量子网络中部分未知量子运算的远程实施

彭 家 寅

(内江师范学院 数学与信息科学学院， 四川 内江 641100)

0 引言

量子力学提供了创建、传输、操纵和存储信息的全新方法.因此，近年来量子信息科学, 比如量子通信[1]和量子计算[2], 引起了人们极大的兴趣.量子通信对于未来的包括量子互联网[3-4]和量子无线网络[5-6]在内的量子网络是必要的，无论这种通信是在厘米或几千公里的距离上进行.

量子隐形传态[7]通常被用来实现量子通信.它采用了一种特殊形式的被称为贝尔对的二粒子最大纠缠态，其中两个物理上分离的量子系统(电子或光子)共享一种被爱因斯坦称之为“远处的幽灵行为”的非局域关联.虽然自1997年第一次实验实现以来[8]，远距离量子隐形传态已经在实验中实现[9-10]，但由于量子信道不可避免的损耗，点对点的通信距离受到限制.为了实现多用户广域量子通信，量子网络的建设成为人们关注的焦点[11-12].然而，在量子网络中，正是因为量子信道这种损耗，很难在两个远程用户之间直接分配纠缠粒子.作为量子中继器的基础，纠缠交换[13-14]可以有效克服上述问题，其目的是通过中间节点在两个遥远的节点之间建立纠缠[15-16].

正如量子态的隐形传态是发送者将未知量子态传送给遥远的接收者，而没有物理地发送粒子，量子运算的隐形传送可以理解为发送者将未知量子运算传送给遥远的接收者，而没有物理地发送设备.更有趣的是，在发送者系统上执行的未知量子运算被传送并同时作用在接受者所在的远程系统的未知量子态上[17].考虑到量子运算的这种传输和作用，人们把它命名为“量子运算的远程实施”. 由于纠缠是量子信息和量子计算中的宝贵资源，很难产生和维持，因此我们应该寻找解决纠缠的方法.幸运的是，文献[17-21]给出了正面的回应.Wang[18]给出量子运算的一般限制集，找到统一的恢复操作，提出并证明了多量子比特部分未知量子运算的远程实施协议.这里研究的部分未知量子运算的远程实现是非常有用和有趣的，因为它们比完全未知量子运算消耗更少的资源，并且这样的量子运算远程实施方案可以满足一些实际应用的要求.此处所说的“部分未知”量子运算可以认为是一些满足某些给定限制条件的限制集的量子运算.当然，受限量子运算集仍然是非常大的酉变换集，因为它们的未知元素取连续值.

EPR对是量子信道的最佳选择，因为它使用的资源量最小，且具有最大的纠缠特性[22-24].当涉及两个未知纠缠粒子的传输时，由两个EPR对组成的量子信道提供了比其他纠缠资源更好的解决方案.Bell测量在量子信息处理过程中进行，对于一个Bell测量，将得到四种类型的测量结果，剩下的粒子将自动坍缩成一个新的纠缠量子态[25-26].迄今为止，很少有探讨Bell测量结果与塌陷量子态之间的关系.

在本文中，我们提出了一个量子通讯方案，使部分未知单量子运算的远程实施在最初并不分享纠缠的两个用户之间进行.首先，通过中间节点的同时纠缠交换，建立起两个用户之间所需的Bell对信道，以便在两个用户间远程地执行部分未知量子运算，这里中间节点的Bell对并非是相同类型的.值得注意的是，与量子中继器中常用的序串纠缠交换不同，本文的同时纠缠交换是在所有中间节点上同时进行Bell测量，测量结果和Bell对类型被独立地发送给用户.而在序串纠缠交换中，Bell测量结果被发送到上游节点，因此每个中间节点在进行纠缠交换之前必须等待经典信息的传输.这些连续的操作给整个量子态通信的建立过程带来了很大的延迟，而且相邻节点必须具有经典通信信道.其次，因用户间新建的信道是四个Bell态中的任何一个，所以我们需要提出一个不同于包括Wang[18]在内的现有方案，即利用Bell态的一般形式|βij〉量子信道，研究在两个用户间的部分未知单量子运算的远程实施问题.实质上， 我们给出了部分未知单量子运算的远程执行的通用方案，给出了发送者和接收者各自的通用操作.

1 量子信道的建立

为了讨论方便，我们引入如下简单逻辑运算：

σ(i,j)=|0〉〈j|+(-1)i|1〉〈1⊕j|i,j∈{0,1}，

其中⊕为关于模2的加法.显然，当i=j=0时，σ(0,0)为恒等变换；当i+j≠0时，σ(i,j)为Pauli门.此外， Hadamard变换H也是一个重要的逻辑门，它被定义为

四个Bell态可以统一的表示成

当然，四个Bell态通过σ(i,j)变换是可以相互转化的

|βij〉=σ(i,j)⊗σ(0,0)|β00〉.

在量子无线网络中，有许多节点.由于量子纠缠是一种昂贵的资源，所以一个节点不可能和网络中的其他所有节点之间都分享有量子纠缠资源.事实上，两个用户之间通常没有直接的量子信道，要达到远程量子运算实施的目的，首先要在用户之间建立起量子纠缠信道.

首先，Alice、Charlie、Candy和Bob这四个节点的量子构成的联合系统为

(1)

其次，中间节点Charlie和Candy同时、分别对各自量子对(C,C1)和(C′,C′1)进行Bell态测量，他们每人都能以相同的概率获得四个测量结果|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的一个.在他们将这四个测量结果分别编码成2比特经典信息00、01、10和11后，同时通过经典信道将测量结果对应的2比特经典信息以及分享Bell对的类型发送给Alice和Bob，对应的坍塌态就是Alice和Bob之间的纠缠信道.

从(1)式可以看出，所有的16种测量结果可以分成四组，这四组对应于量子A和B的四个塌陷态就是建立在Alice和Bob间的四个不同的量子信道.例如在测量结果是由0000，1010，0101和1111构成的那一组中，量子A和B的塌陷态都为|β11〉AB.也就是说，该组里四个测量信息中的任意一个，都得到Alice和Bob间的同一量子信道|β11〉AB.

(2)

这样，我们就可在两个用户Alice和Bob间构建起了纠缠信道.明显地，对应给定的测量信息，仅有一个逻辑代数表达式等于1，从而Alice和Bob间的纠缠信道必定是四个Bell态之一.例如，若测量输出是0111，则C=0，C1=1、C′=1和C′1=1.将它们代入等式(2)，我们可得到Alice和Bob间的纠缠信道|Δ〉AB=|β01〉AB.

一个自然的问题是：两个用户(Alice和Bob)及其中间节点间分享的Bell态的不同顺序是否会影响最终建构的量子信息呢？为此，我们假设两个用户Alice和Bob的中间节点Charlie分别与Alice、Bob分享Bell态|β01〉AC、|β10〉C1B，即量子A属于Alice，量子B属于Bob， 而量子C和C1属于Charlie.用户Alice和Bob及中间节点Charlie的联合系统为

(|00〉+|11〉)CC1|β11〉AB].

(3)

另一方面，若Charlie分别与Alice、Bob分享Bell态|β10〉AC和|β01〉C1B，则联合系统可以表示为

(|00〉+|11〉)CC1|β11〉AB+(|01〉- |10〉)CC1|β00〉AB+(|01〉+|10〉)CC1|β10〉AB].

(4)

从上面可以看出，等式(3)和式(4)在忽略整体相位因子的情况下，测量结果和可能的Bell态之间具有相同的关系.因此，同样的测量输出时， Alice和Bob的最后纠缠态具有相同的形式.同样地，我们可以检验所有其他的Bell态组合，也可以得出这样的结论：交换Bell态位置不影响Alice和Bob的最后纠缠态.当两个用户之间有多个中间节点时，进行多次Bell态位置交换，利用这种“交换不变性质”，就可以得出结论：两个用户之间有多个中间节点，相邻节点拥有的Bell未必都是|β00〉，它可能是|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的一个，两个用户间的最终纠缠态信道与所有节点拥有的不同类型的Bell状态的数量有关，而与这些Bell态的顺序无关.

关系式(2)可以推广的n个节点(包括两个用户)的情形：N1，N2，…，Nn.为了表述方便，中间节点Ni拥有的量子分别记为Ni1和Ni2，其测量结果对应的经典编码表示为MNi1和MNi2，则两个用户间最终纠缠态|Δ〉N1Nn为

(5)

容易验证，对于结论n=3，即两个用户之间只有一个中间节点，结论(5)也成立.这样，我们总可以在两个用户间建立起Bell信道，该信道可能是|β00〉、|β01〉、|β10〉和|β11〉中的任何一个.

2 基于任意Bell态的部分未知量子运算的远程实施协议

量子运算的远程实施在量子通信和量子计算中有着广泛的应用，它不仅将作用在某个局域系统的一个未知量子态上的未知量子运算传送到遥远的一个系统中，而且此量子运算同时还作用在该远方系统的一个未知量子态上.在第2节中，两个用户间新建立的信道是四个Bell对中的任何一个，已有的部分单量子运算的远程执行方案[17-19]并不能完全适用于这种情形.因此，本节需要针对一般形态的Bell对信道，研究部分单量子运算的远程执行，也就是说，需要给出一个部分单量子运算的远程执行的通用方案.

现在，就来考虑单量子部分未知算子的执行问题：结合文献[18-19]的思想，我们给出单量子未知算子执行的量子线路图如下：

图1 部分未知量子运算的远程实施线路

在图1中，Ud(d=0,1)为被执行的量子运算，实数d可以视为表达对角或反对角矩阵的经典信息，H是Hadamard变换，σb=σ(i,j+(-1)jb)逻辑门，R(a,d)=σ(a,0)σ(0,d)是恢复算子，而a,b分别是对于测量|a〉〈a|和|b〉〈b|的经典信息，|χ〉B′为未知单量子态.

在上面部分未知量子运算的远程实施方案中， 发送者Alice和接收者Bob构成的初始联合系统为

|T〉ABB′=|βij〉AB⊗|χ〉B′，

(6)

其中|βij〉为被Alice和Bob事先分享的一个Bell态，即量子A属于Alice，量子B属于Bob，且Bob拥有未知量子态

|χ〉B′=x|0〉B′+y|1〉B′，

(7)

这里x,y是满足归一化条件|x|2+|y|2=1的复概率振幅.被执行的量子运算是如下定义的两个限制集[18]中的任何一个

(8)

容易看出，这两个限制集的结构是已知的，但非零元素的值是未知的，即u0,u1的位置是已知的，但其具体数值是未知的.显然，Alice和Bob的初始联合系统为

(9)

现在的任务是Alice要将Ud(d=0,1)传送给Bob，同时Ud(d=0,1)还要作用在Bob的未知量子态|χ〉B′上.具体过程如下：

第一步：Bob首先施行一个以B′为控制量子，以B为目标量子的一个受控非门运算，则整个系统(4)变成

y(|0,1⊕j,1〉+(-1)i|1,j,1〉)]ABB′.

然后，他用计算基{|0〉,|1〉}去测量他的量子B，即用测量基|b〉B〈b|(b=0,1)去测量量子B,并将测量结果对应的经典信息b(b=0,1)通过经典通信传送给Alice.也就是说，Bob需要对量子B和B′施行变换

第二步：收到测量信息后，Alice先对她的量子A实施σ(i,j+(-1)jb)变换，使得量子A和B′态变成x|00〉AB′+y|11〉AB′；Alice再对量子A施行Ud(d=0,1)运算，x|00〉AB′+y|11〉AB′变成xud|d,0〉AB′+yu1⊕d|1⊕d,1〉AB′；随后，Alice对量子A施行Hadamard变换，该变换将xud|d,0〉AB′+yu1⊕d|1⊕d,1〉AB′变成

(-1)d|1〉A(xud|0〉B′-yu1⊕d|1〉B′)].

(10)

最后，Alice计算基|a〉A〈a|(a=0,1)去测量量子A，并将操作的量子运算是对角或反对角的信息d以及测量结果对应的经典信息a告知Bob.从(10)知量子B′的塌陷态为

xud|0〉B′+(-1)ayu1⊕d|1〉B′(a,d∈{0,1}).

(11)

总之，Alice需对量子A施行变换

第三步：根据Alice的信息d和a，Bob需要对量子B′实施变换σ(a,0)σ(0,d)，就能获得

σ(a,0)σ(0,d)(xud|0〉B′+(-1)ayu1⊕d|1〉B′)=Ud(|χ〉B′).

(12)

(12)式表明来自两个限制集(8)的任意单量子部分未知算子Ud被成功地传送给Bob，同时也作用在Bob的未知量子态|χ〉B′上，即量子任务已完成，且成功的概率为1.

3 结论

本文研究了无线多跳网络中的量子通信，提出了一种在没有直接Bell对共享的网络中，两个节点之间部分未知量子运算的远程实现方案..为了在原本没有直接纠缠分享的两个用户之间建立起纠缠信道，我们采用同时测量和独立纠缠交换的方法详细讨论了三跳情况量子信息的建立，并将其推广到多跳情况.所有中间节点都独立于其他节点的任何测量结果而进行Bell测量，只需向Alice和Bob发送测量结果和Bell对类型.一旦所有信息被获得，两个用户就判断出他们间新建立的Bell态.无论所建立量子信道是四种Bell态中的哪一种态，Alice和Bob都可采用各自的一些统一变换去完成部分未知单量子运算的远程实施任务，且成功的概率为100%.本方案有几个优点：一是我们的方案不要求网络中间节点共享的Bell对是同一类型的，这一优点具有实际意义，因为在现实网络中，许多节点在Bell对类型上可能是不同的.二是与量子中继器中常用的序串纠缠交换方案比较，我们的方案可以减少通信延迟.三是本方案不需要所有相邻节点之间的通信信道，只需要从每个中间节点到目的节点的一条路径，这使得它在一些网络中的应用更加方便.四是本方案是可扩展的，也可以用于有线或混合量子网络.