圆锥形容器的奥秘

2022-02-16 17:51张新维
小学生学习指导·高年级 2022年2期
关键词:位线奥秘中点

张新维

我们知道,平面图形与立体图形之间有着千丝万缕的联系,比如在学习圆柱和圆锥的时候,我们就“通过长方形、三角形的旋转”来“制造”圆柱和圆锥。利用这些联系,我们来寻找圆锥体积的奥秘。

首先,我们制作一个直角三角形,然后通过折叠来发现其中的秘密。

图中,E、D分别是三角形一条直角边和斜边的中点,F是底边的中点,最后的那个图中,四个小三角形应该是一样大,所以ED=BF=FC,即ED是BC的一半。这个结论在数学上被称为“中位线定理”,即:连接三角形两边中点的线段叫作三角形的中位线,三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边边长的一半。

了解了这个定理,我们再来看看三角形旋转之后形成的圆锥存在什么样的奥秘。

如图,一个圆锥形容器中有1升水,水面高度正好是圆锥高度的一半。这个容器还能装多少升水?

读完题目,你一定会说:什么?就告诉一个数量就让我们来解答?这也太难为人了吧!

是的,虽然只有一个数量,但是还有另一个条件“水面高度正好是圆锥高度的一半”。如果你记住了三角形“中位线”的有关知识,并且还想到三角形旋转后可以形成一个圆锥形,那么这个问题就很简单了。

设小圆锥的高是h,底面半径是r,则大圆锥的高就是2h,底面半径是2r。

小圆锥的体积是:π×r×h×1/3=1/3πrh,

大圆锥的体积是:π×(2r)2×2h×1/3=8/3πrh,

两相比较,大圆锥的体积是小圆锥体积的8倍,也就是说大圆锥能装8升水,所以这个容器还能装7升水。

以后,再有人问你这样的问题,聪明的你,是不是就能立刻答出來了?

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