从“准确理解”到“灵活选择”

曹琴

摘要：在小学数学教学中培养学生的运算能力，应引领学生认识运算的意义、明确运算的对象、明晰运算的算理，准确理解运算;充分利用工具、自觉判断结果合理性，精准实施运算;进而能够根据实际问题情境灵活选择运算，自觉应用“数学的”方式灵活地解决问题。

关键词：运算能力;算理;算法;应用

本文系江苏省常州市教育科学“十三五”规划第二批重点课题“小学数学学科运算能力的校本实践研究”（编号：CJKZ2020033）的阶段性研究成果。运算是小学数学学习中常见且重要的内容，也是解决数学问题时有效且基本的方式。运算能力自然也就成为学生应该具备的关键能力。笔者以为，小学数学教学中，不仅要引领学生准确理解运算、精准实施运算，还要让学生能够根据实际问题情境灵活选择运算。

一、准确理解运算

（一）认识运算的意义

运算意义的理解和建构是一切运算教学的起点和源泉。不管是算理的理解、算法的掌握还是问题的解决，都源自对运算意义的理解，即在具体情境中对“算什么”“为什么这样算”的理解。

比如“分数乘整数”的教学，对于问题：“1朵绸花用310米绸带，3朵这样的绸花需要多少米绸带？”教师借助长方形纸条图，引导学生首先理解“1朵绸花用310米”的含义，再提供相应的工具，提出要求：“怎样表示出3朵绸花用的米数？”学生在操作中直观感知“求3朵绸花用的绸带长度就是求3个310米是多少”“既可以用加法310+310+310，也可以用乘法310×3”。在直观操作中抽象，将整数、小数乘法的运算意义推广到分数乘整数。

（二）明确运算的对象

对运算对象的理解包括对参与运算的数（或者数量）及含义的理解、运算符号的理解以及解决问题中对问题情境的理解。学生对运算对象的理解程度直接反映学生的运算水平和运算能力。只有清楚明白地理解运算中的数或者数量、运算符号、问题等，才能正确、合理、灵活地进行运算。随着学段的提升，运算对象也逐步复杂——数的范围不断扩大，从整数到小数再到分数;问题情境也由单一变为综合。对于学生明确运算对象的能力和方法的培养需要引起教师的足够重视。

比如，对于“把四个同样大的橙子分给小朋友，每个小朋友分12个，可以分给几个人？” 这一问题情境，引导学生分析其中的信息，明确运算对象：平均分，用除法计算，运算符号为“÷”;总数÷每份数=份数，总数是4，每份数是12，列式为4÷12;进一步明确运算对象的类型，4是整数，12是分数，4÷12是整数除以分数。明确运算对象后，学生可以根据情况选择方法进行运算。

再如，计算“5×16”时，有学生会把结果写成“90”，显然，这是没有辨析清楚运算的对象，把“5×16”当成“6×15”来计算了。教师可以通过题组对比分析的方法，突出强调运算对象，如：观察5×16，15×6和18×5，15×8两组算式，计算并比较，你有什么想说的？借助对象相似的题组分析，可以让学生在对比中强化对运算对象的认知，知晓明确运算对象的重要性。

（三）明晰运算的算理

算理就是计算的原理，指四则运算中的理论依据。算理为算法提供理论基础，呈现了知识发展的过程，是算法的解构和解释。现行各版本教材均特别关注算理的多元呈现和多元表征。有的基于概念本质明晰算理，如苏教版一年级上册“9加几”的教学，例题图呈现9+4，可以基于数的基数意义，一个一个地数，从1数到13正好数完所有的苹果，一共有13个苹果;可以基于数的序数的意义，9后面再数4个数，得出正确结果;当然也可以结合分与合的概念进行“凑十”。这些都是基于加的概念进行的算理表征，后续乘法和除法的教学中也有类似的基于概念的算理表征。有的借助操作表征明晰算理，大多在低年段运用，利用小棒等学具，由直观操作到表象操作再到抽象分析，逐步完善对算理的理解。有的采用图形表征，数形结合表征算理，如计算12+14+18+116+132，用图形表征计算过程，使运算规律的算理形象更直观，便于学生更好地理解。

二、精准实施运算

（一）充分利用工具

教学中要借助丰富的实践活动，将算理的理解与解析建立在与原有算法相关知识发生、发展与联系的基础之上，使得新旧知识多角度、深层次地沟通，“明理，会意，成形”，使运算能力的形成显性化。提供相应、适合的学习工具是达成这一目标的重要手段。

比如，“分数乘分数”教学中，对于35×14和23×45，教师提供长方形指导操作，让学生在图形分割中边操作边体会分数乘分数的含义。“怎样表示出3/5的1/4？”学生先分割长方形得到3/5 （如图1），然后表示出3/5的1/4 （如图2）;“为什么只将35的部分平均成为4份，取1份？”“为什么不斜着平均分成4份？”“结果是多少？一共平均分成多少份？一共取了多少份？”教师借助平均分长方形（单位“1”）的过程，不断使学生加深对单位“1”变化的体悟，体会分数乘法的内涵，进而由3/20这个结果推想算法，发现分子乘分子的积作为积的分子、分母乘分母的积作为积的分母。

（二）自觉判断结果合理性

结果合理性的判断包括能根据实际的问题情境，对运算结果合理性的判断以及掌握几种对运算结果进行正误判断的能力。

比如，对于“张叔叔买了一辆售价为78500元的汽车，按国家规定购买汽车要缴纳10%的購置税，张叔叔购买这辆车一共要付多少元？”这一问题，有学生列式为78500×10%=785（元）。这时，教师可以这样引导学生判断结果的合理性：根据问题情境和生活经验直接判断：785元绝对不可能买到一辆汽车;反观问题情境中的条件——“售价为78500元”，一共要付的钱肯定比这个要多。

再如，对题目“48×1.2=5.76，你能不计算，判断计算结果是否正确吗？”这时，教师需要给予指导，使学生掌握多种判断方法：其一，根据小数乘法的法则。两个因数一共是一位小数，积最多是一位小数，这里是两位小数，计算结果是错的。其二，估算。48×1=48，估小了结果为48，正确结果肯定比48要大。有了方法作为支撑，学生才能熟练和自觉地进行结果合理性的判断。这些判断结果合理性的方法不仅仅是为了解决眼前的问题，更重要的是让学生自觉应用于日常的计算中。

三、灵活选择运算

学生运算能力的培养，不仅要追求准确理解运算、精准实施运算，更要以具体运算问题为载体，理解问题情境，自觉应用“数学的”方式灵活地解决问题。解决实际问题时，大致可按照图3所示的思路灵活选择方法。

比如，对于“学校准备开展综合实践活动，老师要为全班48位同学定制班级徽章，每个徽章2.5元，老师带200元够吗？一共要付多少元？”这一问题，教师带领学生认真审题之后，选择计算方法——判断“200元够吗”并不需要准确计算出结果，所以最简洁的方法是估算。有了估算的意识之后，还要会正确地估算。把48估成50，把2.5估成3，50×3=150元，估大了都只要150元，所以200元肯定够。对于“一共要付多少元”，在明确运算对象的基础上，知道需要精确计算，列式“2.5×48”。如何更灵活地准确计算，也暗藏玄机——可以竖式计算，可以简便计算;简便计算的方法还多种多样，可以是2.5×4×12，还可以是2.5×（40+4+4）。这个过程，学生步步为营地分析，不断地递进式思考更灵活的方法。