基于椭球凸模型的结构模糊可靠性分析

聂晓波，李海滨

(1.内蒙古工业大学机械工程学院，呼和浩特 010051；2.内蒙古工业大学理学院，呼和浩特 010051;3.内蒙古自治区先进制造技术重点实验室，呼和浩特 010051)

随着科学技术的发展，人们逐渐认识到结构工程中不仅存在随机不确定性[1]，还存在模糊不确定性[2]。对于随机不确定性问题，常常可以用概率或非概率可靠性[3]分析方法处理。概率可靠性分析模型的建立往往需要大量的信息来确定概率分布。非概率可靠性分析方法只需要知道不确定变量的变化边界，就能有效地计算可靠度。对于模糊可靠性问题，样本数据往往较少。由于难以直接求解，模糊可靠性问题可以转化为非概率可靠性问题。

在结构的非概率可靠性分析方法中, 建立在凸集模型基础上的结构非概率可靠性的模型,包括超立方盒模型和超椭球模型。超立方盒模型也是区间模型，它是由变量上下边界进行描述的，形成一个不确定域是多维的立方盒子。超椭球模型是通过椭球体的尺寸和形状来描述变量的不确定域。文献显示，基于区间模型的非概率可靠性比基于椭球凸模型的非概率可靠性更为保守，椭球模型得到的可靠性指标更接近于实际,更加合理[4-5]。Jiang等[6]提出了建立不确定性多维椭球体的有效方法，并且建立了非概率凸模型的相关分析技术。Bai等[7]提出了基于非概率可靠性分析的响应面法，用于不确定性结构的凸模型，并高效地构造了多维椭球体来表征不确定性参数。Liu等[8]提出了一种基于混合不确定性模型的可靠性分析新方法，并用椭球凸模型来量化不确定性。Zhang等[9]对基于凸模型的基本变量进行了矩无关的全局灵敏度分析，建立了求解全局灵敏度指标的主动学习克里金法。Luo等[10]利用基于多椭球凸模型的非概率可靠性量化测度，研究了参数不确定但有界的连续体结构拓扑优化问题。Qiao等[11]研究了椭球凸模型约束下参数不确定结构的非概率可靠性问题，提出了一种非概率可靠性模型，以安全区体积与基本变量区总体积之比作为结构可靠度的度量，证明了所提出的非概率可靠度模型与概率可靠度模型的相容性。Kang等[12]系统研究了一组给定样本数据构造最小体积椭球凸模型的数学公式，并展示了它在现有的有界不确定结构非概率可靠性分析和设计优化方法中的应用。

针对结构模糊可靠性问题，提出了一种基于模糊分解定理的超椭球凸模型响应面法，适用于隐式结构功能函数的模糊可靠性求解问题。利用模糊分解理论，将模糊变量转化为不同置信水平下的区间变量，通过区间变量来建立超椭球凸集模型，再利用响应面法来求解结构的模糊可靠度。

1 模糊变量标准化

1.1 可能性理论

πX=R(X)

(1)

则有

(2)

1.2 模糊变量的转换

(3)

因为可能性分布可以看作是模糊子集，在数值上可能性分布与隶属函数是相等，故令

(4)

式(4)中：xc为区间变量的均值；xr为区间变量的半径。

则模糊变量分解成一系列水平截集下的区间变量，并标准变换为

(5)

2 超椭球凸模型

i=1,2,…,n

(6)

分别为区间变量1和区间变量分别为区间变量1的均值和半径；分别为区间变量2的均值和半径；θ为椭圆与其正常状态的旋转角度

2.1 多维椭球参数不确定度

则协方差和相关系数可分别表示为[12]

(7)

(8)

式中：-1≤ρx1x2≤1可用于表示两个不确定参数的线性相关程度，无量纲。

创建特征矩阵和协方差矩阵，获得多维椭球参数不确定度为[6]

(x-xc)TGi(x-xc)

(x-xc)=UTρ-1U

(9)

式中：Ci为第i个超椭球集合的协方差矩阵；xc为均值；ρUnUn为Un的相关系数。

2.2 非概率可靠度性指标

对特征矩阵Gi分别进行特征值分解

(10)

式(10)中：Qi为由特征向量组成的正交矩阵；Λi为由特征值组成的对角矩阵；I为单位矩阵。

(11)

式(11)中:q为标准空间下的标准化向量。

经标准化变换后，椭球模型转换成为标准空间(或q空间)下的单位球体(半径为1)集合Ec，称qi为第i组区间向量对应的标准化向量。此时，极限状态曲线g(q)=0将标准空间划分成安全域g(q)>0和失效域g(q)<0，图2为单椭球模型的非概率可靠性度量，曲线为极限状态曲线，记η为极限状态曲线到原点的最短距离，当η>1，此时结构可靠；当η<1，此时结构失效；当η=1，结构处于临界失效状态。

q1、q2为第1，2组区间向量对应的标准化向量；r为单位超球体半径

椭球模型经标准化变化为一个半径为1的单位超球体，利用Euclidean范数来定义空间内的长度，则原点到极限状态曲面的最小距离可表示为

(12)

故超椭球模型下的非概率可靠度指标定义为

(13)

该可靠度指标具有与概率可靠度指标完全相同的表达形式。

3 非概率可靠度指标的求解

结构的非概率可靠性分析与计算的方法主要有转化法、定义法、优化法、截断法、组合法及响应面法[14]。工程中常用转化法、定义法和优化法。其中转化法和定义法是准确解的求法，而优化法则是近似解的求法。基于超椭球凸集模型的结构非概率可靠性分析方法主要有最小体积法[15-16]和响应面法等，最小体积法只适用于简单、低维、少样本的问题，而响应面法式针对隐式极限状态面情况，采用响应面法求解结构的非概率可靠度。

3.1 响应面法

响应面法(response surface methodology,RSM)是试验设计中的一种基本方法，采用响应面函数代替隐式功能函数的思想，实现隐式极限状态的结构可靠性的求解。

通常采用二次多元多项式拟合功能函数，设随机变量为x，则响应面函数为

=a0+aTx+xTBx

(14)

式(14)中:a0、ai和bij为待定系数，a=(a1,a2,…,an)Τ，B=[bij]=BΤ。

忽略交叉乘积项，得到非完全二次多项式为响应面函数，即

(15)

式(15)中：共有2n+1个待定系数，分别为a0、ai、bi。

对于待定系数的确定，需要通过试验设计确定试验点，并通过结构有限元等数值分析方法计算得到样本点的结构功能函数值的估计值。实验设计方法有随机试验及因子设计等，因子设计包括二水平全因子设计、部分因子设计、中心复合设计及Box-Behnken设计等。采用中心复合设计生成试验点，并计算结构功能函数值。试验点的选取需要尽可能地靠近真实失效面，才能保证响应面很好地拟合失效面，可以通过多次迭代找到最靠近真实失效面的试验点，最终求得可靠指标。具体步骤如下。

步骤1通常取平均值点作为初始迭代点x=μx。

步骤2同时利用中心复合设计展开点x，生成试验点。

步骤4求解线性方程组[式(16)]，确定响应面函数的待定系数，从而得到响应面函数。

(16)

步骤5采用一次二阶矩法计算结构可靠度指标η及设计点x*。

(17)

式(17)中：x*为变量xi的设计点；μxi和σxi分别为变量xi均值和标准差。

步骤6通过线性插值获得新的展开点，可表示为

(18)

式(18)中：μx为变量的均值。

3.2 计算流程

流程图如图3所示，模糊超椭球响应面法的计算流程为：首先，通过在置信水平[0，1]內遍历隶属度值确定结构可靠度的可能性分布函数，将模糊变量转化成置信水平[0，1]下的区间变量；其次，建立超椭球凸集模型，同时将超椭球转换为单位超球体，得到非概率可靠度指标：表示为从原点到极限状态曲面的最短距离；最后，利用响应面法求解结构非概率可靠度时，采用中心复合设计生成试验点，通过多次迭代找到原点到极限状态曲面的最短距离点，并求得可靠度指标，得到遍历置信水平的结构模糊可靠度。

图3 求解可靠度流程图

4 算例

利用所提方法[即模糊超椭球响应面法(RSM)]对各算例的结构模糊可靠度进行计算，同时将模糊分解定理与一次二阶矩法相结合(HL-RF)，模糊分解定理与蒙特卡洛法相结合[简称模糊蒙特卡洛法(MCS)]计算各算例的结构模糊可靠度。并以模糊蒙特卡洛法的计算结果作为理论值，以做对比。

4.1 压力容器算例

图4 三角形隶属函数

(19)

求应力时，首先根据弹性力学的方法，求得对称厚壁球形容器在弹性变形范围内的应力分量，然后求得它的最大等效应力均值，可表示为

(20)

(21)

利用本文方法、一次二阶矩法及蒙特卡洛法计算得到不同截集下的模糊可靠度值，如表1所示。同时绘制结构的隶属度函数图，如图5所示。

表1 不同水平截集下的可靠度值

从图5可以看出，当λ取不同的值时，采用本文方法将模糊变量转换成相应的区间变量，取区间变量的半径和中心为均方差和均值，计算得到不同的可靠度值。与模糊蒙特卡洛法比较，本文方法求得的可靠度值绝对误差及相对误差都很小，说明模糊椭球凸集响应面法计算含模糊变量的结构可靠度问题的正确性。与模糊一次二阶矩法比较，本文方法求得的可靠度值与一次二阶矩法计算得到的可靠度值基本相同，说明响应面法拟合结构功能函数的准确性。所提出的模糊超椭球响应面法适用于隐式功能函数的情况，为了方便与其他方法的对比，本算例功能函数为显性，而采用响应面法计算可靠度时以二次多元多项式近似结构功能函数，拟合失效面，从而计算得到的可靠度值。而模糊一次二阶矩法及模糊蒙特卡洛法均以真实结构功能函数为基础计算得到的可靠度值。

图5 可靠度隶属函数图

4.2 简支梁算例

图6 受均布载荷的简支梁

图7 三角形隶属函数

图8 三角形隶属函数

解：该简支梁的结构功能函数为

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

qc=213-3λ

(27)

qr=9-9λ

(28)

Rc=550-10λ

(29)

Rr=30-30λ

(30)

得到其均值及方差，并构造超椭球凸集模型为

(31)

式(31)中：ρrr、ρrq、ρqr、ρqq为变量r、q的相关系数；C为协方差矩阵。

采用响应面法计算得到不同水平截集下的模糊可靠度，同时采用模糊一次二阶矩法及模糊蒙特卡洛法求得模糊可靠度以作对比，将计算结果列于表2，并利用表2中的数据绘制出可靠度隶属度函数，如图9所示。

表2 不同水平截集下的可靠度值

图9 可靠度隶属函数图

由表2和图9可以看出，本例中，采用模糊超椭球响应面法计算结构模糊可靠度时，同样以二次多项式近似结构功能函数，拟合失效面，计算得到可靠度值。与模糊一次二阶矩法及模糊蒙特卡洛法相比，计算结果基本相近，误差较小，满足工程需求。与模糊蒙特卡洛法相比，模糊超椭球响应面法的计算量较小。

4.3 十杆桁架结构算例

图10 十杆桁架结构示意图

(32)

(33)

(34)

假设结构其他参数，如弹性模量、材料密度、杆件长度以及作用载荷均为确定性变量。载荷P=45 360 kg，杆件长度L=914 cm，弹性模量E=6.895×107kPa，顶点2的许用位移值dallow=11.43 cm。求解结构的模糊可靠度。

解：本算例为隐式结构功能函数的情况，首先利用模糊分解理论，将模糊变量转化为不同置信水平下的区间变量，并建立超椭球凸集模型，再利用响应面法来求解凸集模型的可靠度指标，得到结构的模糊可靠度。

针对任一置信水平λ下的区间变量，利用中心复合设计生成试验点，并采用有限元分析程序估计结构功能函数值，确定响应面函数待定系数，拟合得到近似结构功能函数。

如λ=0.5时，利用中心复合设计生成试验点A1、A2、A3，并采用有限元分析程序估计结构功能函数值g值，如表3所示。

表3 λ=0.5时的试验点及结构功能函数估计值

计算得到响应面函数待定系数，拟合得到近似结构功能函数

得到其最佳试验点为(10.758 7，1.603 9，7.442 7)。计算得到λ=0.5时的可靠度为0.878 471。

依次计算λ分别取0.1，0.2，0.3，0.4，0.6，0.7，0.8，0.9，1时的可靠度，结果表4所示，并绘制可靠度隶属函数(图11)。

表4 不同水平截集下的可靠度值

图11 可靠度隶属函数图

因本算例为隐式结构功能函数的情况，故只采用所提方法模糊超椭球响应面法来计算结构可靠度。由表4及图11可知，在不同置信水平下，结构的可靠度值不同。在每一个水平截集下，通过响应面法拟合形成不同的相应函数，最终求得不同的可靠度值。

5 结论

针对隐式结构功能函数的模糊可靠性分析问题，提出了一种基于模糊分解定理的超椭球凸模型响应面法。首先将结构模糊可靠性分析问题等价地转化为一系列非概率可靠性分析问题，将模糊变量转换成区间变量；其次建立超椭球凸模型，将超椭球转换成单位超球体，非概率可靠度指标表示为从原点到极限状态曲面的最短距离；最后根据非概率可靠度指标与概率可靠度指标形式相同的特点，采用响应面法求解可靠度，得到遍历水平截集的结构模糊可靠度。得出如下结论。

(1)为了方便与其他方法的对比，在算例一和算例二中分别采用显式功能函数的结构进行模糊可靠性分析。采用模糊超椭球响应面法计算可靠度时以二次多元多项式近似结构功能函数，计算得到的可靠度值与以真实结构功能函数为基础的模糊一次二阶矩法及模糊蒙特拉洛法计算得到的可靠度值相比，存在一定的误差，但误差较小，满足工程要求，证明所提方法的有效性。

(2)在计算量方面，与模糊蒙特拉洛法相比，模糊超椭球响应面法的计算量要小很多。在算例三中，采用隐式功能函数的结构进行模糊可靠性分析，结果显示所提方法适合隐式功能函数模糊可靠度的求解。所有算例结果表明，所提方法的有效性和准确性，为隐式结构功能函数的模糊可靠分析与计算提供了一种可行途经。