水平气井非均匀产剖储层-井筒压降耦合模型

谭晓华，汪盛龙*，孙志扬，王大江，王新强，刘承佚

(1.西南石油大学石油与天然气工程学院，成都 610500；2.江汉油田石油工程技术研究院，武汉 430000；3.青海油田井下作业公司，海西蒙古族藏族自治州 816100；4.西南油气田蜀南气矿，泸州 646000)

对气体储层、运移及流动规律的研究以及所采取的高效开发措施，是提高中国气田高效开发的关键[1-3]。页岩气藏的开采，首先通过压裂技术生成多条人工裂缝，提高页岩气储层渗流能力，过去的研究大多认为各人工裂缝的产量相等，建立的模型中，考虑气井水平段拥有无限导流能力。但实际情况是，页岩气产层中沿井筒方向储层非均质，再加上压裂工艺技术的限制，使得压裂所产生的人工裂缝在裂缝长度、裂缝宽度、裂缝渗透率等方面均不相同，因此在计算页岩气井的压降时更加复杂。

通过调研发现目前中外许多学者在对储层与井筒耦合模型研究中，普遍为常规油气藏得耦合研究，但对气藏多段压裂水平井耦合的相对较少，且大多考虑为地层均质以及单相生产。Dikken[4]和Novy[5]早期对均质油藏以井筒壁面为节点及水平井-油藏耦合进行了研究。刘晓娟等[6]针对某油田的倾斜井，建立了气液两相流动机理模型。匡铁[7]应用数值模拟技术研究井筒与储层的流动耦合，发现紊流是影响水平井产能的主要因素。袁琳等[8]基于物质平衡原理，考虑井筒内产能指数不变，建立了地层两相流和井筒管流的耦合模型。李丽等[9]分析水平井筒内气水流动规律发现水平井筒压力损失取决于气量、水量、轨迹上倾角及轨迹波动起伏程度。杨矞琦等[10]依据高温高压实验数据推导并修正得出稠油水两相压降计算模型。梅海燕等[11]基于低渗气藏渗流机理，考虑启动压力梯度、非达西流动和压敏效应，建立了低渗气藏压裂水平井稳态产能模型，表明虽然水平井筒长度的增加能够有效增加产量，但井筒内的压力损失对产量的影响更加明显。

因此，充分考虑前人研究的经验，在考虑油管大下深的情况下将井筒水平段压降分为环空回流段和套管变质量流段两部分压降进行计算，同时考虑了摩擦压降、加速度压降和重力压降的影响，进行产剖测试和产能分析[12-14]，建立非均匀产剖下的储层和井筒压降耦合模型，对耦合模型进行实例计算和敏感性分析。

1 产剖储层-井筒压降耦合模型

1.1 物理模型及基本假设

页岩气藏压裂增产后，在储层内部形成了复杂的流动网络，且存在页岩气的吸附解吸及扩散等效应，将页岩气储层分为裂缝系统与基质系统，模型分为储层系统和井筒系统，考虑裂缝渗流与井筒管流的耦合作用。

当气井生产时，无油管井筒段的水力裂缝内流体流出，汇集于井筒内并向油管井筒段方向流动，而油管井筒段的水力裂缝内流体流出裂缝后，汇聚于油管外部的环空，向无油管井筒段方向流动，水平段两部分流体汇聚于油管鞋位置后，流入油管内，如图1所示。

图1 油管下入页岩气井产层物理模型示意图

基本假设：非均质储层的页岩气井单井生产，仅考虑裂缝系统中的气水两相渗流，不考虑水溶气的影响。在水力压裂后，沿水平井筒方向产生N条垂直裂缝，完全穿透产层且裂缝为双翼对称，页岩气先由基质流入裂缝，再由裂缝汇入井筒中，井筒内的流体均来自裂缝[15]。

1.2 水平井全井筒压降公式

1.2.1 垂直倾斜段压降

对于水平井的测压数据，由于工艺的限制，一般测试只到达A靶点附近，即测试垂直段到倾斜段的压力变化情况，对于垂直段和倾斜段气液两相压降的计算，使用修正后的Gray[16]模型可以较好地拟合压降情况。

(1)

式(1)中：p为压力，MPa；h为垂直深度，m；G为重力，N；ζ为气体体积分数；ρg为气相密度，kg/m3。ft视摩擦因子；g为重力加速度，m/s3；D为管道直径，m；ρmi为混合物密度，kg/m3；ρmf为无滑脱混合物密度，kg/m3；gc为转换因子。

ζ构成了表示反转现象的简化模型，其值受相对密度、压力及温度的影响，表达式为

(2)

式(2)中：Nv为速度准数；ND为管径数；B为体积系数，m3/m3；R为液相表观流速与气相表观流速的比值，无因次。

1.2.2 气液两相管流压降

在多相流压降计算模型中，Hagedorn-Brown模型使用较为广泛，在考虑加速度损失后[17-18]，井筒内气液两相流压降计算基本方程可表示为

(3)

式(3)中：ρm为气液混相密度，kg/m3；vm为气液混相速度，m/s；fm为气液两相摩阻系数；d为油管直径，m；θ为管斜角，(°)；z为垂直深度，m。

式(3)等号右侧依次为单位压降的重力损失项、摩阻损失项和加速度损失项。在水平井筒中，其重力损失项可忽略不计。

气液混相密度计算公式为

ρm=α1ρ1+αgρg

(4)

式(4)中：ρg、ρ1分别为气相、液相密度，kg/m3；α1、αg分别为体积含气率和含液率，无因次。

气液混相速度可表示为

(5)

式(5)中：Qm为混相体积流量，m3/s；A为油管流通横截面积，m3。

两相摩阻系数fm表达式为

(6)

两相雷诺数计算公式为

(7)

1.2.3 环空回流和管变质量流压降

当油管下入页岩气井产层后，气井井筒水平段被分为两个部分，分别为油管井筒段与无油管井筒段。由于多段压裂工艺在水平段产生了多条裂缝，环空的回流段和套管水平段均受裂缝汇入流体的影响，环空回流段流体的流动有环空回流和受裂缝汇入影响的变质量流，套管水平段流体的流动有套管气液两相管流和受裂缝汇入影响的变质量流。故可建立环空回流的压降模型和套管变质量流的压降模型，分别如图2、图3所示。

qi、qi+1、qi+2、qi+3为裂缝汇入的变质量流

qi、qi+1、qi+2、qi+3代表裂缝汇入的变质量流

环空回流的压降模型与套管变质量流的压降模型研究类似，将井段分为N个微元段，每个微元段包含多相流和裂缝汇入的变质量流，储层流体通过裂缝汇入井筒，与上游的流体汇合后继续流向油管鞋处。分别计算流体通过每个裂缝和每一段环空(套管流动)的压力降，通过压力的叠加原则可以得到整个环空水平段和无油管短的压力分布情况。

首先对井筒中的气液两相流体性质及流动状态进行设定：①水平井筒中的液相为压裂返排液，视作不可压缩流体；②井筒中气液两相之间不会发生质量传递的情况；③在流动过程中流体不会对外界做功。

因此，环空段每个微元段的总压降为环空多相流压降和裂缝汇入压降，总压降表达式为

Δp(i)=ΔpAnn(i)+Δpcra(i)

(8)

式(8)中：ΔpAnn(i)为气液两相流在第i个环空段压降，MPa；Δpcra(i)为气液两相流在第i个裂缝汇入段压降，MPa。套管段每个微元段的总压降为井筒多相流压降和裂缝汇入压降，总压降表达式为

Δp(i)=Δpbus(i)+Δpcra(i)

(9)

式(9)中：Δpbus(i)为气液两相流在第i个套管段压降，MPa。

第i个裂缝汇入前后微元段上下游压力差表达式为[19]

(10)

式(10)中：ρ为混相相对密度，kg/m3；A为流过截面的面积，m3；pu为微元段上游压力；pd为微元段下游压力；h14为单位质量流体混合前后的能量损失；q为气液混合物在入流处的流量，m3/s；v1为微元段上游的流体速度。

对于水平井井筒环空和套管气液两相流压降的计算，釆用与水平井筒气液两相管流压降计算相同的方法，并视井斜角大小考虑重力作用。压降可表示为重力压降、加速度压降，井壁摩擦压降的总和[20]，可推导出水平井井筒环空气液两相流压降梯度和套管气液两相流压降梯度表达式。

气液两相流在第i个环空段压降可表示为

ΔpAnn(i)=Δpgra(i)+Δpfri(i)+Δpacc(i)

(11)

气液两相流在第i个套管段压降可表示为

Δpbus(i)=Δpgra(i)+Δpfri(i)+Δpacc(i)

(12)

式(12)中：Δpgra、Δpfri、Δpacc分别为重力压降、井壁摩擦压降、加速度压降，MPa。

其中重力压降为

Δpgra(i)=ρm(i)gsinθ(i)

(13)

加速度压降为

(14)

井壁摩擦压降为

(15)

(16)

式中：当Δpfri(i)为套管段中的摩阻压降时，Y=0。

利用压降叠加法可获得整个水平井环空段(套管段)的总压降为

(17)

式(17)中：Δp(i)为气液两相流在第i段的压降，MPa。

根据环空回流压降和套管压降的计算，最终可得到整个水平井水平段的压力分布。

1.3 产剖测试分析

常规页岩气多段压裂水平井的压裂缝约为60簇左右，且由于储层非均质性以及压裂工艺等因素，各簇的产量相差较大[21]。

在一定的工作制度下，进行水平井FSI产剖测试，测试项目包括伽马值、信号幅度、温度、流动压力、沿井筒截面的持水率、持气率和微转子流量，综合解释后可以得到沿水平井段的总产气和产液剖面，得到各射孔簇的气产量贡献和液产量贡献。

基于产剖测试，可以得到各压裂簇产气产水情况，基于F气田39口页岩气井产剖测试结果得出，各井产气产水剖面相差较大，如图4、图5分别为一口页岩气井产气及产水剖面测试结果，按主力产气/水簇的位置可将产气井分为三类，产气/水簇集中于根端、集中于趾端以及均匀分布情况。

图4 产气剖面测试结果

图5 产水剖面测试结果

1.4 页岩气井产能分析

在水力压裂后，沿水平井筒方向产生N条垂直裂缝，穿透产层，页岩气先由基质流入裂缝，再由裂缝汇入井筒中，井筒内的流体均来自于裂缝。

每组水力裂缝从左右两翼进入产层，页岩气和压裂返排液由裂缝汇入水平井筒，每一组裂缝中的流动过程可以视为一个小型的平面径向流。求取每组裂缝的产能时，井底流压即此段井筒处的井筒压力Pwfi，边界压力为裂缝尖端压力，流动半径近似表达为裂缝延伸长度，气藏厚度近似表达为裂缝宽度。裂缝中气水两相运动方程分别为

(18)

(19)

式(19)中：k为气藏绝对渗透率，m2；μg、μw分别为气相、液相黏度，Pa·s；vg、vw分别为气相、液相速度，m/s；krg、krw分别为气相、液相相对渗透率；r为气体在裂缝中的流动半径，m。

对式(18)、式(19)积分得

(20)

(21)

式中：pe为地层压力，Pa；pwf为井底流动压力，即第i条裂缝处的井筒压力，Pa；re为单井控制半径，即裂缝延伸长度L，m；rw为井眼半径，m；qgi、qwi分别为气相、液相流量，m3/s；Bg、Bw分别为气、水的体积系数，m3/m3。

气水两相拟压力可表示为[22]

(22)

(23)

故式(20)和式(21)可写为

qgi=CiΔm(p)g

(24)

qwi=CiΔm(p)w

(25)

(26)

式中：Ci为产能系数；S为表皮系数。

从产能公式[式(21)、式(22)]可以看出，要求页岩气井两相产能，需要计算气水两相相对渗透率，而气水两相相对渗透率与含水饱和度之间的经验公式为[23]

(27)

(28)

式中：Sw为地层含水饱和度；Swi为原始地层含水饱和度；D′为相渗指数。

Jokhio等[24]提出了利用生产气水比Rgw来计算相对渗透率比值的方法，Rgw可表示为

(29)

故气水两相渗透率的比值可表示为

(30)

联立式(27)、式(28)和式(30)，可最终求得气水相对渗透率的值，进而计算得到气水两相的拟压力，从而推导出页岩气井单一裂缝的两相产能公式。

由于储层非均质性以及压裂工艺等因素的影响，各裂缝渗流阻力各不相同，通过产剖测试结果可以得到当前压力情况下的各裂缝产能分布，结合产能公式可以反算求得各裂缝产能系数Ci，进而通过叠加法求得考虑非均匀产剖情况下的整个页岩气井产能。

(31)

(32)

式中：Qg为气井总气相流量，m3/s；Qw为气井总液相流量，m3/s。

2 计算模型求解

基于之前建立的水平井筒变质量流的压降公式和裂缝渗流的产能公式，根据井筒内压力和流量的连续性，对储层和井筒的流动进行耦合求解，可以计算得到页岩气井整个水平段的压力分布。计算步骤如下。

步骤1输入气井井身结构参数、生产参数、流体性质参数及产剖测试数据，通过裂缝产能公式反算得到各裂缝的产能系数Ci。

步骤2通过修正的Gray模型计算油管内的压力分布，得到油管鞋处的井筒压力。

步骤3对于油管段，通过式(11)计算环空中第i段压力分布，得到第i条裂缝入口处压力Pwfi，再通过式(24)和式(25)计算第i条裂缝的汇入流量，并通过式(10)计算通过第i条压裂缝时的汇入压降以及通过第i条压裂缝后的轴向流量，以此类推，直到i等于裂缝数N，计算得到整个环空回流段的压力分布情况。

步骤4对于无油管段，通过式(12)计算套管中第i段压力分布，得到第i条裂缝入口处压力Pwfi，再通过式(24)和式(25)计算第i条裂缝的汇入流量，并通过式(10)计算通过第i条压裂缝时的压降和通过第i条压裂缝后的轴向流量，以此类推，直到i等于裂缝数N，计算得到整个套管段的压力分布情况。

步骤5最终计算得到整个水平段汇入流体分布及全井筒压力分布情况。

计算程序流程如图6所示。

图6 计算程序流程图

3 模型实例应用

3.1 数据处理与分析

计算实例井相关参数如下：完钻井深4 770.00 m，垂深3 003.32 m，生产油管内径0.043 m，外径0.05 m，生产套管内径0.115 m。将气井井身结构参数和产剖测试数据输入程序，计算油管下入3 600 m时气井全井筒压力分布，绘制页岩气井全井筒压力分布图(图7)。可以看出，油管鞋位置为整个水平段压力最低点，从油管鞋位置向水平段两端压力逐渐增加。

图7 页岩气井全井筒压力分布

3.2 分析不同油管下深和生产动态对压力分布的影响

3.2.1 油管下深

计算并绘制不同油管下深情况下的水平段压力分布情况，依次取油管下深为3 500、3 900、4 300 m。如图8所示，随着油管下深的增加，水平段油管内压力逐渐增加，环空及无油管段压力也随之增加，即生产所需的最低压力逐渐升高。

图8 不同油管下深时水平段压力分布情况

3.2.2 产气量

取油管下入深度为3 800 m，计算并绘制不同产气量情况下的水平段压力分布情况图，依次取产气量为4×104、6×104、8×104m3/d。如图9所示，随着日产气量的增加，水平段油管内、环空及无油管段压力均随之增加，即生产所需的最低压力逐渐升高。

图9 不同产气量时水平段压力分布情况

3.2.3 产水量

取油管下入深度为3 800 m，计算并绘制不同产水量情况下的水平段压力分布情况，依次取产水量为20、30、40 m3/d。如图10所示，随着日产气量的增加，水平段油管内、环空及无油管段压力均随之增加，即生产所需的最低压力逐渐升高。

图10 不同产水量时水平段压力分布情况

4 结论

(1)使用修正后的Gray模型来计算垂直段和倾斜段气液两相压降，考虑裂缝汇入井筒压降、环空回流压降和无油管段的压降，计算水平段多相流压降，最终得到水平井全井筒多相压降模型。

(2)基于水平井筒变质量流的压降公式、裂缝渗流的产能公式和井筒内压力和流量的连续性，联立裂缝的产能方程与井筒多相流压降模型，建立了水平气井非均匀产剖储层-井筒压降耦合模型，通过应用程序进行实例计算可得到水平井整个水平段的压力分布。

(3)通过F页岩气田的真实数据进行实例计算得出油管下入水平气井产层后，油管鞋为井筒水平段压力最低点，从油管鞋位置向水平段两端压力逐渐增加随着油管下入深度和产气产水量的增加，生产所需的最低压力也逐渐升高。