解三角形与平面几何图形结合的解题策略

福建省莆田第一中学 吴晓明 林清利 （邮编：351100）

解三角形是高中数学的一个重要章节，在新高考解答题的六个模块中，解三角形与三角函数是其中的一个必选内容.其中解三角形题目的设计形式比较多样，有的设计成“不良结构”试题，有的是以边角关系的常规试题，还有的是与平面几何相结合.在核心的考查上主要是考查学生的直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养.从2020年的八省联考和2021年的新高考对解三角形的考查来看，考查的力度有所增强.在高三复习中，复习完两个解三角形公式：正弦定理和余弦定理，适当处理解三角形的个别微专题，对学生的学习能力的提升是很有帮助的.本文主要探究解三角形与平面几何图形相结合的常见类型及解决方法，具体来说是对正弦定理或余弦定理的运用次数，可以分为“算一次”和”算两次”.由于这类平面几何问题一般可以一题多解，除了正弦定理或余弦定理外，有的还可以通过建系，向量，两个三角形的面积关系等方向切入，具体可参考黄美青[1]，钟康生[2]等论文，本文就不展开.

1 “算一次”问题

常见的平面几何图形有两种类型：一种是由两个三角形拼成一个大三角形，一种是由两个三角形拼成一个四边形.所谓“算一次”问题，就是只需通过一次正弦定理或余弦定理就可以把问题角或边长算出来.

例1如图1，已知△ABC中∠ABC＝45°，∠ACB＝60°.

（1）求AC的长；

（2）若CD＝5，求AD的长.

解（1）如图1所示，在△ABC中，由正弦定理得，

图1

（2）因为∠ACB＝60°，所以∠ACD＝120°，

在△ACD中，由余弦定理得，

例2（安徽省A10联盟2020-2021学年高三上学期11月段考）如图2，平面四边形ABCD是由钝角△ABC与锐角△ACD拼接而成，且AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，

图2

（1）求∠CAD的大小；

解（1）在△ABC中 ，由AC·cos∠BAC＝BC·sin∠ABC，及由正弦定理得，sin∠ABC·cos∠BAC＝sin∠BAC·sin∠ABC，

因为sin∠ABC≠0，所以tan∠BAC＝1，

又∠BAC∈（0，π），即

（2）在△ACD中由余弦定理得，

此时△ACD为钝角三角形，不满足题意，舍去.

设计意图通过这两个例子，（1）认识两个平面几何图形和训练学生通过图形寻找需要的条件的能力，并在过程中巩固正弦定理和余弦定理公式的应用.（2）为接下来进一步分析较难的图形打基础.

2 “算两次”问题

在一些平面几何问题中，所求的角或边长放在任何一个三角形中，由于条件较少，都不可能通过一次正弦定理或余弦定理求出.那么，可找两个三角形，通过它们的公共边或角，运用两次正弦定理或余弦定理，就可以解决问题，简称“算两次”.

2.1 求角问题

例 3（2013年课标 Ⅰ·理 17）如 图3，在△ABC中 ，∠ABC＝为△ABC内一点，∠BPC＝90°.

图3

（2）若∠APB＝150°，求tan∠PBA.

解（1）略.

（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得化简得所以，即tan

评注（1）此题观察发现在△ABC、△PAB、△PBC、△PCA中任一个三角形，都无法单独运用一次正弦定理（或余弦定理），求出tan∠PBA.但通过△PAB、△PBC的公共边PB，运用两次正弦定理，就可以解决问题.（2）可以发现，将PA放在△PAB和△PCA，进行两次正弦定理，或将PC放在△PBC和△PCA，进行两次正弦定理，也都可以求tan∠PBA的值.一般地，求三角形某个内角问题，可寻找其中的一条边，对其放到两个三角形，分别运用正弦定理或余弦定理，“算两次”解方程求之.

变式1（2016年课标 ⅠⅠⅠ·理8）在△ABC中，边上的高等于则sinA＝（ ）

解 方法一设BC边上的高为h，则BC＝3h，在 直 角 △ACD中得AC＝在△ABC中，由正弦定理，得即，联立方程组，消去AC，可解得 tanA＝-3，得

方法二设BC边上的高线为AD，则BC＝3AD，DC＝2AD，所以由正弦定理，知解得，故选D.

变式2（2021年佛山一模）如图4，在梯形ABCD中，AB//CD，AB＝2，CD＝5，

图4

（2）若AC⊥BD，求tan∠ABD.

解（1）略

评注设AC∩BD＝O，该题第二问也可能过以下两种方法求得：（1）对边长BD＝BO+DO，可分别求出2cosα，DO＝5cosα，代入可求AC＝AO+CO，接下来与（1）做法一样.

设计意图上述三个例子，结合性较强，解题入口较宽，可以从不同角度切入，一题多解，是训练学生解题良好载体.对学生通过图形寻找条件的能力，正余弦定理熟练程度及运算和化简技巧，都提出了比较高的要求.但是，通过某条边长，进行“算两次”，可操作性较强，淡化技巧性，容易掌握.同时，学生对数形结合数学思想的认识进一步加深，进一步提高学生的数学素养.

2.2 求边长问题

例4（2021年普通高等学校招生全国统一考试模拟演练）在四边形ABCD中，AB∥CD，AD＝CD＝BD＝1.

（2）若AB＝2BC，求cos∠BDC.

解（1）略

（2）如图5，设BC＝x，则AB＝2x，在△ABD中，

图5

在△BCD中，

由（1）可知，∠BDC＝∠ABD，所以cos∠BDC＝cos∠ABD，即

整理可得x2+2x-2＝0，因为x＞0，解得因 此 ，cos∠BDC＝cos∠ABD＝

评注一般地，求三角形某个边长问题:（1）可寻找其中的一个角，对其放到两个三角形，分别运用余弦定理，“算两次”解方程求之.同样的命制手法还有2021年新高考19题；（2）边长可表示成某个未知角的正弦或余弦值，如2.1求角问题，可先求角的值，代入可得所求的边长.

变式1（2019年课标Ⅰ·理10）已知椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），过F2的直线与C交 于A、B两 点.若|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，则C的方程为（ ）

解由椭圆C的焦点为F1（-1，0），F2（1，0），可 知c＝1，又 因 为|AF2|＝2|F2B|，|AB|＝|BF1|，可设|BF2|＝m，则|AF2|＝2m，|BF1|＝|AB|＝3m，根据椭圆的定义可知|BF1|+|BF2|＝m+3m＝2a，得所 以面，可通过两个方法求a的值.

方法一在△ABF1中，由余弦定理得：

在△AF1F2中，同余弦定理得：

解得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得 椭圆C的 方程为故选B.

方法二可 知 A（0，-b），根据 相似可 得代入椭圆的标准方程得a2＝3，b2＝a2-c2＝2，得椭圆C的方程为故选B.

变式2（2019年课标Ⅰ·理 12）如图6，已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA＝PB＝PC，△ABC是边长为2的正三角形，E、F分别是PA、AB的中点，∠CEF＝90°，则球O的体积为（ ）

图6

解 方法一如图6，设PA＝x，在△APC中，由余弦定理得

在△FPC中，由余弦定理得

又AB＝BC＝AC＝2，易知PA、PB、PC两两相互垂直，故三棱锥P-ABC的外接球的半径为，即三棱锥P-ABC的外接球的体积为故选D.

评注本题也可通过线面垂直定理的判定来证明PB⊥平面PAC，进而得到三棱锥的三条侧棱PA、PB、PC是两两垂直的.

设计意图上述三个例子，可以发现，“算两次”问题，不仅仅只是在解三角形这一章节出现，也可以用在其它带图形的问题，如立体几何，圆锥曲线等.体现一题多解的发散思维，只要方法得当，对相关题目的解决会起到事半功倍的效果.

3 结语

本文以高考题为主探究解三角形与平面几何相合问题的微专题，并得出操作性比较强的方法.在高三复习过程中，确定好的框架范围内，教师通过数学教学课堂，发挥学生的主作用.同时，引导学生观察，分析，探索发现解决问题的途径，及融入解题思路、规律等数学方法技巧.在此基础上，提升学生的运算求解能力，培养其逻辑推理能力，形成良好的数学素养以及清晰的解题思路，由此综合提升学生高考备考的能力.