概率犹豫模糊环境下基于前景理论和TOPSIS法的多属性群决策模型

王志平，傅敏，王沛文

(1.大连海事大学理学院，大连 116026; 2.大连海事大学航运经济与管理学院，大连 116026)

目前，多属性群决策问题正在应用于生活中多个领域，如供应商选择[1]、软件质量评价[2]、和紧急决策制定[3]等。多属性决策问题是现代决策科学的一个重要组成部分，即一个决策者基于多个属性来选择一个最优的方案[4]。考虑到决策问题的性质，可以将此问题分成两类；即个人决策和群体决策。多属性群决策问题考虑的是一些个人视角很难完成的决策，就需要从多视角去做出判断的问题。因此，多属性群决策问题的决策方法的研究十分必要，尤其是模糊信息和犹豫决策这两个方面已经成为学术界的重要研究领域[5]。

生活中，当面对决策环境不确定或者比较复杂的问题时，人们很难直接给出精确的数值给出符合客观实际情况的理智判断，多数情况只能结合自己对评价方案的主观认识用不确定的语言来表达偏好。因此，研究各种语言信息模型是非常必要的。Zadeh[6]提出了传统的模糊集的概念，但是随着社会的发展，模糊集渐渐地无法表示完整的决策问题；针对多属性群决策问题，犹豫模糊集作为模糊集的延伸由Torra等[7]提出，它克服了决策过程中的犹豫性和模糊性。然而，犹豫模糊集在表示各个隶属度的概率时是假设全都相等的，显然，这与每个决策者的个人情况是有差异的这一现实情况相悖，所以，它无法完整的描述决策者对不同隶属度的偏好程度。为了克服犹豫模糊集的缺点，更加精准的表达决策信息，Chen等[8]提出了概率犹豫模糊集的概念，相比于犹豫模糊集增加了每个隶属度的概率信息，可以更精准的表达决策者偏好；随后在该环境下，Zhou[9]开始定义概率犹豫模糊集的距离测度并且应用于紧急决策中；Wang[10]提出了得分函数，偏差度函数和概率犹豫模糊集的比较运算法则；虽然，目前基于概率犹豫模糊环境下的多属性群决策方法多种多样，层出不穷，但是对于考虑决策者心理行为的方法的研究还是不够深入，而且现在大多数基于概率犹豫模糊环境的多属性群决策的方法研究正有意的回避这一方面[11]；然而，来自行为领域的研究表明决策者在做决策的时候并不总是完全理性的，心理侧写在决策管理系统中对决策过程至关重要。前景理论，作为一种最合适的方法来描述决策者的心理偏好，在模糊环境中已经被广泛使用[12]。Wang等[13]将前景理论与逼近理想解排序法(technique for order preference by similarity to an ideal solution，TOPSIS)法用传统的方式相结合应用在犹豫模糊环境下；Yang[14]用后悔理论和前景理论相结合的方法在以区间数为决策信息的情况下，解决了随机多属性决策问题；Dai[15]通过定义毕达哥拉斯模糊集的距离测度，结合前景理论和后悔理论提出了两种求解随机多属性决策问题的方法；Xie[16]将直觉模糊决策矩阵转化为求解区间值直觉的前景决策矩阵去解决多属性决策问题，也取得了一定成果；Ding等[17]又开发了一种动态的基于前景理论和区间值毕达哥拉斯模糊集的方法用于紧急决策的语言变量；朱兴林等[18]又创新性的将前景理论结合理想解法应用到了直觉梯形模糊环境下，解决了应急预案模型的评估问题；Liang等[19]将前景理论与概率犹豫模糊语言进行了结合；高建伟等[20]在此基础上对前景理论进行拓展为累计前景理论在概率犹豫模糊语言环境下进行多属性决策问题的分析。目前，关于应用前景理论的多属性决策方法,大多数是基于属性值是直觉模糊数、犹豫模糊语言、概率语言等，对于采用属性值是概率犹豫模糊语言的少有研究，有的该方面的研究又只考虑了主观决策偏好却忽略了客观求解带来的准确性，虽然解决了决策者心理行为对决策结果的影响，但又过分的只考虑了心理行为的影响，没有进行主客观因素的共同结合，并且在研究中没有对决策者权重进行求解，仅依靠主观人为给定，对结果来说缺乏说服性。为此，提出了在该环境下既有主观偏好有考虑客观计算二者结合的方式进行多属性决策问题的研究。

综上所述，提出了基于概率犹豫模糊环境下的前景理论和TOPSIS法结合的多属性决策方法。首先，对初始决策信息按照概率犹豫模糊语言规范法则进行规范化处理，并且结合群体一致性原则提出了新的对决策者权重系数调节方法，来使评估结果更接近实际情况以及增强决策结果的说服性；其次，采用熵值法求解属性权重，避免仅依靠主观赋权造成的评估结果与实际偏差较大的情况；然后将前景理论思想和TOPSIS法相结合进行排序择优；最后，和其他方法的结果进行对比分析，用实例验证本文方法的可行性和合理性。

1 相关理论基础

1.1 概率犹豫模糊集

定义1[19]给定任意非空集合X，则定义在有限集合X上的一个概率犹豫模糊集可表示为

H={〈x,h(p)|x∈X}

(1)

不完全的概率犹豫模糊集可进行归一化处理，可表示为

(2)

式(2)中：Pi为归一化处理之后的第i个概率犹豫模糊术语集；i为序号；#h为一个概率犹豫模糊集合中概率犹豫模糊元的个数；pi为初始评价矩阵中的第i个概率犹豫模糊术语集。

(3)

(4)

定义4[11]设h1(p)和h2(p)为两个概率犹豫模糊集，如果两者的元素数量相同，则#h1=#h2=#h，同时给出两个概率犹豫模糊集的欧式距离测度公式为

(5)

定义6[9]设是一个概率犹豫模糊集，其得分函数定义为

(6)

基于得分函数，其偏差度函数可定义为

(7)

在得分函数和偏差度函数的基础上，任意两个概率犹豫模糊元h1(p1)和h2(p2)可按照以下原则进行比较：①如果s1[h(p1)]>s2[h(p2)]，则h1(p1)>h2(p2)；②如果s1[h(p1)]d2[h(p2)]，则h1(p1)h2(p2)。其中，s1、s2分别为h1(p1)、h2(p2)的得分函数值；d1、d2分别为h1(p1)、h2(p2)的偏差度函数值。

1.2 前景理论

前景理论又称效用理论，是考虑决策者在决策过程中的不完全理性的心理行为[12]。一般认为，前景价值越大，备选方案越好。前景值的大小表现在价值函数v(Δx)的大小，即与参考点的偏差程度，表示决策者的心理行为，其表达式为

(8)

式(8)中：Δx为收益或者损失值，即与参考点的差值，Δx≥0为决策点超出参考点的值，反之亦然；α和β分别为决策者对收益和损失的敏感系数，满足α<0和β<1，α和β的值越大，表明决策者愿意承担的风险越大；θ为决策者对损失和收益的风险敏感性，θ>1表示决策者对损失更敏感。

依据研究可知，一般情况下，V(0)=0,α=β=0.88,θ=2.25。

前景理论值是基于每个备选方案距离参考点的收益或损失的距离。因此，前景理论的关键是选择一个合适的参考点，通常情况下，选取数据的中间值、期望、积极和消极的解作为理想参考点。选择备选方案与正理想点之间的距离作为参考来得到偏差程度。

(9)

图1 技术路线图

2 概率犹豫模糊多属性决策方法

2.1 多属性群决策问题描述

表1 决策者k的决策矩阵

2.2 调节决策者权重系数

为了使决策结果尽可能的接近事实，考虑到直接给出决策者权重主观性太强，同时可以降低专家在地位、受教育程度、相关经验以及知识了解水平等方面对决策信息带来的非公正影响。Mao等[21]提出了对决策者权重进行重新调节的解决方法。依据不同决策者给出的不同决策信息，结合主观赋权和客观计算的方式得到相应的决策者权重调节系数，如果决策者的评价信息一致时，则给出拥有更高地位、经验更丰富以及知识水平更高的决策者dk更高的调节系数；否则当评价信息不一致时，那么相应的权重调节系数较低。

(10)

(11)

式(11)中：ρkr为专家k和专家r两位决策者的一致性程度；l为决策术语中元素的个数。

ρk表示决策者dk与其他决策者的一致性程度，也就是说决策者dk提供的评价信息在整个评价小组中的受支持程度。同时反映了决策者dk的重要性。在某种程度上来讲，如果dk越重要，相应的调节系数ρk越大，那么决策者dk权重应当适当增加。因此，由事先赋予的主观决策者权重ηk和调节系数ρk来最终确定决策者权重θk。

(12)

2.3 熵值法确定属性权重模型

通常情况下，如果所有备选方案在一个评价属性下的评价值之间的差异越小，则表明这一属性对备选方案的选择与排序所起的作用越小反之，若所有备选方案在某一个评价属性下的评价值偏差很大，就说明该属性对决策起的作用相对较大。因此，就决策方案进行优劣排序的角度考虑备选方案之间评价属性值偏差越大应赋予的权重越大，那么就可以用熵值作为信息不确定性的度量。

根据以上思想，利用熵值法确定评价属性权重的基本步骤如下。

步骤3将距离矩阵D=(dij)m×n利用标准化公式转化为规范化的距离矩阵P=(pij)m×n，其中pij可表示为

(13)

式(13)中：dij为距离矩阵中第i行第j列的值；pij为规范化的距离矩阵中第i行第j列的值。

步骤4根据熵值法求解公式，求出评价属性j下的熵值为

(14)

式(14)中：k=1/lnn且k>0为常数；Gj≥0,j=1,2,…,n。

步骤5最后得到各个评价属性的权重，可表示为

(15)

2.4 基于前景理论和TOPSIS思想确定方案排序

针对在属性权重、专家权重都未知的情况下，利用群体一致性调节法和熵值法对决策者、属性权重进行求解之后，提出了一种基于前景理论和TOPSIS用非传统方式进行结合的排序方式，来解决多属性群决策问题，利用以下步骤构建整体算法模型。

(16)

(17)

(18)

(19)

步骤5计算前景值与理想前景值的加权距离，计算公式分别为

(20)

(21)

式中：d(a,b)=|a-b|。

(22)

(23)

(24)

3 实例分析

3.1 问题描述

实例源自文献[19]，假设先有3位车辆专家对5款车(别克A1、丰田A2、福特A3、奥迪A4、特斯拉A5)的安全性能进行评价排序，选取能够反映其安全性能的5个属性C={C1,C2,…,C5}，其中C1为刹车系统、C2为防抱死系统、C3为稳定性系统、C4为安全气囊系统、C5为车身薄板。3位车辆专家用D={D1,D2,D3}表示，并且这3位专家针对这5款汽车的5个属性给出了概率犹豫模糊决策矩阵。专家给出的主观属性权重均为0.2以及根据经验给出的专家初始权重分别为0.4、0.4和0.2。

3.2 问题求解

步骤1对初始决策矩阵根据式(2)和定义2进行标准化处理得到标准化矩阵(表2～表4)，再根据式(10)～(12)得到用一致性思想调节后的专家权重θ=(0.392 8,0.399 2,0.208 0)T，精确到一位小数可得到决策者最终权重为θ=(0.4,0.4,0.2)T。

表2 专家1给出的标准化决策矩阵

表3 专家2给出的标准化决策矩阵

表4 专家3给出的标准化决策矩阵

表5 专家整体加权决策矩阵

步骤3根据式(16)～式(17)分别计算正、负前景值矩阵结果为

(25)

(26)

步骤4分别按照式(18)～式(19)计算正、负向前景值的矩阵的积极的理想解V(+)+、V(-)+和消极的理想解V(+)-、V(-)-，结果为

V(+)+={0.225 1,0.120 8,0.140 6,0.179 6,0.189 8}，V(+)-={0.019 7,0.057 5,0.045 0,0,0.049 1}，V(-)+={-0.478 4,-0.410 7,-0.434 2,-0.506 5,-0.426 7}，V(-)-={0,-0.278 6,-0.220 5,-0.137 0,-0.110 0}。

步骤5利用式(20)～式(21)分别计算前景值与理想前景值的加权距离。

3.3 对比分析

为了证明所用方法的可行性及有效性，将其与其他方法进行了比较：①本文方法与文献[19]方法进行比较；②本文方法与相对熵及TOPSIS法进行比较。3种模型的方案比较结果如表6所示。

表6 不同方法排序结果

3.3.1 与文献[19]方法比较结果分析

为了更加符合客观事实，在文献[19]的基础上对专家权重系数进行了一致性调节；改变了属性权重的求解方式：文献[19]采用主客观相结合来求得属性权重而排序方式又是单纯的考虑心理行为的前景理论，因此整个模型来看偏主观因此，所提出的方法使用熵值法使用主观评价信息来客观求解属性权重，过程简便、效果直观；在排序方式上也做到了主客观相结合方式在保留前景理论的基础上对前景值进行逼近理想解法的计算，最终获得接近现实的结果。从表6来看，文献[19]的结果为特斯拉是最优选择，而所得出的结果为奥迪是最优选择，两者之所以有差异，可能是因为专家权重直接给出，主观性太强也可能是因为特斯拉作为一款非传统品牌的新能源汽车，有些专家对于新事物的憧憬，造成了主观偏爱。因此本文方法更接近现实情况并更具有说服力。

3.3.2 与用相对熵及TOPSIS法比较结果分析

从表6可知，两种方案的比较结果只有别克和特斯拉存在差异，而二者排名只有一名之差，说明文献[19]的方法确实偏主观;本文方法在调节了专家权重系数、改变属性求解方式以及考虑了心理行为之后得到的结果依然是奥迪，因此证明了本文方法是可行的。

4 结论

所提方法基于文献[19]完善了决策者权重系数的调节，用相对简便的算法——熵值法对属性权重进行求解，并在原有方法的基础上将前景理论与TOPSIS进行非传统式结合，对最终决策模型进行完善，得出如下主要结论。

(1)利用调节决策者权重系数的方法，确定了客观专家权重，将主、客观权重进行结合，得到综合决策者权重值。

(2)利用熵值法，确定了属性权重值。

(3)在概率犹豫模糊环境下，将前景理论和TOPSIS进行结合，得到最终排序结果。

本文方法在原有的基础上进行了改进，但还存在一些问题有待深究。如未来可以对求解概率犹豫模糊术语集之间的距离的公式进行改进等。