基于动态控制的供应链SaaS最优定价与协同

程兆麟，曾孟佳

(1.湖州师范学院 经济管理学院，浙江 湖州 313000;2.湖州学院 理工学院，浙江 湖州 313000)

0 引 言

供应链管理的研究和实践表明，信息技术与信息系统具有的高速运算、协同整合等功能越来越多地被企业重视，并将其作为供应链管理的重要工具.大量的中小企业尽管已经意识到信息技术在组织和跨组织运作中的重要性，但信息系统的构建和维护所需要的巨大资金和人力物力投入却成了其信息技术应用的主要障碍.针对这一问题，许多中小企业开始寻求低成本的标准化软件服务.随着Web2.0和云计算技术的成熟与普及，SaaS(Software as a Service，软件即服务)的出现为中小企业信息化提供了一种可行的路径.在SaaS模式下，用户无须花费大量的资金和人力来购买、安装、维护软件，只要通过互联网登录软件服务器并支付相应的软件使用费就可使用软件.目前，按需定价是SaaS中最常见的定价方式，并具有很好的适用性[1].需求量在SaaS使用中的表现类型主要包括交易量(包括技术和内容)、存储量、使用时间等[2].对不同定价策略的有效性受到多种因素影响[3].

随着SaaS的快速发展，许多供应链的核心企业也通过使用SaaS来为其成员提供一揽子的信息化服务.一般情形下，SaaS服务提供商只提供软件服务，二者之间只在软件服务上存在简单的“租赁”关系[4].在供应链情境下，核心企业与其供应商既在传统业务中存在利益的直接联系和冲突，也在SaaS服务提供上存在利益冲突.

在供应链情境下，当供应链成员存在利益冲突时，核心企业应该如何对供应链SaaS进行收费,合理的收费政策对供应链又产生怎样的价值.针对这些问题，本文通过建立一个微分博弈模型，探讨在动态控制下供应链SaaS的最优收费和影响因素，分析形成最优收费机制的契约安排，并通过一个算例对模型进行直观剖析.

1 基本模型

考虑由一个供应商和一个销售商组成的供应链，销售商为核心企业，为供应商提供SaaS并收取一定费用.博弈的开始状态和持续时间分别为x0和T-t0，状态空间为X∈Rm，其中可允许的状态轨迹为{x(s),t0≤s≤T}，x(s)表示在时间点s的市场需求量，ui(s)表示参与人i的策略或控制.本文考虑每期对供应链信息系统的使用投资，对销售商而言ui(s)表示其净投资、维护费用，对供应商而言则表示其使用SaaS每期所缴纳的费用，Ui表示i的可行策略集合.假设Ui∈R+，则博弈状态的进展变化取决于以下向量值微分方程：

在每个时间点供应链的整体收益为：

(1)

其中，Q为订货量，P为市场价格，TRC为交易成本，AC为平均生产成本(含库存成本).不考虑缺货影响.

在供应链协同中，信息技术的投入会形成专用性资产.当供应链成员间信任水平较高时，往往会形成更多的订货量和更低的交易价格[5].供应链成员间的信息网络建设能够减少企业间合作的不确定性，并大幅度降低交易成本.由此，本研究提出以下假设：

假设1：订货量是信息系统投入和市场需求的增函数.

假设2：市场价格是信息系统投入的减函数和市场需求的增函数.

假设3：交易成本是信息系统投入的减函数.

根据以上假设，为研究问题简单化，在不失一般性的情况下，不妨令r(s)=r，r为常数.

(2)

式(2)表示订货量是系统投资水平和市场需求量的函数，其中β表示订货量的信息技术投资弹性.

(3)

式(3)表示市场价格是系统投资和市场需求水平的函数，其中α表示价格的信息技术投资弹性.

市场单位价格随着订货数量的增加而降低.订货量是SaaS使用成本的增函数，由此可以推断市场价格是SaaS使用费用的减函数.

其中，TRC表示交易成本.

2 供应链信息系统的反馈纳什均衡

2.1 信息结构

信息系统的存在使得供应链的信息具有很强的及时性和可追溯性.假设参与人的信息结构为闭环完美状态(closed-loop perfect state，CLPS)，即每个参与人的策略都依赖于开始到当前所有时间的状态：ηi(s)={x(t),t0≤t≤s}.在这种信息结构下，供应链成员可以利用信息系统随时根据当前的信息状态作出决定，且不存在开环信息结构下的时间不一致问题.

2.2 合作安排

2.3 整体理性

供应链参与人的目标是使整个供应链的收益最大，即参与人合作方案最大化的整体合作支付.由此可得到：

定义1对CLPS信息结构，n序列值(n-tuple)策略集合：

为博弈Γc(x0,T-t0)的一个反馈纳什均衡解法，称为供应链的合作控制.

根据整体理性要求，每个参与人的最优控制需要满足：

(4)

式(4)中，ηs={x(τ),τ≤s}，表示信息结构为CLPS.

为在合作博弈Γc(x0,T-t0)中达到整体理性要求，最优控制问题可以转化为最大化泛函：

假设需求变化取决于当期的市场价格，则以上合作收益受制于动态系统：

由上述的一般性假设可以得到：

利用贝尔曼动态规划可以得到以下定理.

定理1当存在连续可微协状态函数W(t0)(t,x):[t0,T]×Rm→R时，供应链整体汉密尔顿函数为：

(5)

以上控制问题满足以下贝尔曼方程：

推论1如果市场需求受外界不确定性因素影响而发生突然变化，可考虑如下动态系统：

dx(s)=f[s,x(s),u1(s),u2(s)]ds+σ[s,x(s)]dz(s)x(t0)=x0,

该动态系统是随描述供应链面临的市场需求变动的，其中σ[s,x(s)]表示一个m×l的矩阵，t→∞、σ[s,x(s)]→0、z(s)表示一个l维的维纳过程(Wiener process)，而开始状态x0是给定的.该维纳过程所描述的是因外部原因导致的市场需求量突变.

求解以上随机市场需求控制问题可以构造贝尔曼-伊萨克斯-弗莱明方程(Bellman-Isaacs-Fleming equation)：

根据供应链的合作控制可以得到随机动态系统：

(6)

而满足式(6)微分方程的解即为供应链动态微分博弈的最优控制结果.

定理2供应链的博弈参与人在整个合作博弈过程中使用合作控制,能使整个供应链的合作过程保持最优状态，即能满足时间一致性要求.

证明

(7)

2.4 个体理性与分配契约

供应链成员之间可以利用契约的治理方式来实现收益在供应链上的分配，从而形成帕累托改进，即在信息系统下的整体收益将大于没有信息系统下的个体收益之和.本研究给出以下假设：

假设4：在供应链信息系统下的支付具有可转移性和超可加性特点.

2.4.1 个体理性

假设当开始时间为t0且开始状态为x0时，每个参与人都同意某一特定的最优共识原则，而基于这个最优共识原则的分配向量为：

ξ(x0,T-t0)=[ξ1(x0,T-t0),ξ2(x0,T-t0)],

即每个参与人都同意在时区[t0,T]中参与人i∈{1,2}应该得到的分配收益为ξi(x0,T-t0).

在开始时间为τ∈[t0,T]的原博弈的子博弈中，为满足子博弈的时间一致性要求，本研究进行如下定义：

显然，条件1满足整体理性，条件2满足个体理性.

如果还能满足以下条件3，则称为一致性有效分配：

基于供应链信息系统下的支付特点，本研究可以利用sharply值作为参与人的分配依据.由于供应链支付的可转移性和超可加性，因此sharply值能确保供应链成员整体理性与个体理性的统一[7].

2.4.2 动态sharply值分配契约

sharply值是1953年由Sharply提出的.sharply值最初只能应用于支付可转移情况，其后扩展到支付不可转移情况.本文根据供应链支付可转移特点，利用sharply值作为参与人分配依据.

根据上面所述本文给出如下假设.

假设5：供应链的双方都通过sharply值来进行收益分配和最优控制决策.

定义3若在整个博弈期间的每一个时间点τ∈[t0,T]，sharply值随着最优轨迹变动，这种sharply值称为动态sharply值.

由于供应链的每个参与人都同意按照sharply值来分配供应链的合作支付，因此在时间为t0、状态为x0时，参与人i分得的利润为：

(9)

式(9)表示供应链的每个参与人i应该分得在所有可能组成的联盟中边际贡献的加权平均数，且为保持时间一致性要求，在整个合作期间[t0,T]sharply值都必须得到维持.因此，沿着博弈最优轨迹的每一时间点τ∈[t0,T]，动态sharply值必须得到维持，即：

(10)

根据假设5，通过一致性有效分配和动态sharply值定义可以设计动态sharply值分配契约.

在博弈Γ(τ,T-τ)，τ∈[t0,T]中，参与人i∈{1,2}所得的分配为：

在原博弈沿着最优轨迹的每个子博弈中，供应链参与人i∈{1,2}的支付都等于其动态sharply值，即无信息系统的收入加上因信息系统存在而得到的额外收益的一半.

推论2动态sharply值分配契约满足一致性分配条件.

由于上述微分方程难以获得解析解，因此下面通过一个算例具体分析参数对均衡解的影响.

3 算例与分析

令各项参数分别为r=0.1、α=2、β=2、a0=10、a1=1、a2=2、b=1、b0=10、b1=1，c0=5、c1=2、c2=1.不考虑市场的突然变化.

解由假设条件知，供应链闭环系统的最优化问题可以写成：

受制于动态系统：

根据贝尔曼方程可得到汉密尔顿函数：

H=((-2u(t)2+2x(t)2+5)(u(t)2+2x(t)+1)-10)e0.1t+W(5+2u(t)2-x(t)2).

利用Pontryagin最大值原理求解纳什反馈均衡，其步骤如下：

(Ⅰ)求解W的隐式解.协状态函数W满足以下正则方程：

求解上述微分方程可得：

由截断性条件可得：

C1=0.

(Ⅱ)求解供应链整体最优合作控制u.将W值代入汉密尔顿方程，并求解使H取最大值的u：

由上式可见，SaaS最优收费是最终消费者市场需求量的函数，这意味着市场需求是合理的SaaS定价需要考虑的重要因素.传统的SaaS定价只需考虑使用者对信息技术功能的需求，无须考虑市场需求.而在供应链情境下，作为SaaS提供者的核心企业不仅要考虑供应商对IT的需求，而且要考虑市场需求的影响.市场需求越大，越需要频繁地使用信息系统来调节整个供应链，使其达到稳定状态，从而导致成本(价格)越高.

(Ⅲ)求解W的显示解.将u代入W可得W的显示解：

从而得到W图形,见图1.

分别对图1中的x轴和t轴做投影，可以得到图2、图3.由图2、图3可以分析在信息系统下供应链整体收益的一些性质.

图1 供应链实时收益图Fig.1 Real time revenue graph of supply chain

图2 供应链实时收益对市场需求投影图Fig.2 Projection of supply chain real time revenue to market demand

图3 供应链实时收益与时间投影图Fig.3 Projection of supply chain real time revenue to time

性质1供应链整体收益在市场需求较低阶段会随着市场需求的变化呈现下降趋势，而随着市场需求水平的上升，供应链整体收益上升.

说明：由于市场需求水平较低，前期投入供应链信息系统的投资相对较大，因此收益不断下降.这是供应链实时收益随市场需求量的上升而下降的主要原因.而随着市场需求水平的上升，并伴随供应链信息系统的有效控制，整体收益逐渐上升.

性质2在同样的需求水平下，随着时间的演进，利润水平呈现下降趋势.

说明：一方面受制于模型整体市场需求固定的假设，即在市场需求量一定的情况下，随着供应链向市场不断地供应产品，市场需求逐渐呈现饱和状态，从而导致供应链整体收益水平下降；另一方面也体现了边际收益递减规律的作用结果.

(Ⅳ)求解控制过程.将u的显示解代入f，可得到以下微分方程：

图4 市场需求变动趋势图Fig.4 Trend of market demand changing

性质3在供应链信息系统的最优控制下，整个闭环系统趋于稳定.

说明：很显然，从上式可以看出，当t→∞时，x(t)→198.由此可见，供应链SaaS的最优合作控制能保证整个闭环系统的稳定.这也是信息系统的重要作用之一.

(Ⅴ)个体理性分析.根据动态sharply值契约要求，我们要求每个参与人均能按照动态sharply值承担投资成本，并分享相应收益.由于供应链整体收益的超可加性和可转移性，所以按照这个标准的分配契约能够满足个体理性与整体理性的统一.

在不考虑参与人差异性的情况下，可以得到每个参与人最优控制为：

4 结 论

本文建立了一个供应商与一个销售商构成的两级供应链决策模型，通过设计动态微分博弈来求解供应链SaaS的最优控制问题，并提供一种能满足一致有效分配的动态sharply值契约.通过模型推导和算例数值分析得到以下结论：第一，供应链SaaS的最优定价不仅需要考虑供应商对SaaS内容、时间等技术性的需求，而且需要考虑产品市场需求变化，以及市场需求构成SaaS定价的重要正向影响因素；第二，基于SaaS的动态控制能有效实现供应链协同，使得市场需求呈现稳定化趋势，并实现供应链收益的改进；第三，供应链SaaS的建设应该随着时间和市场需求的变化循序渐进地开展，供应链成员应按照sharply值的要求承担系统投资并分享超额收益.

需要说明的是，微分博弈的反馈纳什均衡求解过程涉及微分方程求解，所以在一般情况下只能适用于较为简单的问题，对复杂的问题可能会因微分方程无法求出显式解而最终不能获得有效结果，如果是偏微分方程则难度更大.最优性能指标的连续可微也是一个较强的条件，在现实中往往很难满足.通过有效的数值求法来求解更为复杂的供应链合作问题，将是下一步研究的重要内容.本文构建的模型能够在供应商或制造商相互独立时拓展到多供应商对多制造商的供应链网络情形.但现实中也存在供应商或制造商相互关联、互相竞争等情况，因此需要对本模型进行拓展.