椭圆切线的一种尺规作图新方法

重庆市铜梁二中 李 波 （邮编：402560）

以下是2021年5月高中数学联赛新疆赛区初赛的一道题目：在平面直角坐标系xoy中，曲线C1:（x+1）2+y2＝16，曲 线过M（-1，0）斜率不为零的直线与C1交于A、B，N（1，0），线段AN、BN的 垂直平分 线分别 为l1、l2，求证：

（1）l1、l2均与C2相切；（2）l1、l2的交点P在定直线上.

不难看出，M、N恰好是椭圆C2的左、右焦点，圆C1的圆心是C2的左焦点且半径为C2的长轴长.那么，若将M、N的条件放宽成x轴上关于原点对称的点，结论是否成立呢？

1 推广

性质1如图1，设椭圆b＞ 0 ），圆C1:（x+m）2+y2＝（2a）2（0 ＜m＜a），过M（-m，0 ）的斜率不为零的直线交C1交于A、B、N（m，0），线段AN、BN的垂直平分线分别为l1、l2，则

图1

（1）l1、l2均与C2相切当且仅当m＝c，这里

（2）如果m＝c，那么l1、l2的交点P在C2的左准线上.

证明（1）令∠AMx＝θ（θ≠0），则A（2acosθm，2asinθ），AN的中点的坐标为（acosθ，asinθ）.

当AN的斜率不存在时，l1的方程为y＝那么，l1与C2相切当且仅当b＝得m＝c.此 时 ，A（c，±2b）.由 于A、B关于M对称，得B（-3c，∓ 2b），则l2的方程为若l1的方程为y＝b，则若l2的方程为y＝-b，则结论成立.

当AN的斜率存在时由，则l1的方程为，与C2的方 程联 立 ，整 理 得[b2sin2θ+（m-acosθ）2]x2+2a（m-acosθ）（a-mcosθ）x+a2[（a-mcosθ）2-b2sin2θ]＝0.于是，判别式

△＝4a2b2sin2θ[b2sin2θ+（m-acosθ）2-（a-mcosθ）2]＝4a2b2sin2θ（a2-b2-m2）.

由于l1与C2相切等价于△＝0，即a2-b2-m2＝0，得m＝c.

仿照上面的做法，可证l2与C2相切的情形.

（2）由于A，B关于M对称，则B（-2acosθm，-2asinθ）.将 ① 中 的 sinθ，cosθ换 成-sinθ，-cosθ，得l2的方程因为m＝c，由①-②整理得，

性质1的第一部分，也可以用几何方法证明.

如图2，F1、F2是椭圆1（a＞b＞0）的左右焦点，圆C1:（x+c）2+y2＝（2a）2，过F1的斜率不为零的直线交C1交于A、B，线段AF2、BF2的垂直平分线分别为l1、l2.

图2

设直线AB与C2交于Q、H.连接QF2，则QF1+QF2＝2a.因 为QF1+QA＝2a，所 以QF2＝QA，即Q在l1上.因此，Q是C2和l1的一个交点.在l1上任取异于Q的点Q′，连接Q′F1，Q′F2，则Q′F1+Q′F2＝Q′F1+Q′A＞AF1＝2a，故Q′在椭圆C2之外.因此，l1与C2相切于点Q.类似地，l2与C2相切于点H.

双曲线也有类似的结论，即

性质2F1、F2是双曲线的左右焦点，过F1的斜率不为零的直线交圆C1:于A、B，线段AF2，BF2的垂直平分线分别为l1，l2，则

（1）l1、l2与C2相切；（2）l1、l2的交点在左准线上.

下面将利用性质1，得到如下结论.

性质3设椭圆的左、右焦点分为F1、F2，P是椭圆上异于左、右顶点的动点射线F1P与圆C1:（x+c）2+y2＝（a+c）2交于点N，线段PF2与圆C2:（x-c）2+y2＝（a-c）2交于点M，则线段MN的垂直平分线与椭圆E相切于点P.

证明因为|PF1|+|PF2|＝2a，|MF2|＝ac，所以|PF1|+|PM|＝2a-（a-c）＝a+c＝|F1N|.于是|PN|＝|PM|，即△NPM为等腰三角形.

如图3，作圆C3:（x+c）2+y2＝（2a）2，并延长F1N交C3于点Q，连接QF2.由于QN＝QF1-NF1＝a-c＝MF2，则进 而QF2//MN.因此，△NPM与△QPF2是一对相似的等腰三角形，则它们的底边的垂直平分线重合.另一方面，由性质1第一部分的几何证明过程可得：线段QF2的垂直平分线与椭圆E相切与点P.于是，结论成立.

图3

事实上，性质3给出了用尺规作图求椭圆上一点（不是左右端点）切线的方法.设椭圆）的左、右焦点分为F1、F2，

第一步 分别以F1、F2为圆心作半径为ac，a+c的圆O1、O2；

第二步 在椭圆E上任取一点P，连结PF2交O2于M；作射线F1P交O1于N；

第三步 作线段MN的垂直平分线l；

由性质3，l是E在点P处的切线.

性质4设双曲线的左、右焦点分为F1、F2，P是双曲线E右支上异于右顶点的动点线段F1P与圆C1:（x+c）2+y2＝（a+c）2交 于 点N，线 段PF2与 圆C2:（x-c）2+y2＝（c-a）2交于点M，则线段MN的垂直平分线与双曲线E相切于点P.

2 相似椭圆的一个性质

在图1中，圆C1与x轴正半轴的交点与点N关于椭圆C2的右顶点对称，这样使得C1的半径始终是C2的长轴长.受此启发，发现了相似比为1:2的椭圆的一个性质.

性质5设M（-m，0），N（m，0），过M的斜率不为零的直线交C2于A、B，线段AN、BN分别与C1交于P、Q，则S△ABN＝2S四边形MQNP.

证明如图4，设圆O:x2+y2＝r2（r＞0 ），圆M:（x+m）2+y2＝（2r）2（-r＜m＜r，m≠0 ），M（-m，0），N（m，0），过M的斜率不为零的直线交圆M于A、B，线段AN、BN分别与圆O交于P、Q.连接OP，则AM＝2OP.在△MNA和△ONP中，由余弦定理，得

图4

双曲线也有类似于性质5的结论.

性质6设双曲线

M（-m，0），N（m，0），过M的斜率不为零的直线交C2于A、B，线段AN，BN分别与C1交于P、Q，则S△ABN＝2S四边形MQNP.