二次函数的领域模型构建

朱娅梅, 撒兰应

(1.华东师范大学 考试与评价研究院, 上海 普陀 200062； 2.昭通学院 教育科学学院, 云南 昭通 657000)

0 引言

领域建模是指课程知识的组织和表示，是对领域知识的抽象表示，是理想的专家知识结构，它揭示出领域知识内部的各组成元素及元素之间的关系[1].领域模型的构建须有利于知识资源的表示、管理、查找、评价、共享、交互导学，是自适应呈现知识资源的基础.一些经典的学科领域建模案例有ALEKS的知识空间图、可汗学院的知识星空图以及我国的学生网课后练习的知识地图.领域模型可以被分为集合模式和网络模式.集合模式，也叫作向量模型，由没有内部结构的独立的知识组件的集合形成，如目前已有的使用Q矩阵的60多种认知诊断模型.网络模式的领域模型则主要是通过可视化技术显示知识点及相互关系，如概念图、知识图谱、知识地图、学习空间理论等.二次函数的领域模型属于网络模式，笔者从宏观的角度去梳理和显示知识点及相互关系.从宏观上统筹梳理某些特定单元的教学任务能更好地设计教学帮助学生理解和运用本单元的具体知识[2].教育学认为，凡是有利于学生学习和理解的教学顺序都是值得接纳的[3].构建二次函数的领域模型是方法性和策略性的思考，也符合学生的认知需求和整个函数体系的自然发展，对培养学生的数学思维和数学素养有着重要的作用.

二次函数是初中重要的非线性代数内容之一.对中学生来讲，也许它是抽象的，但在高等数学中总是把它作为一种直观，一种理解其他数学概念的模型，甚至在研究其他函数时，还经常用二次函数来逼近[4].在函数综合问题的教学过程中，要注重对学生数学思维的训练，更要注重对数学思想方法的渗透[5].运用建模思想解决复杂的二次函数面积问题可以事半功倍[6].通过建立模型、分析模型、求解模型、解释规律等过程，引导学生理解函数是一个好的学习途径[7].要关注二次函数模型的构建形式、解析思路、剖解方法，总结对应模型问题的特点，形成自我解题策略[8].“渗透函数思想”“重视函数思想方法的应用”已成数学教师的共识[9].综上所述，以往对于二次函数的研究主要集中在教学策略和解题方法方面，近年来重点关注模型思想和函数思想运用等方面，但对二次函数的领域模型研究较少.笔者旨在通过二次函数的领域建模回答以下三个研究问题：

(1)二次函数的元素：有哪些基本的微小技能和高阶技能？体现出对哪些核心素养的强调？

(2)二次函数的结构：有什么样的学习主线？这些属性之间有怎样的路径关系？

(3)二次函数的表征：可用怎样的试题显性化这些微小技能，高阶技能和核心素养？

1 二次函数的领域模型

从横向上看，代数包括三种核心活动：一般化，变换，元水平活动[10].一般化即情境，性质，模式，和关系被代数表征或者解释，一般包括，为代数对象如代数表达式或者代数方程创建意义.变换即代数操作，一般包括代数式化简，方程求解，聚焦于等价和方程的符号求解.元水平活动不是特定与代数相关，而是与使用代数之目的和情境有关，例如证明，求解问题，预测等.本文对原来的一般化和变换的含义作了一定的拓展.

从纵向上看，在认知水平上，教师本质性知识有三个具体标准：正确，意义，联系.教师首先必须有正确的学科知识，其次理解这些学科知识的意义，最后明白相互之间的联系.因此，在发展完全的，组织良好的概念性理解的知识包中，包含三种类型的知识，过程性课题，概念性课题，以及该科目的基本原理[11].根据代数的三种核心活动和教师知识水平划分得到下面的二次函数的领域模型框架(该框架在表格中按每个认知扩展出细节指标列表).

表1 初中数学教师的二次函数理解评价框架

二次函数的领域模型框架从形态上分为三个部分，对应着数学活动的三种类型：概念理解，技能掌握和问题解决，每个部分又包括数学内容和认知活动两个视角.其中，二次函数的图像及性质为整个二次函数框架的基石，而其中所涉及的认知活动主要是变换，即纯粹的数学符号操作，而不关心每个操作对象背后的现实意义.二次函数建模是整个框架的现实意义，其中所涉及的认知活动主要是一般化，即寻找二次函数与现实情境的对应.二次函数与其他数学结合的综合应用是整个框架的升华，其中所涉及的主要认知活动是元水平活动，即与其他数学知识如一次函数，三角形等组合.

1.1 一般化

函数思想的数学表征反映了函数的基本性质、外部特征以及应用功能[12].一般化是数学里为表征的数学世界建立意义，并用数学模型解释具体情境的过程.学生如果学会这种一般化的思维模式，将来就可以迅速地迁移学会更多的数量和数量关系，并用类比的方法处理它们.二次函数有五种表征形式[13]，一般化即是从这五种表征形式中用对应或共变的视角识别出二次函数关系，并灵活地将一种表征转换为另一种表征，如表2所示.

表2 二次函数一般化行为指标

函数具有两种视角：两个变量之间的共变(随着时间前进，树在变高)；两个集合之间的对应(一个一个的数物体，建立基数概念).共变是两个量在变化，而且它们的变化同时相关.二次函数的对应观强调以对应视角关注输入与输出之间的二次式对应；二次函数的共变观强调以共变视角关注输出随输入的二阶常数变化率.发展相互补充的共变和对应函数观点，以及联系函数的各种表征，是函数一般化的重点.

表3 数字对应表(1-5)

如表3所示，对应观关注的是数和被对应的数字之间的关系，1、2、3、4、5依次对应1×5、2×6、3×7、4×8、5×9，那么，如果用n表示序数的话，对应的第n个数字是n×(n+4).

共变观关注的是数字的变化和跟着变化的数字变化规律，如当序数每次增加1个单位，对应的第二个数不是增加相同的倍数，因而是非线性的.从表3中可知5到12加了7，12到21加了9，21到32加了11，32到45加了13，而变化率的变化率(即二阶变化率)是常数2，因此是二次函数.

当一个人在处理一个函数的一种表征时，有三种组件元素可以识别：一个输入，一些执行在输入上的变换以及输出(被变换后的输入).研究发现学生表征转换之间具有方向性，很容易将代数表征转换为数值表征或图像表征(取值，描点作图)，而将现实情境尤其是结构不良好的现实情境或者数值表格和抛物线一般化(解释)为二次函数关系时具有很大困难，而在将代数表征转化(构造)为现实情境时也在方法的多样性上面临更大困难.

1.2 变换

把二次函数的四种解析式联系起来的是数学的代数变换，即一般式，顶点式，交点式，和对称式，其中，交点式不一定都有.把一簇簇有相似结构的二次函数统一起来是数学的几何变换，原先它们只是经历了平移，轴对称和中心对称变换.数形变换的对应则把二次函数的代数变换和几何变换统一了起来，实现几何变换和代数变换的相互补充注解.

二次函数的变换实质是二次函数语言的变换.二次函数语言有指标和含义两个维度[10]，指标如果是数字，函数或者逻辑判断值，含义指具体操作.在等价的代数操作中，指标一直没变，但是具体操作却向着简化和凸显指标的方向进行.在图像变换中，图像的形状大小(指标)一直没变，但是图像的坐标(含义)变了.因此，二次函数的变换就是二次函数的代数表达，图像表达以及二者变换的对应，在指标不变的情况下，将含义朝着问题解决有利的方向进行(见表4).这里涉及三种语言变换，两个维度.

表4 二次函数变换行为指标

教学中应帮助学生掌握二次函数语言的变换，使得学生不再认为代数是没有意义的规则对没有意义的符号的数学应用.教会学生阅读数学符号，认识到数学符号可以看作一种象形文字，具有非线性，操作性和结构性.尤其重要的是其结构性使得学生从整体去看待一个数学表达式，这是从过程性操作向对象性概念转化的关键步骤.但是，在实际教学中学生对变换的理解非常有困难，尤其是数形变换对应.新手教师往往将变换处理成学生的操作口诀，学生只要正确执行口诀就能完成变换.

1.3 元水平活动

元水平活动是数学学习里比较高阶的思维.学生从关注过程(操作性思维)到把过程视为一种对象(结构性思维)要先有程序性操作，紧接着形成概念再形成可操作的对象，这时才能在复杂的情境中灵活地把对象作为一种工具参与复杂的问题解决.元水平活动需要学生把二次函数的概念、图像和性质整合为一个灵活的对象并作为工具在复杂的几何问题情境中用代数解决几何问题，所涉及的学科基本原理主要是解析几何思想.代数使我们可以用符号系统表征问题的结构，然后从句法水平实施运算寻找求解，而不考虑它的语义水平.句法水平指符号的组织和变换，语义水平指含义.概括地讲，二次函数元水平主要有两种行为指标，分别是几何的代数表达和代数解决.具体如表5、表6所示.

表5 二次函数元水平行为指标

表6 二次函数的领域模型框架行为指标

2 二次函数的领域模型的评价案例解读

通过向在职教师和职前教师进行测试并对数据进行收集和分析，将测试结果呈现为访谈录音“我如何思考”“我如何向学生解释”以及教师作答的拍照.

案例1一般化

学生在学习了一次函数和二次函数的直观表示：一个维度的均匀增长是一次函数，两个维度的均匀增长是二次函数，如图1所示.

图1 一般化图形增长模式

一个学生觉得图1虽然是两个维度上的均匀增长，但他无法写出这个图形增长模式的解析式，你如何解答学生的这个问题？尽量列举各种解法.

图2 较复杂图形增长模式

案例解析:如图1和图2所示，概括图形增长模式有两种视角和策略，一种是对应的视角，即看第n个图对应的数字是多少，一种是共变的视角，即两列数据共变增长.图1是一个结构良好的图形，可以很容易看出图形增长由两部分组成，一部分是正方形部分，由边长为1到边长为2到边长为3，因此正方形面积是n2，然后还有一部分是线性增长部分，每次都增加1，所以整个图形增长的变化模式是n2+n.从对应的视角2，6，12，20可知不是线性增长，而是n2+n的增长模式.教师可以从两个角度去分析，对应和共变视角，对应视角是1*2，2*3，3*4，4*5，因此是n2+n.共变视角，可以将图2转换成正方形增长部分和线性增长部分.

对于一般化二次函数关系这个教学问题，职前教师和在职教师一般会达到不同水平的理解.水平一的教师期待学生掌握这个过程：设出自变量，列出函数关系式；设出函数解析式，列出方程(组)求参.这种教学对于学生初步学习是非常有帮助的.水平二的教师希望学生注意到由已知解析式求值到由值待求解析式这个视角，即这个函数关系已是两个维度的均匀增长，函数关系式由一次变为了二次.水平三的教师希望学生领悟其中的学科基本原理，即二次函数的本质：对应+共变+多策略.如果学生拓展出对应和共变的视角，就会灵活使用多种策略来解决这个问题.

案例2变换

y=-2x2+5的部分图像如图3所示.请在方框中填入另一条抛物线最可能的解析式.请解释你的理由，并说明你解决问题的思路和过程[14].

图3 变换水平测试题

对于这个问题，教师的认知水平不同.水平一的教师希望学生按照口诀执行正确的变换，比如二次函数四种解析式之间的互化(一般式，顶点式，交点式，和对称式)，三个表征之间的对应(解析式，表格，图像)，教师会用一些口诀帮助学生记忆操作过程，这种过程性的理解可以帮助学生通过练习迅速掌握，是初学者的很好脚手架.水平二的教师希望学生有更深入的概念性的理解，例如，代数、几何和数形变换.促使学生在没有口诀时尝试分析两个图像的几何变换关系，得到代数解析式的变换关系，从而由一个解析式变换得到另外一个解析式.水平三的教师涉及对学科基本原理的理解：坐标表征+变换+多策略，二次函数本质是用坐标的一般性表达二次变化.教师会教学生用一般性的坐标设出待求抛物线上的点，通过坐标变换关系代入已知抛物线从而解得待求抛物线的解析式；或者根据几何变换的关系对已知抛物线的解析式作对应变换直接得到待求抛物线的解析式.学科基本原理是学生掌握了概念性和过程性课题以后，由教师引导而领悟的学科本质，也是那些当学生忘记了课堂上所有学过的东西以后剩下来的东西.

案例3元水平活动

图4 元水平活动水平测试题

案例解析：二次函数的元水平活动的问题解决涉及解析几何的基本思想.解析几何有两个主要步骤：(1)几何元素和几何关系的代数表征.(2)几何问题的代数求解.

在水平一的教师为完成教学目标可能把教学目标简化为题型+对策，如，在交点问题里简单的总结规律为求两个函数的交点，可以把这两个函数方程联立求解.在动点问题里简单的总结规律为：设出动点，联立函数关系式或方程求解.在水平二的教师可能希望学生理解和熟悉解析几何思想.让学生注意到连接几何与代数的关键是坐标，所以会让学生先掌握定点动点直线曲线的坐标表示以及相应的几何关系的坐标表示，紧接着与代数对应，将几何的问题转化为代数问题求解.在水平三的教师更希望学生注意到学科基本原理即解析几何用坐标连接代数系统和几何系统.在解析几何问题中有了坐标对应，可同时从几何视角和代数视角得到两方面的解题信息和对应，用统一的代数方法解决灵活多变的几何问题.教师在学生心中播下学科基本原理的种子，学生的学习将在解析几何的帮助下事半功倍.

3 结语

二次函数的领域模型构建能够帮助初中生深刻认识函数及函数思想的内涵，为后续的学习奠定良好的基础.义务教育阶段数学教育的一个重要价值在于学生数学素养的养成.不仅要让学生知道一些数学概念，掌握一些数学方法，还要让学生感悟一些数学的基本思想，积累一些数学思维活动和实践活动的经验[15].二次函数的领域模型构建就是数学思想和函数思想的集中体现.二次函数的领域模型构建和评测案例分析为不同水平教师的二次函数教学提供了理论指导.不同水平教师在教学中面对一般化、变换和元水平活动的核心活动时，应考虑到教师本质性知识的正确、意义和联系三个水平，基于二次函数的领域模型进行教学设计和实施，最终在二次函数的学习中帮助学生提高数学抽象，数学运算，逻辑推理，数学建模等数学核心素养能力.