从八省联考数列解答题的多视角分析谈数列复习备考

南京师范大学附属扬子中学 程 伟 （邮编：210048）

2021年1 月教育部考试中心举行了八省统一模拟考试，其中数列解答题原题如下：

已知各项都为正数的数列{ }an满足an+2＝2an+1+3an.

（1）证明：数列{an+an+1}为等比数列；

纵观全国卷数列题，其难度中等及以下，学生做起来是很顺利的.此题是解答题第一题，但很多学生第二问卡住了，出卷人巧妙地回避了“习以为常的重点”，让考生不知道此数列通项如何求.做完第一问后，可以得出an+1+an＝2·3n-1，平时教学中很多教师受经验主义影响会说此类型即使考到也会构造好，就没有去拓展，在教学中更缺乏让学生主动探究，从而学生在推理、转化方面的能力偏弱.遇见不熟悉的或平时没有练过的就没有思路、无从下笔.而本题也反映出新高考考题并未延续传统的套路，对学生的思维、解题能力要求更高.从某种意义上说这次考题是今后新高考数学命题的风向标，故部分学生对后续的复习备考感到茫然.下面结合课堂评讲此题多视角分析引出的六种解法，谈新高考背景下数列复习备考的思考.

视角1 先猜后证

方法1生1：由条件以及递推关系得到，但后续证明处理不好.

师：想法很好，数列本质就是归纳、发现规律，并证明.可以用数学归纳法完成证明部分.当n＝1，2显然成立.假设n＝k（k≥2，k∈N*）猜想成立，则当n＝k+1时，ak+1＝综上即证.

视角2 奇偶项讨论

师：可以直接求出通项么？

生 2：对 于an+1+an＝f(n)型可以增项相减，讨论奇偶项来求通项.

方法2

②-①得：an+2-an＝4·3n-1，

（1）当n为奇数时：

⇒an＝检验n＝1时也满足.

（2）当n为偶数时：⇒an＝检验n＝2时也满足.

等差数列通项公式课本推导的方法正是累加法，此方法提醒回归课本的重要性.

视角3 构造等比数列

方法 3an+1＝-an+2·3n-1，令an+1+x·3n＝-(an)+x·3n-1，则所 以an-

生3：熟悉待定系数法求通项类型：an+1＝pan+q，完全可以把an+1+an＝2 ·3n-1变形成熟悉的形式.

师：很好，转化与化归思想是高中数学必须具备的素养.这题怎么转化呢？

方法4生4：an+1＝-an+2·3n-1两边同除3n，则

方法3与方法4运用待定系数法构造出等比数列的特征，法4运用转化与化归思想，变形后学生恍然大悟意识到就是平时所学的.也体现出新高考重在思维的考查.

视角4 构造等差数列

师：an+1+an＝2·3n-1能构造等差结构特征么？

生5：左边式能变成“减号”就好办了.

师：如何等价转化呢？

方法5

学生被推理转化所惊叹，趁热打铁，此时提出特征方程的思想，扩展学生视野.

视角5 特征方程

方法6从条件式an+2＝2an+1+3an入手，令an+2+xan+1＝λ(an+1+xan)，解得或就是第一问需要证明的，后续就可以用上述5种方法求解，用则an+2-3an+1＝-(an+1)-3an，又因为a2-3a1＝0，故an+1-3an＝0，{ }an是以为首项，3为公比的等比数列，所以

此方法一出，赢得学生阵阵惊呼，太简单了，直接得到等比数列.也让学生感到知识上的融会贯通，对于学生而言，新高考下数列如何复习才能精准备考呢.

1 夯实基础知识

众所周知，基础不牢，地动山摇.数列的基本知识点建立在数学理解基础上，如等差数列通项公式的推导：累加法；等比数列的通项公式的推导：累乘法；再如两者前n项和分别对应的倒序相加以及错位相减法等.只有这些基础知识扎实理解了，才能融会贯通.基础知识更不能不加理解地死记硬背.

例1（2021北京 10）数列{ }an是递增的整数数列，且a1≥ 3，a1+a2+···+an＝100，则n的最大值为（ ）.

A.9 B.10 C.11 D.12

解析此题乍一看并不是学过的常规数列，仔细分析，若要使n尽可能大，则数列中项递增幅度要尽可能小，故不妨令数列{ }an的首项为3，公差为1的等差数列，其前n项和为Sn，则

故n的最大值为11.故选C.通过本题可以看出基础知识扎实了，分析转化后就是学过的等差数列问题.只有基础牢固，知识在头脑中织成网，解题时才能从容应对.

2 注重理性思维

数学素质教育重要体现之一就是理性思维的品质，其中理性思维的高层次表现就是创新意识，能通过观察、归纳、类比、概括来发现并提出问题，通过抽象、证明来解决问题[1].数列的本质就是观察、归纳、概括，教学中引导学生回归数列的本质，注重理性思维的培养，自然而然数列问题就能迎刃而解.

例2（2020新高考1卷18）已知公比大于1的等比数列{an}，满足a2+a4＝20，a3＝8.

（1）求{an}的通项公式；

（2）记bm为{an}在区间 （0，m]（m∈ N*）中的项的个数，求数列{bm}的前100项和S100.

解析（1）数列中基本量的运算，易得an＝2n.

由于部分学生缺乏理性思维，第（2）问让不少学生止步.认识事物的重要方法：观察——归纳——猜想——证明，本题完全归纳就可以解决.由于 21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，27＝128，故b1对 应 的 区 间 为 ：(0 ，1 ]，则b1＝0；

b2、b3对 应 的 区 间 分 别 为 ：(0 ，2 ]，(0 ，3 ]，则b2＝b3＝1，即有 2个 1；

b4、b、5b6、b7对 应 的 区 间 分 别 为 ：(0 ，4 ]，(0 ，5 ]，(0 ，6 ]，(0 ，7 ]，则b4＝b5＝b6＝b7＝2，即 有22个2；

b8，b9，…，b15对 应 的 区 间 分 别 为 ：(0 ，8 ]，(0 ，9 ]，…，(0 ，15 ]，则b8＝b9＝…＝b15＝3，即 有23个3；

b16、b17、…、b31对应的区间分别为：(0 ，16 ]，(0 ，17 ]，…，(0 ，31 ]，则b16＝b17＝…＝b31＝4，即有24个4；

b32、b33、…、b63对应的区间分别为：(0 ，32 ]，(0 ，33 ]，…，(0 ，63 ]，则b32＝b33＝…＝b63＝5，即有25个5；

b64、b65、…、b100对应的区间分别为：(0 ，64 ]，(0 ，65 ]，…，(0 ，100 ]，则b64＝b65＝…＝b100＝6，即有37个6.

所以S100＝1×2+2×22+3×23+4×24+5×25+6×37＝480.

例3（2021新高考1卷 17）已知数列{ }an满足

（1）记bn＝a2n，写出b1、b2，并求数列{ }bn的通项公式；

（2）求{ }an的前20项和.

解析（1）因为

所 以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5，故b1＝a2＝2，b2＝a4＝5.

又bn-bn-1＝a2n-a2n-2＝a2n-a2n-1+a2n-1-a2n-2＝1+2＝3，则数列{bn}是以b1＝2为首项，以3为公差的等差数列.

所以bn＝2+3（n-1）＝3n-1.

评析第一问中采用部分归纳可猜想{bn}为等差数列，但数学上不严密，自然想到运用定义进行证明，证明时a2n、a2n-2间需要“桥梁”a2n-1，问题得以解决.

（2）方法1由（1）可得a2n＝3n-1，n∈N*，

则a2n-1＝a2n-2+2＝3（n-1）-1+2＝3n-2，n≥2，

当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以a2n-1＝3n-2，n∈ N*，

所以数列{an}的奇数项和偶数项分别为等差数列，

则{an}的前20项和为a1+a2+…+a20＝（a1+a3+ … +a19）+（a2+a4+ … +a20）3＝300.

方法2a1+a2+…+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+ … +a20）

评析方法1由（1）得到a2n的通项公式，自然想到求a2n-1的通项公式，然后分组求和.方法2通过条件式观察出奇数项和偶数项相差2，则无需计算a2n-1的通项公式即可解决问题，而且更节省时间.反应了新高考对思维的要求：想的多、算的少.当然本问对于基础薄弱的学生完全归纳也能得到分数，但时间耗费就很多了.

3 知识交叉融合

新高考背景下试题命制在保证基础题下注重综合性、应用性、创新性，试题以真实问题情境、新颖呈现方式，不仅提高区分度，也考查从解题到解决问题的能力、从做题到做人做事的素养[2].情境化命题会越来越多，不仅考查学生分析问题能力，同时也考查应用数学知识综合处理能力，对四基四能是很好的检验.故复习备考时也要注重情境化背景下知识的交叉融合.

例4（2019全国1卷21）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得-1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得-1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.

（1）求X的概率分布列；

（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，pi（i＝0，1，…，8）表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，pi＝api-1+bpi+cpi+1（i＝1，2，…，7），

其 中a＝P（X＝-1），b＝P（X＝0），c＝P（X＝1）.假设α＝0.5，β＝0.8.

（i）证明：{pi+1-pi}（i＝0，1，2，…，7）为等比数列；

（ii）求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性.

解析（1）本问考查离散型随机变量分布列的求解，由题意知X所有可能的取值为：-1，0，1，所 以P(X＝-1)＝(1-α)β；P(X＝0)＝αβ+(1-α)(1-β)；P(X＝1)＝α(1-β).

故X的分布列如下：

X P-1()1-αβ 0 αβ+()1-α()1-β 1 α()1-β

（2）本问中考查了以下数列知识：利用递推关系式如何证明等比数列、累加法求解数列通项公式、数列中的项的问题.

因为α＝0.5，β＝0.8，

所 以a＝0.5×0.8＝0.4，b＝0.5×0.8+0.5×0.2＝0.5，c＝0.5×0.2＝0.1.

（i）因为pi＝api-1+bpi+cpi+1(i＝1，2，…，7)，

即pi＝0.4pi-1+0.5pi+0.1pi+1(i＝1，2，…，7)，

合并可得：5pi＝4pi-1+pi+1(i＝1，2，…，7)，

所以pi+1-pi＝4(pi-pi-1)(i＝1，2，…，7)，

所 以{pi+1-pi}(i＝0，1，2，…，7) 是 以p1-p0为首项，4为公比的等比数列.

（ii）由（i）知：pi+1-pi＝(p1-p0)·4i＝p1·4i，

所 以p8-p7＝p1·47，p7-p6＝p1·46，…，p1-p0＝p1·40，

累加可得：p8-p0＝p1·(40+41+…+47)＝

p4表示了最终认为甲药更有效的.由计算的结果可以得出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为0.0039，此时可以得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案是合理的.

本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.但背景来源与社会生活的实际，基于真实的情境构建数学模型，将概率和数列有机的交叉融合.解决此类题一定要认真审题，草稿上列出各字母的关系，并转化到学过的知识中去.

针对新高考下数列精准复习备考，教学中需打破这部分内容考查“简单”这一传统思维定势，每一个知识点务必让学生知其所以然，思维导图的方式让所有知识点呈现并植根在学生脑海中.教学中引导学生回归数列本质——观察、猜想，注重学生理性思维的培养，让学生多去探究、思考以及总结.另外复习中也要注意和其他知识点的融合，让学生能融会贯通，提高综合素养.