非线性约束下机械振动系统的低频动力学特性

朱喜锋，文智华，王剑锋，马 硕

(1. 兰州交通大学机电工程学院，兰州 730070；2. 甘肃省轨道交通装备系统动力学与可靠性重点实验室，兰州 730070；3. 包头铁道职业技术学院铁道机车车辆系，内蒙古 包头 014060)

在实际生产中,由于加工水平的限制,机械装置间会存在间隙和约束,从而使设备发生碰撞振动,机械振动对于许多工业机械设备、建筑结构及精密仪器是有害的,它会造成设备的结构损伤和失效，进而会影响机械设备的正常使用.张惠等[1]运用胞映射法研究了一类含间隙预紧弹簧系统的动力学特性,并揭示了系统在不同Poincaré截面上吸引子和吸引域的共存性.侍玉青等[2]通过建立具有间隙和刚性约束碰撞系统来研究此类系统在较小激振频率区间的动力学特性,指出了系统存在的周期碰撞运动的类型.杨一帆等[3]建立了一种具有两自由度的非线性能量阱的机械振动系统,将泰勒级数的推广用于逼近二阶振子处的非线性力,用数值方法确定了非线性能量阱的阻尼性能.刘晓玲[4]研究了摩擦正交齿轮系统的动力学特性,分析了摩擦正交牵引系统在不同参数和激励频率下的分岔特性.朱喜锋[5]研究了二自由度弹性和刚性碰撞系统的1/p周期运动的转迁规律,吸引子共存现象以及参数匹配规律.吕小红[6-7]以小型振动打桩机建立了动力学模型,通过多参数协同仿真的方式研究了系统的周期运动和颤碰运动.李得洋等[8]通过研究单自由度含干摩擦系统,发现了在鞍结分岔和擦边分岔前后伴随着系统相轨迹的sliding分岔.丁杰等[9]通过胞映射的方法研究了双侧不同约束时,机械振动系统的周期转迁规律.李国芳等[10]通过双参数域的方式研究了一类驱动系统的平均速度分布图,并得到了系统参数的最佳范围.李海涛[11]建立考虑重力因素影响的能量采集系统非线性动力学模型,针对动力学方程的非对称势能阱开展分析,得到同宿轨道的解析表达形式.通过Melnikov方法获得发生同宿分岔的阈值,并使用数值方法验证.

目前,大多数国内外学者对于该类系统都基于线性约束下研究其动力学特性,对于含非线性约束机械振动系统的颤碰运动与转迁规律的研究比较少.本文首先选择一个线性弹簧嵌入连杆机构的模型作为碰撞约束，进而建立二自由度含非线性约束的动力学模型,通过建立Poincarè映射并结合胞映射的方法,分析了该系统(p+1)/1和p/1周期运动的转迁规律以及吸引子共存现象.

1 力学模型

建立一类两自由度含非线性约束振动系统的动力学模型,如图1所示,其中M1和M2分别表示两物块质量,X1和X2表示两物块的位移,两物块由刚度为K1、K2的线性弹簧和阻尼系数为C1、C2的线性阻尼连接,作用在两物块上的简谐激振力分别为Pisin(ΩT+τ)(i=1,2),当激振力振幅较大时,会使X1等于B,即物块M1与外界的非线性约束发生碰撞.如图2所示,该约束为一个刚度系数为K0的弹簧嵌入一个菱形的连杆机构,对于菱形的四连杆机构,由四根相同的刚性杆ab、bc、cd、da组成,假设本文中连杆机构的质量忽略不计.当质块M1与约束未发生碰撞时,约束如图2(a)所示.当质块M1与约束发生碰撞时,约束产生形变见图2(b),此时,弹簧K0所受力为：

图1 二自由度非线性约束动力学模型

图2 非线性约束图

Lsinθ0)K0.

(1)

其中:L表示杆长,θ0表示连杆机构的未发生碰撞时的角度,z0表示未碰撞时连杆机构的水平宽度,Ls表示刚度为K0的弹簧的初始长度,根据从连杆机构的几何和力平衡条件,可得到物块在接触时受到的恢复力fa为：

(2)

由于间隙和约束的存在使得原本光滑的系统变为了一个复杂的动力学系统,为了分析的普遍性,引入以下无量纲量.

可得的系统无量纲运动微分方程为：

(3)

其中:

(4)

X(i+1)=f[v,X(i)].

(5)

2 颤碰规律分析

图3 分岔图

图4 擦边运动图

图5 20/4周期运动相图

图6 颤碰运动图

3 迟滞域及吸引子共存研究

在上述参数基准值不变的情况下,分别通过增大和减小激振频率的方式得到分岔图,如图7所示,其中红色部分表示激振频率增大时得到的分岔图,蓝色部分表示激振频率减小时得到的分岔图.其中SNp/n表示随着激振频率增加,p/n周期运动碰撞次数较少一次,产生(p-1)/n周期运动的saddle-node分岔.通过分岔图可以观察到,激振频率减小和激振频率增大时,发生Grazing分岔和saddle-node分岔的激振频率不同且saddle-node分岔的频率比Grazing分岔大,在p/1运动和(p-1)/1运动之间会产生迟滞域,如图7(b)(c)(d)所示,其中FHp/1表示产生相应周期运动的迟滞域.

图7 频率迟滞图

可知,频率迟滞域内有多个吸引子共存现象,图8为不同迟滞域内吸引子共存的相图,在迟滞域FH1/1内当激振频率为ω=0.711且对应不同的初始值时,会存在1/1和2/1周期运动见图8(a).在迟滞域FH2/1内当激振频率ω=0.492 1,同时对应不同的初始值时,会存在2/1和3/1周期运动见图8(b).为了进一步研究共存吸引子和吸引域的分布情况及转迁规律,选取相应的初值初态域,将初态域划分为400×400个状态胞,得到吸引域分布图(见图9),其中蓝色表示2/1周期运动吸引域,黄色表示1/1周期运动吸引域，ω=0.70时初态域内为2/1周期运动,随着激振频率的增加,即当ω=0.708、ω=0.711 8、ω=0.720、ω=0.722时,1/1周期运动所占初态域比例逐渐增多,直至ω=0.725完全都为1/1周期运动.

图8 共存吸引子相图

图9 吸引域分布图

4 结论

本文建立了一类两自由度含非线性约束的冲击振动系统动力学模型,研究了其运动状态和不同周期运动之间的转迁规律,得到了如下结论：

1) 当系统激振频率减小时,系统会发生Grazing分岔,导致系统p碰撞次数增加,当碰撞次数足够大时会产生颤碰运动,而随着激振频率的增大,系统会发生saddle-node分岔,使碰撞次数p减少.

2) 激振频率减小时,部分p/1运动进入擦边进入(p+1)/1运动会被擦边、混沌、倍化分岔、逆倍化分岔打断,出现其他运动.

3) Grazing分岔和saddle-node分岔之间会存在一个频率迟滞域,由于相互转迁的不可逆，相邻周期运动之间会产生周期运动共存区,在1/1和2/1周期运动共存区内,随着激振频率增加1/1周期运动吸引域面积逐渐增加，2/1周期运动吸引域面积逐渐减少.