网络化Markov跳变系统的事件触发异步控制

陈惠英，刘仁伟

(湖州师范学院 工学院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

在实际工程中,系统在运行过程中受内部参数或外部环境等影响,导致系统参数或结构发生突变.而Markov跳变系统对这类系统的建模具有很大优势,因此受到各界青睐.该系统在网络控制、航空航天、化学工程、汽车工业等行业应用广泛.Markov跳变系统的出现可以追溯到20世纪60年代,Krasovskii和Lidskii[1]提出了在连续时间下的Markov跳变系统模型,并结合Lyapunov函数方法和动态规划原理研究被控对象随机变化系统的控制过程选择问题.而后众多学者对Markov跳变系统的控制、滤波和估计等进行了大量研究[2-5].

近年在控制领域中，基于Markov跳变系统的鲁棒控制受到学者的广泛关注,并获得了许多研究成果.文献[6]研究了具有加性攻击的Markov跳变系统自适应抗攻击控制问题.文献[7]设计了一种镇定离散Markov线性系统的状态反馈控制器,并探讨了Markov跳变系统在二次型控制中耦合Riccati方程的递推求解办法.文献[8]研究了离散Markov跳变系统的线性二次型最优控制问题,将控制动作限制在适当的子空间，以保证闭环系统的正则性.文献[9]讨论了一类具有Markov参数切换和非随机不确定性中立型随机系统的H∞滑模控制问题,构造了具有模态转换的H∞非脆弱观测器和基于状态估计的滑模控制策略.文献[10]研究了具有时延和丢包的网络控制系统问题,并利用李亚普诺夫方法给出了使闭环系统指数稳定的保性能状态反馈控制器存在的充分条件和设计方法.文献[11]研究了Markov跳变线性系统的静态输出反馈最优控制问题,提出一种计算控制器增益的迭代算法,证明了在Markov跳变系统与模态无关的静态输出反馈控制时的收敛性.

上述文献大多考虑系统与控制器是模态无关或同步的.但在实际的网络化系统运行过程中,节点分散、通信网络等因素导致了不同节点间的数据传输不完整,使得异步现象不可避免.因此,近年来越来越多的学者开始关注异步技术研究.文献[12]研究了具有丢包的模糊Markov跳变系统的无源异步控制问题,并由两个Markov链表示其异步关系.文献[13]研究了跳变衰减信道的Markov跳变神经网络异步状态估计问题,其异步关系由离散Markov链表示.文献[14]研究了具有绝对未知非线性扰动和执行器故障的Markov跳变系统异步自适应容错控制问题,利用隐Markov模型描述控制器与原系统模态之间的异步关系.文献[15]研究了离散Markov跳变神经网络的异步H∞滤波问题,用两个不同的Markov链分别控制滤波器和神经网络的模态.文献[16]研究了具有外部噪声的T-S模糊隐Markov跳变系统的异步滑模控制问题,采用隐Markov模型检测模态信息.

以往的数据传输大多基于周期方式触发,但在此过程中可能会因传输过于频繁和网络限制引起数据丢失、延时等问题,因此学者们提出一种基于事件触发的传输模式.文献[17]研究了在事件触发前提下Markov跳变系统的H∞输出反馈控制问题.文献[18]提出了一种基于事件触发的通讯方案,其数据能否传输由预设条件判定,在利用较少通讯带宽的情况下保证系统的稳定性.文献[19]考虑离散Markov跳跃系统的事件触发动态输出反馈控制问题,为减少数据流量采用事件触发方案.文献[20]研究了具有区间变化的Markov跳变系统的事件触发非脆弱H∞滤波问题,用两个独立且满足伯努利分布的随机变量描述传感器到事件触发器、事件触发器到滤波器的不完全传输.

本文主要研究在事件触发机制下网络化Markov跳变系统的H∞异步控制器设计问题，通过引入事件触发机制来降低控制信号的传输频率,从而减少通讯消耗.应用Lyapunov函数方法和线性矩阵不等式技术设计一个基于事件触发的异步状态反馈控制器，以保障闭环系统的随机稳定性和期望的H∞控制性能,并利用矩阵变换、松弛矩阵等技术进一步得到控制器增益参数，最后通过数值例子仿真验证结论的有效性.

1 问题描述

本文主要研究在事件触发机制下网络化Markov跳变系统的H∞异步控制器设计,其结构如图1所示.

图1 事件触发异步控制结构框图Fig.1 Diagram of event-triggered asynchronous control

以Markov跳变系统为研究对象：

(1)

其中,xk∈Rn为系统状态,yk∈Rp为系统被控输出,uk∈Rm为控制输入,wk∈Rr为扰动输入,wk∈l2[0,∞).式(1)中的系统矩阵(A∂k、B1∂k、B2∂k、C∂k、D1∂k、D2∂k)为具有适当维数的已知实矩阵.系统(1)的马尔科夫跳变过程受模态参数∂k的控制,∂k∈S(S={1,2,…,s})对应的转移概率矩阵为=[ζab],其中，ζab定义为：

Pr{∂k+1=b|∂k=a}=ζab.

(2)

本文设计的异步控制器为：

vk=Kσkxk,

(3)

其中,Kσk为所求的控制器增益,σk为控制器的模态.由隐Markov模型可知,控制器模态还受系统(1)的影响,这种影响由条件概率转移矩阵=[λaf]体现.条件概率λaf表示当系统(1)在第a个模态工作时，控制器在第f个模态工作的概率，可描述为：

Pr{σk=f|∂k=a}=λaf.

(4)

说明1控制器和系统(1)的异步状态由隐Markov模型描述,控制器模态受条件概率转移矩阵影响,其条件概率能够反映控制器与系统之间的异步程度.此外,在隐Markov模型方案下的异步控制器更具一般性,其同时涵盖同步(即=I)和模态无关(即σk∈{1})的情况[16].

考虑到网络的通信限制,本文引入事件触发器来减少控制信号的传输频率(图1).触发器将通过检查当前控制信号与上次传输信号之间的相对误差是否小于规定阈值来确定当前测量信号是否被传输.事件触发器的设计为：

(5)

令Fk=diag{Δ1k,Δ2k,…,Δmk},Δik∈[-ћi,ћi],i=1,2,…,m.根据式(5)可得：

uk=(I+Fk)vk.

(6)

引入事件触发机制后,控制信号不需要每次都被传输,因此降低了数据传输率.

为表达方便,下面定义∂k=a,∂k+1=b,σk=f.结合式(1)、式(3)和式(6)可以得到如下闭环动态系统：

(7)

为推动本文工作,引入一些重要的引理和定义.

定义1[21]对于闭环系统(7),当wk≡0时,在任意初始条件(x0,∂0)下满足条件：

(8)

则系统随机稳定.

定义2[21]对于闭环系统(7),当wk∈l2[0,∞)时,在零初始条件下满足条件：

(9)

则系统被称为具有H∞噪声衰减性能γ,其中γ>0.

引理1[22]存在矩阵X、Y和Z,且XT=X,使得不等式

X+ZY+ZTYT<0

成立的一个充分条件是存在正定矩阵W,使得下式成立：

X+ZW-1ZT+YTWY<0.

引理2[23](Schur补引理)给定矩阵A,G=GT和P=PT>0,使得下式成立：

ATPA+G<0,

当且仅当

2 主要结果

建立一个充分条件，以保证闭环系统(7)随机稳定且具有H∞噪声衰减性能γ,并进一步确定其控制器增益参数.

定理1闭环系统(7)随机稳定且具有H∞噪声衰减性能γ,如果存在矩阵Kf∈Rm×n和正定矩阵Pa∈Rn×n,Maf∈Rn×n，以及正定对角矩阵Uaf∈Rm×m,则对∀a,f∈S,满足：

(10)

(11)

其中,

证明引入Lyapunov函数：

(12)

记ΔVk是Vk的前向差分.当wk≡0时,

(13)

另外，利用引理1和引理2，对式(11)进行矩阵变换，容易得到：

(14)

(15)

结合式(13)和式(14)得：

(16)

由于

(17)

所以由式(10)可知ϑ<0.因此，

(18)

满足定义1.由此证明了系统(7)的随机稳定性.

证明系统(7)的H∞噪声衰减性能：

(19)

(20)

(21)

其中,

且控制器的增益Kf可由下式确定：

(22)

证明作如下变量替换：

(23)

其中，Tf是一个松弛矩阵,由式(21)可知Tf可逆.在式(20)两边分别乘diag{Pa,I,…,I},可得：

(24)

此外，如下不等式成立：

(25)

即

(26)

因此,由式(21)可得：

(27)

其中,

(28)

其中,

对式(28)用Schur补引理可得式(11).至此完成证明.

(29)

3 仿真示例

本文通过具有以下参数的4模态系统来验证设计方法的有效性：

D11=D12=D13=D14=0,

D21=D22=D23=D24=0.1.

事件触发的误差阈值为ћ=0.3.

求解定理2中的线性矩阵不等式,得到闭环系统的H∞性能指标为γ*=0.532 4,以及控制器增益：

图2 系统状态、输出和控制输入Fig.2 System status,output,and control input

图3 事件触发器传输间隔Fig.3 Transmission interval of the event-triggered

引入数据传输率性能指标表征通讯性能.记TP=tS/tN×100%,其中tS和tN分别表示有事件触发器和无事件触发器vk的传输次数.通过改变阈值ћ来判断事件触发器的性能.基于定理2,得到的仿真结果如表1所示.容易发现,随着ћ的增加,H∞性能γ*有所降低,TP性能大大提高.基于此，选择一个合适的阈值,在保证系统H∞控制性能的基础上有效降低数据传输率.

表1 H∞性能指标γ*和数据传输率Tab.1 H∞ performance index γ* and data transfer rate

4 结 论

本文研究了基于事件触发的网络化Markov跳变系统异步状态反馈控制方法,通过引入事件触发器来降低通讯消耗.本文基于李雅普诺夫稳定性和H∞理论,结合矩阵放缩、松弛矩阵等矩阵不等式处理方法,得到了一个可求解的控制器设计方法.讨论了H∞性能、TP性能与事件触发器阈值之间的关系,并通过数值例子进行说明，验证了结论的有效性.对存在的部分参数和部分概率未知,以及延时、数据丢失和量化等网络约束情况,值得我们进一步研究.