核心工具串联，核心素养并联

赵丽霞

摘要：数学核心素养的提出，促进了教学设计的变革，单元教学设计也随之重视起来，必然也要重视单元复习教学设计.本文以问题解决线索为主题、以单位圆为串联工具、以数学核心素养相并联的模式，对“三角函数”单元复习教学设计进行尝试，让单元的知识体系和思想方法体系在复习课上加以升华.

关键词：单元复习 核心工具 核心素养 三角函数

1 单元复习教学的重要性

单元复习教学，是在学习了一个单元的教学之后，以梳理和巩固已学知识和方法，促进知识系统化，提高学生运用所学知识解决问题的能力为主要任务的一个种课型. 本文以问题解决线索为主题、以单位圆为串联工具、以数学核心素养相并联的模式，对“三角函数”单元复习教学设计进行尝试.将某一内容核心知识和方法设计成一组回忆性问题，在回答问题的基础上，建立知识网络，使知识系统化和结构化.[1]通过问题设置上的综合性和灵活性，对于进一步提高学生分析和解决问题的能力.

每个单元的復习会涉及到以下几个方面：整体的知识框架、使用的数学思想方法、数学本质、各种数学表征、美学欣赏、人文背景，这些内容在新课学习过程中往往难以体会，需要在复习课上加以升华[2]，这是复习课设计的重要性.

2单位圆与三角函数

单位圆是研究三角函数的核心工具.比如利用单位圆直观感受1弧度与1度的大小，借助单位圆抽象三角函数的定义，借助单位圆的方程推导同角三角函数的关系，借助单位圆的对称性推导诱导公式，借助单位圆的旋转对称性推导出和差角公式，借助单位的几何直观探索三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最值等性质.从内容到方法都应该强调单位圆的作用，在教学中将单位圆作为研究三角函数的一个核心工具，让学生养成使用习惯.[3]

3 复习教学与数学核心素养

教师要以整体联系的眼光组织、设计和处理各章节、各单元和各知识点的关系，让学生在整体中、在联系中、在比较中学习，从而帮助学生在头脑中将知识“由点构成线，由线构成面”，形成立体、开放、整体的知识结构.强调知识的结构化、整合化，防止知识的孤立化、片面化，是将知识转化为核心素养的基本要求. [4]

借助单位圆的几何直观将三角函数的核心问题串联起来，通过解决数学问题的活动，引导学生对现实问题进行数学抽象，构建数学模型解决实际问题.在单元教学 （包括复习教学） 过程中，不间断地培养学生的数学学科核心素养.

4 三角函数单元复习教学设计

4.1 问题引入，基础再现

问题1 单位圆的圆心为，若点沿着圆周顺时针方向运动了到达，则转过的角是多少度？多少弧度？线段扫过的面积是多少？

解析：由题意可知，弧长，半径，则圆心角，点是顺时针运动，则，面积.

设计意图：主要考察学生对任意角的概念的理解，熟练两种度量的换算和扇形 面积的计算.问题1中从图形的变到代数的运算，从具体到抽象，意在培养学生的直观想象和数学运算素养.

4.2 回顾定义，注重概念

问题2 若角的终边所在的直线与单位圆的交点为，求点的坐标.

解析：由问题1可知，由三角函数的定义可得，当点在角的终边上时，由，，得坐标为;当点在角的终边的延长线上时，点的坐标.

设计意图：以低起点的问题出发，让学生回顾从单位圆到三角函数概念的抽象过程，引导学生理解数学概念和定义在数学活动中的重要性.另外，考查学生对象限角概念的理解和分类讨论数学思想的应用，同时增加运用几何直观和空间想象思考问题的意识.

4.3 互联互通，内在联系

问题3  若角的终边与单位圆的交点为，求的值.

解析：由三角函数定义得，当角是第一象限角时，，.当角是第四象限角时，，.

设计意图：三个三角函数都是由角的终边与单位圆的交点这一共同背景所决定的，且满足.在寻找内在联系的过程中，增强学生的逻辑推理素养.

4.4 理解本质，溯本清源

问题4  若是单位圆上的一点，角的终边是.

（1）当绕原点旋转周，这时终边所对应的角为，求的值.

（2）当绕原点顺时针旋转，这时终边所对应的角为，求的值.

（3）当绕原点旋转任意角，这时终边所对应的角为且与单位圆的交于，求的值.

设计意图：三角公式本质上是圆的基本性质的解析表示，这些公式可以用旋转变换的方法统一起来，将角的终边旋转整数周和旋转特殊角就得到诱导公式，旋转任意角就得到和差角公式.通过本题，让学生理解公式的关联性与统一性.在素养层面上，提升学生的直观想象和数学抽象的核心素养.

4.5 发散思维，合理运算

问题5  若是单位圆上的一点，角的终边是，且，如何求点的坐标？

解析：思路1 因为，，，联立和，可解得点的坐标.

思路2因为，所以，先求的值，再求，也可解得点的坐标.

设计意图：思路1运用了方程组思想求解，思路2运用了角变换方法求解.问题的设计是为了让学生发散思维，合理选择计算方法，理解运算对象，探究运算思路，求得运算结果，从而提升数学运算素养.

4.6 数形结合，感悟本质

问题6  平面直角坐标系内的半径大小为A的圆上一点从点（对应于角）开始，以角速度逆时针方向绕圆周运动到点，运动时间为.

（1）求出点的纵坐标与时间的函数关系式;

（2）若，，求函数的周期和单调递增区间.

解析：（1）由题可知，以终边为的角为，则.

（2）由于，周期.由，

解得，故单调递增区间为.

设计意图：引导学生注意与之间的联系，即图象变换，借助图象变换理解参数的意义.培养学生直观想象和数学建模素养.

4.7 探索延伸，重视建模

问题7 在中，，，求的取值范围.

解析：方法1 由正弦定理得，又，，所以的取值范围.

方法2从几何角度，是半径长为1的圆的弦，顶点在优弧上移动，当经过圆心时，取得最大值2.当无限接近顶点时，趋近于0.故的取值范围.

问题8 摩天轮的半径为，点距地面的高度为，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每转一圈，摩天轮上点的起始位置在最高点.

（1）试确定点距离地面的高度（单位：m）关于转动时间（单位：min）的函数关系式;

（2）摩天轮转动一圈内，有多长时间点距离地面超过？

解：（1）建立如图所示的平面直角坐标系，设是以轴正半轴为始边，（表示点的起始位置）为终边的角，由题知，在内转过的角为，所以为终边的角为，即点纵坐标为，所以点距离地面的高度关于旋转时间的函数关系式是，化简得.

（2）当时，解得，又，所以符合题意的时间段为或，即在摩天轮转动一圈内，有的时间点距离地面超过.

设计意图：通过解决实际问题的数学活动，引导学生对实际问题的数学抽象，寻找解决问题的数学方法，建立数学模型解决实际问题.

5 结语

以上我们看，单元复习教学设计应遵循以下几个原则：

第一，低起点原则：低起点，容易让学生尽快进入学习状态和参与的积极性.

第二，重概念原则：数学概念就是数学基础，重视概念才能更好地夯实基础.

第三，重统一原则：相同背景下的数学问题必然有着内在的联系，统一是为了理解数学.

第四，重应用原则：学习数学目的是为了更好解决实际问题，重视数学应用也是提升数学核心素养的重要途径.

参考文献：

[1]顾继玲.理解教材，研究学生：中学数学教学设计[M].北京：北京师范大学出版社，2015.

[2]张奠宙.复习课的设计需要理论建设[J].数学教学，2015（2）.

[3]章建跃.用几何直观和代数运算的方法研究三角函数[J].数学通报，2020（11）.

[4]余文森.核心素养导向的课堂教学[M].上海：上海教育出版社，2017.