K 层层间单向耦合星形网络的同步能力分析

朱 剑，李显勇，高海平

（1.新疆工程学院数理学院，新疆 乌鲁木齐 830023；2.西华大学计算机与软件工程学院，四川 成都 610039；3.新疆轻工职业技术学院公共基础部，新疆 乌鲁木齐 830021）

自然界中最常见的复杂网络包括神经网络、新陈代谢网络、金融网络、鸟类的群体飞行网络、社交网络等。近年来,复杂网络已经成为不同领域科学家们的热点研究方向。随着研究的深入，复杂网络在很多方面都取得了新进展，如多层网络同步[1−8]、复杂网络建模与拓扑结构[9−10]、疾病传播和信息传播[11]、动力学性质[12]、复杂网络的鲁棒性与脆弱性[13−14]等。

在研究复杂网络的过程中，一个很重要问题就是复杂网络的同步。同步现象经常发生在我们的生活中,如演出时掌声同步、萤火虫同时闪烁及无人机编队同步等。在物理、生物、工程技术以及社会科学等领域都出现了各种各样的同步现象。目前对单个复杂网络的同步已经有了比较成熟的研究成果，但对更实际的多层有向网络的同步研究[15−17]极少。文献 [15]在同步域为有界和无界2 种情况下研究了2 层星形网络的同步能力，对于中心节点与中心节点相连、叶子节点之间相连的2 层星形网络给出了特征值的表达式，并分析了网络的同步能力与节点数、层间耦合强度和层内耦合强度的关系。文献[16]给出了3 层层内单向耦合的星形网络的特征值多项式，在同步域无界和有界2 种情况下分析了网络层数、每层网络节点数、层内耦合强度、层间耦合强度与网络同步能力的关系。文献[17]给出了多层双向层内耦合的星形网络，并对星形圆环状网络在同步域无界和有界2 种情况下各参数与网络同步能力的关系进行了分析。

由于实际的复杂网络更接近于有向网络，因此，本文研究更贴近实际的多层层间有向耦合星形网络的特征值谱及同步能力。首先，根据主稳定性函数方法给出4 层层间单向耦合星形网络的超拉普拉斯矩阵，得到反映网络同步能力的重要指标λ2和r；然后，给出K层层间单向耦合的星形网络的特征值多项式以及特征值谱；在同步域无界和有界2 种情况下，分析各参数与K层层间单向耦合的星形网络同步能力的关系；最后，给出K层层间单向耦合星形网络同步能力的仿真图像（K=15），讨论网络同步能力与各参数之间的关系。

1 基础知识

K层网络中第M层第i个节点的动力学方程为

结合层内与层间相关矩阵，定义超拉普拉斯矩阵Ψ=ΨI+ΨL，其中矩阵ΨI=LI⊗IN，LI=−dD，IN为N×N单位矩阵，⊗为Kronecker 积。

多层网络的同步能力由超拉普拉斯矩阵的非零最小特征值 λ2和最大特征值r决定：当同步域无界时，多层网络的同步能力由超拉普拉斯矩阵的非零最小特征值 λ2决定，此时网络的同步能力与 λ2成正比；当同步域有界时，多层网络的同步能力由r=λmax/λ2决定,此时多层网络的同步能力与r成反比[17]。

2 K 层层间单向耦合星形网络的特征值谱及同步能力分析

首先，考虑4 层层间单向耦合星形网络，如图1 所示，黑色有向虚线代表叶子节点邻接，红色有向虚线代表中心节点邻接。其中每层网络的结构一致，且高层的中心节点、叶子节点与低层相对应的中心节点、叶子节点存在有向邻接，则4 层层间单向耦合星形网络的超拉普拉斯矩阵为

图1 4 层层间单向耦合星形网络

其全部特征根为：

其中i=1,2,3。通过对比分析，i=3时，式（2）取到最大值；i=1时，式（3）取到最小值。比较全部特征值的大小，可得

因此：在同步域无界的情况下，4 层层间单向耦合星形网络的同步能力由λ2=min{a,d}决定；在同步域有界的情况下，4 层层间单向耦合星形网络的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+3d0)/min{d,a}决定。

类似地，考虑K层层间单向耦合星形网络，可得K层层间单向耦合星形网络的超拉普拉斯矩阵为

其全部特征根为：

其中i=1,2,···,K−1。为了便于比较它们之间的大小关系，设

于是

类似地，λ1i→Na+(K−i)d0,N≫a,d,d0,K。i=1,2,···,K−1。

因此λ2i<λ1i。

比较全部特征值的大小，可得λ2=min{λ2(K−1),a}→min{d,a}，λmax→Na+(K−1)d0。

由此可以推出：在同步域无界的情况下，K层层间单向耦合星形网络的同步能力由λ2=min{d,a}决定；在同步域有界的情况下，K层层间单向耦合星形网络的同步能力由r=λmax/λ2=(Na+(K−1)d0)/min{d,a}决定。即 λ2越大，同步能力越强；r越大，同步能力反而越弱。

3 数值模拟实验与分析

采用MATLAB 进行数值模拟实验，讨论各参数与同步能力之间的关系。仿真实验的主要步骤为：首先根据第2 节得到的在同步域无界和有界2 种情况下的重要指标进行数值模拟，给定符合实际的5 个参数中的4 个参数，变化剩下的1 个参数，数值模拟仿真出同步域无界时λ2变化情况和同步域有界时r的变化情况。以下实验中：a为层内耦合强度；d为叶子节点间的层间耦合强度；d0为中心节点间耦合强度；K为层数；N为节点数。

由图2 可知，在同步域为无界或有界的情况下，网络的同步能力都随叶子节点的层间耦合强度d的增加而增大，其同步能力增大到一定程度后同步能力基本不变，也就是说，在这种情况下要使网络同步能力达到最大，一直增加叶子节点的层间耦合强度d是不行的。

图2 在不同同步域下，同步能力随叶子节点间的层间耦合强度d的变化（N=300，a=3，d0=2，K=15）

由图3 可知：在同步域无界的情况下，网络的同步能力随中心节点的层间耦合强度d0的增加而保持不变；在同步域有界的情况下（a

图3 在不同同步域下，同步能力随中心节点间的层间耦合强度 d0的变化（N=300，a=3，d=4，K=15，a

由图4 可知：在同步域无界的情况下，网络的同步能力随中心节点的层间耦合强度d0的增加而保持不变；在同步域有界的情况下（a>d），网络的同步能力随中心节点的层间耦合强度d0的增加而缓慢减小。

图4 在不同同步域下，同步能力随中心节点间的层间耦合强度 d0的变化（N=300，a=3，d=1，K=15，a>d）

由图5 可知：在同步域无界的情况下，网络的同步能力随层内耦合强度a的增加而增大，但增大到一定程度后保持不变；在同步域有界的情况下，网络的同步能力随层内耦合强度a的增加先增强后减弱。

图5 在不同同步域下，同步能力随层内耦合强度a的变化（N=300，d0=2，d=1，K=15）

由图6 可知：在同步域无界（a

图6 在不同同步域下，同步能力随网络规模N的变化（a=0.5，d0=2，d=1，K=15，a

由图7 可知：在同步域无界（a>d）的情况下，网络的同步能力随节点数N的增加而保持不变；在同步域有界的情况下，网络的同步能力随节点数N的增加而减弱。

图7 在不同同步域下，同步能力随网络规模N的变化（a=0.5，d0=2,d=1，K=15，a>d）

由图8 可知：在同步域无界的情况下，网络的同步能力随网络层数K的增加而保持不变；在同步域有界的情况下，网络的同步能力随网络层数K的增加而减弱。

图8 在不同同步域下，同步能力随星形网络层数的变化（a=3，d0=2，d=1，N=300）

多层网络的同步能力随a，d0，d，K，N的变化情况如表1 所示。

表1 λ2,r=λmax/λ2随a，d0，d，K，N的变化

4 结论

综合以上的分析可知：在同步域为无界的情况下，K层层间单向耦合星形网络的同步能力只与层内耦合强度、叶子节点间的层间耦合强度有关，而且同步能力取决于层内耦合强度、叶子点之间的层间耦合强度较小的一个；在同步域为有界的情形下，K层层间单向耦合星形网络的同步能力与层内耦合强度、叶子节点的层间耦合强度、层数及中心节点耦合强度都有关。

同时，本文结论与文献[17]给出的同条件下的星形网络的结果既有区别又有联系。在同步域无界时的相同点是2 种结构的星形网络同步能力都与层内耦合强度、叶子节点的层间耦合强度有关；不同之处在于本文的结果与层数无关，文献[17]的结果与层数有关。在同步域无界时本文与文献[17]的结果完全不同。

多层层间单向耦合星形网络的研究依然有很多问题需要解决，比如：在本文的多层层间单向耦合星形网络改变层内耦合强度时，怎样改变其他参数来使同步能力保持不变；改变其中一个参数时，怎样改变其他参数来使同步能力保持不变。