借助几何直观 突出素养考查

湖北省武汉市黄陂区教学研究室 刘光华 （邮编：430399）

1 试题呈现

（武汉市中考第16题）如图1，在 △ABC中 ，AB＝AC，∠BAC＝90°.边AB上的点D从顶点A出发，向顶点B运动，同时，边BC上的点E从顶点B出发，向顶点C运动，D，E两点运动速度的大小相等.设x＝AD，y＝AE＋CD，y关于x的函数图象如图2，图象过点（0，2），则图象最低点的横坐标是_______.

图1

图2

2 试题评价

试题以常见的特殊三角形——等腰直角三角形为问题背景，将几何图形中等速运动线段（AD，BE）的长及另两线段的和（AE+CD）的变化关系以函数形式呈现，结合几何图形，结论回归函数图象求最低点的横坐标，主要考查等腰直角三角形的性质、全等三角形、勾股定理、两点之间线段最短等核心主干知识，巧妙的融合函数的概念及基本性质.在设计试题时，关注并且体现《义务教育数学程标准》设计思路中提出的十个核心词：数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想，以及应用意识和创新意识.

2.1 借助几何直观，直击问题本质

《义务教育数学程标准》（2011版）提出：借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果.几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用.本题以学生最为熟悉的等腰直角三角形为问题背景，图形简洁唯美，将点在运动过程中线段x＝AD与y＝AE＋CD两个变量的关系以函数的方式呈现，借助几何直观将问题变得生动、形象，让学生能比较直观的感受这一变化过程的特征，直击问题的本质，有助于学生探索解决问题的路径，引发学生思考；学生在经历借助图形及函数图象思考问题的过程中初步建立几何直观.

2.2 呈现方式新颖，注重思想渗透

数学思想的重要性远远大于数学知识本身，初中数学本质是以数学知识与数学问题为载体，向学生渗透数学思想，让给学生在潜移默化中学习、领悟数学思想方法，获得思维层次的提升[1].本题一个特殊三角形为载体，以点的运动中相关线段的数量关系及变化规律为主线，将几何变换中常量、变量及它们之间的关系以函数图象呈现（如等腰直角中△ABC的腰AB的长要通过函数图象过点（0，2）这一条件结合动点所处的位置获取，图象最低点的横坐标与图形中点的运动状态的关系的理解等），几何图形与函数图象相辅相成，互为补充，引导学生分别从“数”和“形”的角度更好的去分析、理解题意，实时渗透方程、函数思想，数形结合思想，转化思想等核心数学思想方法.

2.3 优化认知结构，突出素养考查

本题是客观题的最后一题，也被认为是选填题的“压轴题”，试题在考查学生基础知识、基本技能的同时考查学生综合运用核心知识分析、解决问题的能力，突出核心素养的考查.容易发现，试题在D，E两点等速运动过程中，始终存在AD＝BE这一不变关系，由函数图象中可以提炼出常量AB＝1，函数的最低点即AE＋CD最小，也就是找出当AE＋CD最小时，点D、E的运动到什么位置等信息，学生从各个角度加工和配置信息的能力越强，解决问题的策略就越多，拓展思维的深度和广度，从而优化认知结构[2].进而寻求不同途径的解决问题方法，通过数学建模添加辅助线，运用图形中的几何关系通过逻辑推理、数学运算寻求解答，突出对学生数学学科核心素养的全面考查.

3 试题解答

由函数图象可知，当x＝AD＝0时，y＝AE＋CD＝2，即AB＝1；求函数图象最低点的横坐标即当y＝AE＋CD最小时，求自变量x的值，也就是AE＋CD最短时，求AD的值.

思路一两点之间线段最短——通过构造时两条线段共端点

方法1如图3，过点B作BF⊥BC，取BF＝AB，联结EF，由条件可知△ADC≌△BEF，CD＝EF.

图3

当y＝AE＋CD＝AE＋EF最小时，点E落在AF与BC的交点处H，由题意可知∠ABF＝135°，∠BFA＝∠ABF＝22.5°，

所以∠CAH＝∠CHA＝67.5°，

因此CH＝AC＝1，x＝BH＝-1，即图象最低点的横坐标是-1.

方法2如图4，同方法1，y最小时，点E落在AF与BC的交点H处，过点A作AG⊥FB于

图4

tan∠BFA＝-1，即图象最低点的横坐标是-1.

方法3如图5，过点A作AF∥BC，取AF＝AB，联结FD，由条件可知△AFD≌△BAE，FD＝AE，

图5

当y＝AE＋CD＝FD＋CD最小时，点E落在CF与AB的交点H处，由题意可知∠CAF＝135°，∠AFC＝∠ACF＝22.5°，

过点H作GH∥AC，交AF于点G，

易证∠AGH＝∠GAH＝45°，FG＝GH＝AH

评析两条线段的和最短一般通过图形变换或构造全等三角形转化，使两条线段共端点，再利用“垂线段最短”或“两点之间线段最短”等几何性质找到符合条件的点.上述三种方法都是通过构造全等三角形转化线段，再通过“两点之间线段最短”利用图形关系求出符合条件的x的值，其中第一、第三种解法除构造转化不同外，两种方法都是直接利用角度的特殊关系比较轻松的求出最低点的横坐标，对读图、识图能力较强的学生能较快求解.

思路二函数最值——利用勾股定理建立函数关系

方法4如图6，过点A作AF⊥BC于点F，

图6

由条件可知AD＝BE＝

如 图7，作MN⊥MK，LK⊥MK，LK＝1，，P为MK上一点，PK＝x，

图7

由条件可得LP＝，

y＝AE＋CD＝LP＋NP最小时，L、P、N三点共线，此时△LPK∽△NPM，

评析方法4直接利用试题中的已知条件，将几何问题借助勾股定理转化为关于x、y的函数问题，即常见的“几何问题代数解”，减少了繁杂的图形构造，解题思路相对单一.然而由勾股定理运算形成的函数不是学生初中阶段学习过的函数类型，这就给问题的解决带来了新的挑战.仔细观察发现，这类由勾股定理运算产生的函数是可以通过数学建模，再次将代数问题转化为如上的几何问题，实现“代数问题几何解”，同时利用几何图形来研究代数问题，也能帮助学生建立几何直观.前后的两次“穿越”虽然不是本题的最优解答，却能给学生以启迪，让学生在这种“穿越”中感受数学学习的魅力.

4 结语

几何直观是学生数学核心素养的重要组成部分，发展学生几何直观能力就是要让学生进行直观表征、直观分析、直观操作和直观想象，进而感知、理解、触摸、推想到数学知识的本质[3].试题从等腰直角三角形这一具体数学模型出发，结合点的运动中相关线段的数量关系及变化规律这一主线，学生在读图、识图的过程中，充分运用数形结合思想，转化思想，方程、函数思想去分析、解决问题的能力，凸显对学生数学抽象、数学建模、逻辑推理、数学运算等核心素养的综合检验，从而落实立德树人的根本目标.