSS、MatLab等。但由于它们太过专业、对硬件要求高而不适用于高中数学教学。GGB（Geogebra）是近年来风靡世界的数学教学软件，有免费、功能强大、可移植性好等诸多特点，代表着数学课堂教学软件的发展方向。从笔者多年的实践来看，EXCEL是最适合在中学课堂中运用的概率与统计教学平台。EXCEL的优点是小巧、方便、经济、易学，几乎每台计算机上都有EXCEL，对硬件的要求不高，每位教师都可以根据自己的实际学习能力掌握一定的制作方法。通过在课堂中合理使用EXCEL，都能大幅度提高课堂的效率和有效性，现场操作的过程能让学生产生既视感，帮助他们理解数据处理的具体过程，有效地提升凝练数据分析核心素养的效率。

另一方面，信息技术的运用是否能使课堂有效、真正为发展核心素养服务，这就取决于教师的组织教学的能力和学科功底。没有精湛的教学设计和娴熟的课堂驾驭能力为依托，光靠堆砌信息技术手段，并不能为学生带来更深层次的思考，也就无从谈起发展核心素养。这就是标题中“合理”“有机融合”的要义。

三、教学案例与思考

（一）教学案例：统计案例（非线性回归分析）

【教学设计】

1. 教材分析：本节内容是高中人教A选修2-3第三章3.1节第二课时，是在学习完线性回归方程的计算（通过例1复习必修3），拟合效果分析之后的进一步学习，是对线性回归分析的进一步巩固和提高。是回归分析问题的最后一节新授课。

2. 学情分析：教学群体是高二物理班学生，数学水平落差较大。通过上一节的学习，学生已经基本掌握了线性回归的建模与分析方法，能对两个相关变量进行回归求参、预测、残差分析、拟合效果分析。

3. 教学目标：

（1）能在较综合的环境中正确地区分线性和非线性的回归模型，发展学生的数学建模素养。

（2）能创造性地运用统计知识构造相应的统计模型解决问题，并用恰当的统计语言表达数据提供的信息和规律，发展学生的数据处理素养。

（3）根据问题的需要对数学对象进行合理地表述、推理、运算，发展学生的数学抽象、逻辑推理、数学运算素养。

4. 重难点：

重点：如何将非线性回归分析转化为线性回归分析;如何评价拟合效果;

难点：如何确定非线性回归模型的表达式。

5. 教法和学法：分组讨论法、讲练结合法。

【教学过程】

1. 回顾旧知：回顾线性回归分析的基本步骤。

教师提出问题，引导学生回忆线性回归分析的基本步骤，教师做点评、补充（唤醒学生的记忆，巩固学生的最近发展区）。

2. 提出问题：

（1）教师读题，引导学生理解题意，学生思考、讨论、叙述自己的理解，确定解释变量和预报变量：温度和产卵数谁做解释变量谁做预备变量比较好？（提出情境、阅读文本、理解题意）

（2）教师引导学生观察散点图，并描述其特点，如：单调性，凹凸性等，然后讨论出几种比较符合的函数模型（二次、指数、幂）：观察散点图，你认为产卵数y和温度x之间具有线性关系吗？如果不是，可能与哪些函数图象比较匹配？（通过图形的直观性引导学生了解不是任意两个变量之间都是线性相关关系）

（3）教师引导学生思考如何设计二次函数的具体表达式，主要从参数个数差异如何消除来引导：如果使用其他函数模型（比如二次函数）具体如何设计函数表达式？（用较易转化的二次函数做铺垫，用化归思想引导学生思考如何将非线性规划转化为线性规划）

（4）如果是二次型模型，如何求参数？（让学生体会数据如何随着模型的变化而转换）

（5）教师提出问题，引导学生思考，学生通过观察思考发表自己的意见，教师点评：如果是指数函数模型如何设计具体函数表达式？（使学生进一步体会把解释变量和预报变量的非线性关系经过转换后可以转化为两个新变量间的关系）

（6）教師提出问题，引导学生分组讨论，然后让学生分组配合计算参数：如何计算这两种指数函数模型的参数？（让学生熟悉线性回归模型的参数估计方法）

（7）教师提问、引导学生进行变换获得最终的非线性模型：如何将得到的线性回归模型再变回原问题所提出的模型？（将线性回归转回非线性回归从而解决问题）

（8）教师提出问题，引导学生回忆评价线性回归模型拟合好坏的标准——相关系数R2，进一步引导学生探讨如何进行不同模型间的比较;学生讨论、计算每个模型的R2，并进行比较：以上几个模型中哪个能更好地刻画红铃虫的产卵数y与温度x的关系？（引导学生尝试进行不同模型的比较）

（9）教师引导学生归纳处理非线性回归问题的思路，同时应强调要借助散点图的直观性，联想已学过的基本初等函数图象，引导学生感受知识与方法之间的联系。

小结：我们如何处理非线性问题？（引导学生整理思路，内化知识与方法，扩大最近发展区）

3. 课堂练习：

通过练习进一步内化方法，巩固新的最近发展区。再次体会统计案例：收集数据、处理数据、建立模型、回归模型、数据分析、决策的全过程。学生自主练习，教师巡视解惑、个别辅导。

某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x（单位：千元）对年销售量y（单位：t）和年利润z（单位：千元）的影响，对近8年的年宣传费xi和年销售量yi（i=1，2，…，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。

4. 课后作业：（1）课本练习;（2）课外收集与阅读：①探究近10年我国人均GDP与淘宝双11的销售额数据的关系;②网上搜索与非线性回归有关的案例并阅读，在小组内分享。

（二）反思

本节课总体来讲设计合理、符合学生的认知特点;课堂上学生的思维活跃，参与度高，主体性强;合理运用信息技术辅助教学，教学效果良好。在教师的引导中，培养了学生的数学建模、数学运算、逻辑推理、数据分析、数学建模等核心素养。在这堂课之后，接下来第二周笔者又以本节课的课后作业为资源再上了一节自主探究课，学生分组展示对案例的分析，非常精彩。由此说明本堂课在发展学生核心素养方面有可取之处。

四、结语

通过以上研究，我们认为在概率与统计的教学中，可以通过厘清本主题的整体特点和思想主线;提高教师自身的专业水平;用真实、完整、丰富的案例作教学资源;有机结合信息技术为手段等方面来提高教学能效，发展学生的学科核心素养和个人核心素养。

参考文献

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