基于多元表征的小学数学概念教学探索

黄晓丹

建构主义学习观认为，在学习知识时，要想实现对知识深刻、真正的理解，学习者需要使掌握的知识呈现出结构化、整合性等特征。在当前的数学课堂中，学习活动已经呈现出新的显著特征，但是仍有教师在教学过程中存在误区，导致学生的合作学习仅停留在比较浅显的表层，未能真正培养学生的综合能力，也不利于学生数学素养及必备品格的发展。因此，应展开怎样的合作学习？如何才能通过合作学习培养学生的多元化技能？应实施怎样的合作学习策略？这些都是一线教师需要关注和思考的问题。而在数学概念教学中引入多元表征，能够帮助学生在掌握基础概念的同时了解其内涵与外延，既有助于促进学生新知的生成，又有助于学生发展数学思维，提高解题能力。就当前的数学体系来看，概念经历了多层次的抽象、多视角的归纳以及多维度的建构，在这种情况下，无论是数学知识的内在表征，还是具体的数学思维过程，都是可感、可视的。

一、借助纵横推进，引导学生建构概念

数学概念之间是存在联系的。因此，在小学数学概念教学中，教师要善于借助纵横推进的策略，引导学生对概念进行建构，让学生在处理纵向化表征与横向化表征的过程中，开展高效的数学概念学习。

（一）纵向化表征，促进学生对概念的多层次建构

在小学数学概念教学中，教师需要以小学生的认知规律为基础，由具象到抽象，合理运用纵向多元表征，对小学生形成思维引领，使其逐渐剥离事物中个性化、非本质的属性部分，并保留事物的共同属性、本质属性等，分层次深入架构数学概念。

以“认识数字1—10”为例，教材中除了呈现实物情景图之外，还融合了图形表征、书写符号表征以及动作表征等。教师可基于实物表征的方式，让学生建立数学知识皆来自现实生活的感知。同时，基于图形表征，教师能够从中剔除实物本身的物理属性，保留学生易于理解的数量属性；基于书写符号表征，教师能够帮助学生在数量和符号之间建立一一对应的关系；基于动作表征，学生可以实现对知识的进一步巩固与内化。此外，在课堂教学过程中，还有一项必不可少的内容，即言语表征，比如认读数字“7”。在经历了由具象到抽象的学习之后，学生也能获得较好的学习体验。因此，借助多元表征，能够使学生在面对客观事物时，将其数量内化为认知结构，从而加深对自然数“7”的认知。

概念在持续生成时，也会带动具体表征的改变。以“认识100 以内的数”为例，教材中呈现出了多元化的表征方式，比如小棒计数器及实物等。借助不同的表征，不仅能够使学生建立初步认知，把握数位的内涵，还能够以书写符号表征呈现书写和模型之间的一一对应关系。此外，还需辅助教师的言语表征，帮助学生在数的读法和书写之间建立对应关系，使学生感受由具象到抽象的过程，加深对两位数概念的认知。

（二）横向化表征，促进学生对概念的多维度理解

所谓横向化表征，也就是立足于不同的视角解读数学概念的外延，既能够呈现丰富的样例，又能够让学生积累足够的显性经验，使其能够在解读概念的过程中形成多视角、多维度的感知，进而完成对概念的初步梳理和归纳。

以“角的初步认识”教学为例。首先，教师可以呈现实物表征，比如生活中比较常见的剪刀、三角板等，引导学生从中发现角，学会画角。在这一过程中，学生还能够自主完成对角的分类，对不同类型的角建立图形表征。其次，教师应引导学生基于文字进行归纳。在经历了多元表征之后，学生不仅可以在脑海中初步架构角的外形，掌握其概念，而且还能够结合图形进行梳理，发现其特征。

二、借助多元形式，引导学生探究概念

随着认知心理学的快速发展，概念教学呈现出了各种新的变化，不再以单一表征为主，而是逐渐发展到多元表征，强调概念本质及意义的探寻过程。教师在引入不同的表征方式之后，能够对概念和问题展开不同维度的解释，也就是基于不同的视角阐释其本质。因此，在组织概念教学的过程中，教师要对学生进行正确的引导，为学生呈现不同的表征方式，帮助学生完成概念的建立及知识的内化，使学生能够准确把握概念的内涵、外延。

（一）借助表象表征，丰富概念感知

对于学生来说，建立感知的外界因素就是具有直观性的各种实物素材，并且需要对其表面现象及外部特征中的相关信息进行搜集与整理。可见，这部分认知主要体现在感性层面。学生只有积累丰富的感知，才能在脑海中建立清晰的表象，才有助于激活想象力，使实物和概念之间建立一一对应的关系，从而更好地理解概念、掌握概念。所谓丰富的感知，并不能仅限于某种感知的数量，而应借助多元的路径及方法。而学生也应基于不同的角度、形式以及感官体验，对素材留下深刻的印象，建立准确而具象的认知，提升数学思维。

例如，在讲解“分数的初步认识（二）”时，教师在完成例题1 的教学之后，可以继续追问：“桃子的总个数有6 个、4 个、8 个，由于总个数不同，均分为两份的话，每份所得到的个数也有所不同，是否都可以用1/2 表示？如果需要分的桃子的数量是10 个、48 个，100 个，甚至更多，也可以这样表示吗？”教师通过呈现一组总数相同、均分份数相同的桃子的图片，引导学生展开观察、对比、思考、交流，最后将桃子的实物外形隐去，转化为其他物体，并同时给出提示：“这个整体可以看作一盘桃子，也可以将其转化为生活中常见的其他物体所组成的整体，只要将其均分为两份，则每一份都代表本整体的1/2。”经历了比较与辨析之后，学生可以清晰地把握部分和整体之间的关系，从而加深对某一整体的几分之一的理解，深刻把握分数的本质。

（二）借助表达表征，促进概念理解

在学习数学概念时，教师都会提前布设实物，以帮助学生建立直观感知，然后基于引导逐步过渡至图形，最后再利用语言进行生动的描述。在用语言对概念进行表述的过程中，要经历以下环节：基于学生的语言表述、基于规范的数学语言表述、基于个性化的语言表述。而这也是提升学生表述能力的重要途径。

规范的数学语言一般包括符号、文字、图示等多元化的形式，并且具体的学习过程要依赖于符号语言，因为这种方式既直接又具象。因此，教师应强化概念教学，一方面可以使学生建立正确的认知及进行清晰的表达；另一方面，也能够推动学生学以致用，使学生可以在应用的过程中感受数学的奥秘。以“因数和倍数”教学为例。学生对因数、倍数等概念比较陌生，教师细致讲解后，需要学生理解和记忆。一位教师在解读这一环节时，首先为学生呈现了乘法算式——“4×3=12”，目的是借助这个算式帮助学生对上述概念建立初步认知。此后，这位教师还提供了表达方式：（ ）和（ ）是（ ）的因数，（ ）是（ ）的倍数，（ ）也是（ ）的倍数。这是一种规范的数学表达，在给出其他算式之后，要求学生借助这种表达方式说一说、练一练，从而使学生有效地将数学思维和数学表达结合起来，同时也有助于培养学生的语言表达能力，使学生体会到数学语言表达的规范性和科学性。所谓数学表达，简单来说，就是在学习的过程中，对具体的实践及应用过程作出规范的描述，这种描述有助于学生把握概念内涵、事物本质属性，能够为学生更好地理解和记忆知识提供助力。

（三）借助过程表征，推进概念内化

概念的学习需要经历一个完整的过程：感知素材、建立表象、抽象概念、具体化概念。这也是在整个概念教学过程中教师必须关注的重要过程。首先，教师需要为学生创设可以促使其展开深入观察、分析和思考的平台，这样才能够使学生聚焦注意力，积极主动地参与一系列认知活动，例如建模、对比分析等，体验概念的生成过程，进而更好地进行应用与实践。只有经历了这一过程，学生对概念的认知才能够从具象化、感性化上升到理性层面，才能够清晰地把握概念的本质属性。

例如，在讲解“分数的初步认识（二）”时，为了帮助学生建立直观认知，教师首先提出问题，引导学生围绕该问题直接开展操作活动，体验完整的观察、对比、分析等思维活动，从而建立起对“几分之一”概念的认知。在经过了多次对比分析之后，学生能够从中把握变量及定量的概念，并从中提炼出分数的本质属性，作出规范的数学表达[1]。其次，引入变式，一方面是为了帮助学生建立新旧知识对比；另一方面也可以结合课后拓展等多元化的方式，促使学生的感性思维上升到理性思维，通过新旧知识之间的逻辑关联，促进原有知识结构体系的完善。在经过实物操作、图像操作及符号操作之后，学生可以结合多元表征实现对信息的操作处理，使信息外显化、丰富化。这在一定程度上能对学生形成有效的思维引领，帮助学生完成对知识的意义架构，同时也有助于深化学生对概念的理解，并使学生在这一过程中获得成功的体验。

三、发挥表征魅力，引导学生内化概念

建构主义学习理论认为，在主动建构的过程中，作为认知主体的学生，具有极其重要的地位和作用。那么，如何才能帮助学生准确把握概念的内涵和外延，是教师需要深入考量的核心问题。将多元表征引入数学课堂教学，不仅有助于促进学生生成新知，而且也是发展学生数学思维、提高学生解题能力的关键路径。因为多元表征的本质在于对数学概念进行多层次的抽象、多角度的归纳，有助于学生完成多维度的建构，改变数学内在表征及思维过程原本的不可视状态，使其变得真实、可感。

（一）引导学生动手操作，促进概念内化

在小学数学概念教学中，教师要善于引导学生动手操作，促进学生对数学概念的内化。只有这样，才能够达到事半功倍的教学效果[2]。

例如，在讲解“分数的初步认识（二）”时，教师可为学生提供自主探究的机会，由学生完成以下问题的探究：“给你24 颗糖，你认为可以平均分成几份？根据你的分法，每一份是总数的几分之几？”接下来，教师可让学生开展自主操作，并根据学情反馈，提出问题：“这里面哪些因素发生了改变？哪些没有发生改变？为何会出现这样的情况？”结合问题，教师可让学生以小组为单位进行操作，并实时巡视，发现学生存在的问题并及时纠正。在这一过程中，教师不仅引入了听思、学思相结合的教学方式，还实现了多感官的感知，使学生可以完整地体验分数这一概念的创造过程，体会其应用。这显然能够改变概念的抽象性，使其变得具象可感、亲切活泼。在教师的引导下，虽然最初呈现的是图形表征，而学生通过操作可以将其转化为符号表征、言语表征等多元化的方式，深化对分数概念的理解。引入迁移、变式等多元化的学习方式，不仅有助于推动概念的转化，也能够帮助学生锻炼并提升数学思维，促进学生综合素养的全面发展。

（二）运用 “大问题” 导学模式，深化概念理解

数学教学是为了发展学生的数学思维，提高学生的解题能力。在小学阶段，教师可引入“大问题”导学模式。“大问题”是指一类问题，包括数学知识的本质、重点、关键点等。那么，怎样才能更好地发挥“大问题”的导学功能，从而提高学生的数学思维水平呢？以下是结合教学实践提出的具体教学举措。

例如，在讲解完“乘法的初步认识”后，为了能够让学生更好地巩固新知，主动关联旧知体系，顺利解决现实问题，笔者设计了一个“大问题”，即“9+9+9+5+9=？”。设置这一问题的目的是引导学生回顾、梳理乘法的意义。经过讨论之后，学生认为可以将加法转换为乘法，这种方式会更加便捷。为了进一步引导学生思考，笔者提出问题：“那么，引入乘法计算的关键因素是什么？”学生的做法大多是在算式中找有几个“9”，这样就能够对算式进行转化，变成“9×4+5”。顺着学生的思路，笔者继续提问：“你能否找到其他的便捷方法？”此时，学生发现也可以把“5”当作“9-4”，这样就能够转化为“5×9-4”，这同样是一种有效的简便方式。

在“大问题”的引导下，学生能够成功地运用已经掌握的方法、知识，实现新、旧知识的相互转化，将题目中的“5”转化为“9-4”，以此提出乘法的简便计算策略，这就是一种创新思维。

总之，多元表征与小学生的认知规律、认知特点相符。通过实践操作，学生既能够在各种表征之间建立沟通和联系，又能够形成从多个维度看待问题的意识，彻底领悟概念的本质，把握概念的内涵和外延。