亚BCI-代数的犹豫模糊理想

姜 曼

(西安交通工程学院 公共课部, 陕西 西安 710300)

0 引言

美国科学家Zadeh[1]在1965年提出了模糊集，由于自然界中很多事物的表述并不是绝对的，恰恰相反，我们遇到的大多数问题是模糊的，解决方法也并不是唯一的，也是模糊的.因此模糊集的提出对认识自然有很重要的意义.模糊集已经应用到很多方面，学者们主要研究的是模糊集以及由模糊集得到的拓展——直觉模糊集[2]、区间值模糊集[3]、双极值模糊集[4]、犹豫模糊集[5]等理论.然而仅研究模糊集及其拓展，对模糊集的认识并不深刻，因此我们把模糊集及其拓展和代数结构相结合，由于不同代数结构的性质不同，因此这种结合方法就很有意义.现阶段，对于亚BCI-代数[6]的研究也有很多结论，比如，彭家寅[7]把亚BCI-代数与模糊集相结合，给出了模糊理想的概念并讨论其性质；刘旭东[8]给出了亚BCI-代数的(∈,∈∨q_(λ,μ))-模糊理想的定义研究它的等价刻画.关于模糊集和代数结构的研究，更多结论可见文献[9-13].本文用犹豫模糊集来研究亚BCI-代数，研究亚BCI-代数上的犹豫模糊理想和犹豫模糊闭理想以及它们的基本性质，得到的结论丰富了犹豫模糊集和亚BCI-代数的理论.

1 预备知识

定义1[6]称一个(2,0)型代数(X,*,0)为亚BCI-代数，如果它满足下列条件：对∀x,y,z∈X,有

(1)x*0=x;

(2)x*x=0;

(3)(x*y)*z=(x*z)*y.

在亚BCI-代数X中，规定偏序关系≤：∀x,y∈X,x≤y⟺x*y=0.

在亚BCI-代数X中，下列结论成立：

(X1)(x*(x*y))*y=0;

(X2)0*(x*y)=(0*x)*(0*y).

亚BCI-代数的非空子集S称为X的子代数，如果∀x,y∈S⟹x*y∈S.

亚BCI-代数的非空子集I称为X的理想，如果I满足条件：

(I1)0∈I;

(I2)∀x,y∈X,如果x*y∈I和y∈I,则x∈I.

设I是亚BCI-代数的一个理想，对任意x∈X,若x∈I⟹0*x∈I,称I是X的一个闭理想.

定义2[5]设A∈F(R)是一个非空经典集合，一个R上的犹豫模糊集A的定义如下：

A:{(x,hA(x))|x∈X}，

其中hA(x)是由区间[0,1]上若干个不同值构成的集合，表示R中的元素x属于集合A的若干种可能隶属度.记R上的全体犹豫模糊集为HF[R].

设A为R中的犹豫模糊集，P([0,1])为区间[0,1]的幂集.称集合

R(A,γ):={x∈R|γ⊆hA(x)}

为A的犹豫水平集，其中γ∈P([0,1]).

定义3[5]对于F∈HF[X],犹豫模糊元hF(x)的下界和上界分别定义如下：

犹豫模糊集的三个基本运算补、并和交分别定义如下：

(1)补：对于F∈HF[X],它的补元Fc定义为：

补运算满足对合律，即(Fc)c=F.

(2)并：F,G∈HF(X),F和G的并F∪G定义为：∀x∈X,

(3)交：F和G的交F∩G定义为：

2 犹豫模糊理想

为了叙述方便，本文均用X表示亚BCI-代数.

定义4设(X,*,0)是一个亚BCI-代数，μ∈HF[X],若∀x,y∈X,满足下列条件：

(1)hμ(0)⊇hμ(x),

(2)hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y).

则称μ为X的犹豫模糊理想.

记X上的全体犹豫模糊理想为HFI[X].

例1设X={0，1，2}是一个亚BCI-代数，其Cayley运算如表1所示.

表1 Cayley运算

定义X的犹豫模糊集μ,hμ(x)(0)=(0.3,0.8],hμ(x)(1)=hμ(x)(1)={0.5,0.7}.

则可验证μ∈HFI[X].

定义5设(X,*,0)是一个亚BCI-代数，μ∈HF[X],若∀x,y∈X,hμ(x*y)⊇hμ(x)∩hμ(y),则称μ为X的犹豫模糊子代数.

记X上的全体犹豫模糊子代数为HFS[X].

定理1设(X,*,0)是一个亚BCI-代数，若μ∈HFI[X],则当x≤y,有hμ(x)⊇hμ(y).

证明∀x,y∈X,当x≤y,则x*y=0.即

hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)=hμ(0)∩hμ(y)=hμ(y).

证毕.

定理2设μ∈HF[X],对∀x∈X,有hμ(0)⊇hμ(x),则μ∈HFI[X]当且仅当∀x,y,z∈X,x*y≤z⟹hμ(x)⊇hμ(y)∩hμ(z).

证明必要性 因为μ∈HFI[X],那么∀x,y,z∈X,有

hμ(x*y)⊇hμ(z),hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)⊇hμ(y)∩hμ(z).

充分性 设z=x*y,则有hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y),所以μ∈HFI[X].

推论1设μ∈HF[X],则μ∈HFI[X]当且仅当

∀x,y,z∈X,x*y≤z⟹hμ(x)⊇hμ(y)∩hμ(z).

证明同定理2.

定理3设μ∈HF[X],对∀x,y,z∈X,如果μ∈HFI[X],那么有

(z*x)*y=0⟹hμ(z)⊇hμ(x)∩hμ(y).

证明因为μ∈HFI[X],所以

hμ(z)⊇hμ(z*x)∩hμ(x)⊇ [hμ((z*x)*y)∩hμ(y)]∩hμ(x)= [hμ(0)∩hμ(y)]∩hμ(x)=hμ(y)∩hμ(x).

定理4设μ∈HF[X],如果μ∈HFI[X],则对∀x,y,z∈X,下面条件等价：

(1)hμ(0*x)⊇hμ(0*(0*x));

(2)hμ(0*x)⊇hμ(x);

(3)hμ(0*(x*y))⊇hμ(0*(y*x)).

证明(1)⟹(2):由于0*(0*x)≤x,所以hμ(0*(0*x))⊇hμ(x).

即hμ(0*x)⊇hμ(0*(0*x))⊇hμ(x).

(2)⟹(1):在(2)中令x=0*y,即可证(1)成立.

(1)⟹(3):根据(1)，hμ(0*(y*z))⊇hμ(0*(0*(y*z)))=hμ((0*z)*(0*y))=hμ(0*(z*y)).

(3)⟹(1):在(3)中，令y=0,即可证(1)成立.

定理5设μ∈HF[X],μ∈HFI[X]当且仅当∀γ∈P([0,1]),若R(A,γ)≠∅,则

R(A,γ)是X的理想.

证明必要性 因为μ∈HF[X],R(A,γ)≠∅,则∀γ∈P([0,1]),设x∈R(A,γ),则hμ(x)⊇γ,因此有hμ(0)⊇hμ(x)⊇γ,即0∈R(A,γ).设x*y∈R(A,γ),y∈R(A,γ),则hμ(x*y)⊇γ,hμ(y)⊇γ.即有hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)⊇γ,因此x∈R(A,γ).

即R(A,γ)是X的理想.

必要性∀γ∈P([0,1]),已知若R(A,γ)≠∅,∀x∈X,令hμ(x)=γ,所以x∈R(A,γ).由于R(A,γ)是X的一个理想，因此0∈R(A,γ),即hμ(0)⊇γ=hμ(x).所以∀x∈X,hμ(0)⊇hμ(x).

如果μ∉HFI[X],则∃x0,y0∈X,使得hμ(x0)⊂hμ(x0*y0)∩hμ(y0).

令γ0=hμ(x0)∩hμ(x0*y0),使得hμ(x0)<γ0

则x0*y0,y0∈R(A,γ0).

因为R(A,γ0)是X的理想，所以x0∈R(A,γ0),hμ(x0)≥γ0,这与hμ(x0)<γ0矛盾.所以有hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)成立.因此，μ∈HFI[X].

定理6设μ、A∈HFI[X],则μ∩A∈HFI[X].

证明∀x,y∈X,有

hμ∩A(0)=hμ(0)∩hA(0)⊇hμ(x)∩hA(x)=hμ∩A(x),hμ∩A(x)=hμ(x)∩hA(x)⊇ [hμ(x*y)∩hμ(y)]∩[hA(x*y)∩hA(y)]= [hμ(x*y)∩hA(x*y)]∩[hμ(y)∩hA(y)]=hμ∩A(x*y)∩hμ∩A(y).

因此，μ∩A∈HFI[X].

定义6设A∈HFI[X]和B∈HFI[Y],∀(x,y)∈X×Y,定义映射

A×B：X×Y→P([0,1])，hA×B(x,y)=hA(x)∩hB(y).

则称A×B是X×Y的I-V犹豫模糊子集，并称A×B为A和B的直积.

定理7如果A∈HFI[X]和B∈HFI[X],则直积A×B∈HFI[X×X].

证明设A∈HFI[X]和B∈HFI[X],∀(x,y)∈X×X,

hA×B((0,0))=hA(0)∩hB(0)⊇hA(x)∩hB(y)=hA×B((x,y)),

对于∀(x1,y1),(x2,y2)∈X×X,

hA×B((x1,y1))=hA(x1)∩hB(y1)⊇

(hA(x1*x2)∩hA(x2))∩(hB(y1*y2)∩hB(y2))=(hA(x1*x2)∩hB(y1*y2))∩

(hA(x2)∩hB(y2))=hA×B(x1*x2,y1*y2)∩hA×B(x2,y2)=hA×B((x1,y1)*(x2,y2))∩hA×B(x2,y2).

所以A×B∈HFI[X×X].

3 犹豫模糊闭理想

定义7设(X,*,0)是一个亚BCI-代数，μ∈HFI[X],若∀x∈X,hμ(0*x)⊇hμ(x).

则称μ为X的犹豫模糊闭理想.记X上的全体犹豫模糊理想为HFCI[X].

定理8设μ∈HF[X],μ∈HFCI[X]当且仅当

(I)∀x,y,z∈X,(z*x)*y=0⟹hμ(z)⊇hμ(x)∩hμ(y),

(II)∀x∈X,hμ(0*x)⊇hμ(x).

证明必要性 根据定理3以及定义7可证.

充分性∀x,y∈X,0*x=z.由(X1)可得，(x*(x*y))*y=0,因此由(I)可得hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y).再根据(I)、(II)和(0*x)*z=0,有

hμ(0)⊇hμ(x)∩hμ(z)=hμ(x)∩hμ(0*x)⊇hμ(x)∩hμ(x)=hμ(x).

因此，μ∈HFI[X].由(II)可得μ∈HFCI[X].

定理9设μ∈HF[X],μ∈HFCI[X]当且仅当∀γ∈P([0,1]),若R(A,γ)≠∅,则R(A,γ)是X的闭理想.

证明必要性 因为μ∈HF[X],R(A,γ)≠∅,则∀γ∈P([0,1]),设x*y∈R(A,γ),

y∈R(A,γ).因为μ∈HFCI[X],则hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y)⊇γ,所以x∈R(A,γ).

显然0∈R(A,γ),即R(A,γ)是X的理想.∀x∈R(A,γ),hμ(0*x)⊇hμ(x)⊇γ.由于μ是闭的，因此0*x∈R(A,γ).根据定义1，有R(A,γ)是X的闭理想.

充分性 设μ∉HFCI[X],那么∃x,y∈X,使得hμ(x)⊂hμ(x*y)∩hμ(y);或者∃x∈X使hμ(x)⊃hμ(0*x)或者hμ(x)⊃hμ(0).若hμ(x)⊂hμ(x*y)∩hμ(y),则令γ=hμ(x)∩hμ(x*y),若hμ(x)⊃hμ(0*x)或者hμ(x)⊃hμ(0),令γ=hμ(x),则易证R(A,γ)不是X的闭理想，因此矛盾.即有R(A,γ)是X的闭理想.

定理10设μ∈HFI[X],则μ∈HFCI[X]当且仅当μ∈HFS[X].

证明必要性已知μ∈HFCI[X],则

∀x,y∈X,hμ((x*y)*x)=hμ((x*x)*y)=hμ(0*y)⊇hμ(y).

由于μ∈HFI[X],因此

hμ(x*y)⊇hμ((x*y)*x)∩hμ(x).即hμ(x*y)⊇hμ(x)∩hμ(y).即证μ∈HFS[X].

充分性 若μ∈HFS[X],则∀x∈X,hμ(0*x)⊇hμ(0)∩hμ(x).由于μ∈HFI[X],所以hμ(0*x)⊇hμ(x),因此，μ∈HFCI[X].

定理11设K是X的一个子代数，若μ∈HFCI[X],则K∩μ∈HFCI[K].

证明∀x,y∈K.则有hK∩μ(x*y)⊇hμ(x*y)∩hK(x*y)⊇hμ(x)∩hμ(y)=hK∩μ(x)∩hK∩μ(y).所以K∩μ∈HFS[K].

所以hK∩μ(0)=hK∩μ(x*x)⊇hK∩μ(x).

因为μ∈HFCI[X],则∀x,y∈K,hK∩μ(x)⊇hμ(x)⊇hμ(x*y)∩hμ(y),因此

hK∩μ(x*y)∩hK∩μ(y)=hμ(x*y)∩hμ(y)⊆hK∩μ(x).

因此，根据定义4可得，K∩μ∈HFI[K].

所以，由定理10可得，K∩μ∈HFCI[K].

定理12设f:X→Y是亚BCI-代数的同态映射.

(1)若η∈HFI[Y],则f-1(η)∈HFI[X];

(2)若η∈HFS[Y],则f-1(η)∈HFS[X].

证明(1)∀x,y∈X,由于η∈HFI[Y],因此有

hf-1(η)(0)=hη(f(0))=hη(0)⊇hη(f(x))⊇hf-1(η)(x),hf-1(η)(x)=hη(f(x))⊇hη(f(y))∩hη(f(x)∩f(y))=hη(f(y))∩hη(f(x*y))=hf-1(η)(y)∩hf-1(η)(x*y).

因此，f-1(η)∈HFI[X].

(2)∀x,y∈X,因为η∈HFS[Y],因此有

hf-1(η)(x*y)=hη(f(x*y))=hη(f(x)*f(y))⊇hη(f(x))∩hη(f(y))=hf-1(η)(x)∩hf-1(η)(y),因此f-1(η)∈HFS[X].

定理13如果A∈HFCI[X]和B∈HFCI[X],则直积A×B∈HFCI[X×X].

证明∀(x,y)∈X×X,hA×B((0,0)*(x,y))=hA×B((0*x,0*y))=hA(0*x)∩hB(0*y)⊇hA(x)∩hB(y)=hA×B(x,y).

所以A×B∈HFCI[X×X].