基于K 均值聚类的SPPM 分步分类检测算法

王惠琴，侯文斌，彭清斌，曹明华，黄瑞，刘玲

（兰州理工大学计算机与通信学院，甘肃 兰州 730050）

0 引言

近年来，随着移动用户数的迅速增长以及各种信息传输业务的急剧增加，人们对无线光通信（WOC,wireless optical communication）技术的通信质量和传输速率提出了更高的要求。空间调制（SM,spatial modulation）作为一种新型多输入多输出（MIMO,multiple-input multiple-output）技术[1]，为提高通信质量和传输速率提供了一种有效措施。它在每个传输符号周期内只激活一根发射天线，即只建立一条通信链路，从而有效避免了存在信道间干扰（ICI,inter-channel interference）和对天线间同步（IAS,inter antenna synchronization）要求高的难题。因而受到了学者的广泛关注，尤其是在大规模MIMO 系统中已成为主要研究热点之一。

目前，关于WOC 系统中光空间调制（OSM,optical spatial modulation）技术的研究已取得了丰硕的成果[2-6]。一方面，学者采用二进制通断键控（OOK,on-off keying）、脉冲位置调制（PPM,pulse position modulation）和脉冲幅度调制（PAM,pulse amplitude modulation）等强度调制与OSM 相结合分别提出了光空移键控（OSSK,optical space shift keying）[2]、空间脉冲位置调制（SPPM,spatial pulse position modulation）[3]以及广义光空间调制（GOSM,generalized optical spatial modulation）[4]等各种调制方案。另一方面，考虑大气环境中的影响因素（如大气湍流、衰减和瞄准误差等），分析已有调制方案的误码性能[5-6]。信号检测作为WOC 系统中的重要环节，其可靠性与计算复杂度是影响整个通信系统能否走向实用化的关键因素。由于室外环境的复杂多变，使大气信道具有更强的时变性和随机性，这就导致无线光通信中信号检测的难度更大。虽然有关光空间调制技术方案的研究较多，但有关其信号检测算法的研究还较少。目前常用的信号检测算法主要有最大似然（ML,maximum likelihood）检测算法[7]、常规线性检测算法和基于压缩感知（CS,compressed sensing）的信号检测算法[8]等。其中，ML 检测算法因计算复杂度较高而限制了其在实际场景中的应用。常规线性检测算法如最小均方误差（MMSE,minimum mean square error）检测算法和迫零（ZF,zero-forcing）检测算法虽具有较低的复杂度，但其误码性能有限，且仅适用于光源数目小于探测器数目的通信场景。基于压缩感知的信号检测算法虽能够有效降低译码复杂度，但其仅适用于具有稀疏特性的OSM 系统。信号检测算法的可靠性和计算复杂度已成为影响OSM 系统性能提升的瓶颈，因此，研究适合于OSM 系统且具有更低计算复杂度的检测算法已迫在眉睫。

近年来，机器学习的出现为信号检测问题提供了新的解决思路[9-16]。它根据信号特点可将传统求解最小欧氏距离问题转化为分类解映射问题，并以此获得计算复杂度低、误比特性能好、实用性强的信号检测算法。在射频（RF,radio frequency）通信领域，已有学者将机器学习相关算法引入信号检测中，尤其是具有优良分类性能的K 均值聚类（KMC,K-means clustering）算法。其中，Liang 等[9]首次提出了一种适合于空移键控（SSK,space shift keying）的KMC 盲检测算法，将信号检测转化为聚类和解映射2 个子问题，降低了译码复杂度。但是，该算法存在错误平台效应，且只适合于SSK 系统。后来，针对KMC 算法用于MIMO 系统信号检测中存在模糊尺度的现象，该团队又提出一种编码辅助的K 均值聚类（CKMC,coding-aided K-means clustering）盲检测算法[10]。You 等[11]将KMC 盲检测应用于正交振幅调制/相移键控调制（QAM/PSK,quadrature amplitude modulation/phase shift keying）的SM 系统中，并利用最大化最小欧氏距离的思想来优化初始化质心，有效解决了传统KMC 算法存在的错误平台效应。王刚[12]针对收发天线均为4 的SSK 系统，提出一种基于KMC 算法的局部解映射方案，实现了计算复杂度的降低，但未能推广到任意天线配置的通信系统。Zhang 等[13]考虑到信息序列的随机性，通过约束每个簇内接收信号的数目进一步优化了空间调制盲检测器的误比特率性能。Yuan 等[14]针对接收信号的聚类问题，提出了一种基于高斯混合模型的期望最大化算法，从而降低了信号检测的复杂度。Zhang 等[15]将迭代聚类中聚类分配问题转化为图论中最小代价流线性网络优化问题，由此提出一种基于图论的聚类检测框架，有效解决了KMC 算法易陷入局部最优的难题。文献[16]利用数字调制星座的旋转对称性，构建了一种提前终止KMC 算法迭代的框架，在保证SM-MIMO 系统性能的基础上进一步降低了计算开销。综上所述，文献[9-16]均假设在慢衰落信道条件下，研究了射频领域SSK/SM 系统中基于KMC 及其改进算法的盲检测器，从而获得了较ML 复杂度更低的译码算法。

与射频通信不同，目前无线光通信系统大多采用强度调制/直接检测的方式，这就导致上述射频领域中的相关检测算法无法直接应用于采用强度调制构建的光空间调制系统。为进一步加速和推广OSM 的应用，本文提出了一种基于KMC 的SPPM分步分类检测算法。通过对样本进行离线训练得到质心与调制符号间的映射关系，并以该映射关系为准则对接收信号进行实时检测。所提算法能够在取得近似最优误比特率的基础上实现译码复杂度的有效降低，而且它还适用于光源数目大于探测器数目的通信场景。

1 光空间脉冲位置调制系统模型

对于一个有Nt个光源（LD（laser diode）或LED（light emitting diode））和Nr个光电探测器（PD,photo detector）的SPPM 系统而言，其系统模型如图1 所示。

在图1 中，发送端的二进制数据流经过串/并变换后被分成长度为mbit 的数据块。该数据块被再次分成m1和m2两部分，其中，m1=lbNtbit 被映射为光源索引号，m2=lbLbit 被映射为PPM 符号，L表示调制阶数。经过光源索引映射和调制符号映射后，将PPM 符号加载在激活光源上由光学天线发送出去。

图1 光空间脉冲位置调制系统模型

依据SPPM 原理，光源索引号的映射关系可以用一个Nt×1 维向量来表示。其中，[·]T表示转置运算，1≤j≤Nt表示激活光源的索引号。PPM 符号可以用一个1×L维向量来表示。其中，1≤e≤L表示发送脉冲的位置，Am表示脉冲幅度。那么，经SPPM 后的信号可表示为

发送端的SPPM 信号经过大气湍流信道后，由光电探测器接收。假设其接收信号为

其中，η是光电转换效率，ψ是均值为0、方差为的加性白高斯噪声，ψ、y均是Nr×L维矩阵；H是Nr×Nt维的大气信道衰减矩阵。通常情况下，H中的元素h服从双伽马（Gamma-Gamma）分布[17]。其概率密度函数为

其中，Γ(·)为伽马函数，ℜζ为第二类ζ阶修正贝塞尔函数，α和β分别为大尺度散射参数和小尺度散射参数。对于平面波而言，α和β分别为[18]

其中，2π/λ为波数，λ为光波的波长，为大气折射率结构常数，z为传输距离。

探测器的输出信号再经最大似然译码算法后即可检测出原始信号。最大似然检测是一种经典的最优译码算法，该算法通过遍历所有可能的SPPM信号，找到与接收信号欧氏距离最小的调制信号，并将其视为发送端发送的信息，即

2 基于K 均值聚类的分步分类检测

虽然ML 检测能够取得最优的误比特性能，但由于其采用穷搜索方式导致译码算法的复杂度较高，限制了它在实际场景中的应用，尤其是在大规模OSM 系统以及高阶调制系统中的应用。因此，本文根据SPPM 信号矩阵的特征，结合机器学习中的K 均值聚类，探索计算复杂度低、误比特性能好、实用性强的SPPM 检测算法。

2.1 K 均值聚类相关理论

K 均值聚类是一种迭代求解聚类问题的无监督学习算法[19]。该算法可将包含S个样本的数据集合按照特定的标准划分为K个簇，使簇内样本的相似度较高，而簇间样本的相似度较低。其中，K为预先设定的聚类数目。按K 均值聚类定义，要求S＞K且每个簇中至少有一个数据样本。簇中数据样本的均值被称为簇的质心，簇中所有数据样本与该簇质心间欧氏距离的平方和为簇的散度。

K 均值聚类作为一种基于划分的聚类算法，具有收敛速度快、易于实现等优点[19]，而且当样本数据集合规模较小时，适合处理圆形或球状聚类问题。但该算法需要预先设定聚类数目K，而且所得到的聚类结果对初始质心和噪声数据较敏感[12]。K均值聚类算法步骤[20]如下。

1)从给定数据集Y={y1,y2,…,yS}中随机选取K个样本作为初始质心。

2)计算每个样本到K个质心的欧氏距离，并将其划分到最小欧氏距离所对应的簇中。

3)计算每个簇中所有数据样本的均值，并将其作为新的质心。

4)重复步骤2)和步骤3)，直至所有的质心不再发生改变或达到规定的误差范围。

5)输出最终聚类结果。

为了减小随机初始质心对聚类结果的影响，需要对其进行多次随机初始化。每次随机选取初始质心并经循环迭代后均会得到K个簇，为了比较不同次聚类结果的敛散性程度，将误差平方和（SSE,sum of the squared error）作为度量聚类质量的目标函数，并选取误差平方和最小的聚类结果作为最终聚类，即

2.2 基于K 均值聚类的分步分类检测算法

对于SPPM 系统而言，发送信号的形式取决于光源索引号和PPM 符号。由于光源索引号所传递的信息属于隐含信息，因此当PPM 阶数确定时，接收信号的种类也是确定的，二者相等。也就是说，接收信号的种类取决于PPM 的调制阶数L，这是因为接收信号实际上是受到加性白高斯噪声和信道衰落影响后的PPM 信号。这一点恰好弥补了KMC算法需要预先确定聚类数目的缺陷。与采用穷搜索方式的ML 算法相比，无监督学习中KMC 算法的计算复杂度要低很多[12]。基于此，针对SPPM 系统，本文提出了一种基于K 均值聚类的分步分类检测算法，其检测原理如图2 所示。

图2 基于K 均值聚类的分步分类检测原理

由图2 可知，本文所提算法分为离线训练和在线检测2 个阶段。需要说明的是，本文所提算法中训练阶段的聚类数目就是PPM 阶数，即二者数目相等，文中统一用L来表示。在离线训练阶段之前，发送端首先发送大量的随机信号给接收端，接收端接收这些随机信号并建立训练样本集。同样，在线检测阶段的测试集也由该方法得到。在离线训练阶段，首先利用已建立的训练样本并结合基于信号向量检测（SVD,signal vector based detection）[22]算法检测出光源索引号。然后通过KMC 算法将训练样本聚类为L个簇，并对所得簇进行局部解映射得到质心与调制符号间的映射关系。最后以该映射关系为准则完成在线调制符号的实时检测，同时以穷搜索方式检测出光源索引号。具体检测过程如下。

步骤1训练样本中光源索引号的检测。

采用SVD 算法完成训练样本中光源索引号的检测，其检测原理示意如图3 所示。

图3 SVD 算法检测原理示意

假设第j个光源发出的PPM 符号为xl，探测器接收到信号为y。由于噪声的影响，致使大气信道中传输的SPPM 信号偏离原来的方向。这使接收信号y与hjxl之间必然存在夹角，假设其夹角为θj。其中，hj为信道衰减矩阵H的第j列。SVD 算法的原理是通过计算接收信号y与hjxl之间的夹角θj来估计激活光源的索引号，其计算依据为[22]

由式(9)可知，θj值的大小反映了接收信号y相对于实际发送信号的偏离程度。θj值越小说明偏离程度越小，即图3 中d越小。将最小θj所对应的光源检测为激活光源，并提取其索引号。

步骤2利用K 均值聚类算法对训练样本聚类。

对于一个具有S个接收信号的训练样本集{y1,y2,…,yS}而言，由于光源索引号所传递的信息属于隐含信息，因此实际接收信号是受到加性高斯噪声和信道衰落影响后的PPM 信号，那么就可以根据接收信号特征将其聚类为L个簇。具体的聚类过程如下。

①从训练样本集{y1,y2,…,ys}中随机选取L个接收信号作为初始质心，假设表示第k个簇的初始质心k=1,2,…,L。

②计算接收信号yi(i=1,2,…,S)到各质心的欧氏距离，并寻找最小距离对应的质心，即，然后将yi分类至该质心所对应簇中。

③计算每个簇中所有接收信号的均值，并将其作为新的质心，重复步骤②和步骤③直至所有的质心C1,C2,…,CL不再发生变化。

为了减小随机初始质心对聚类结果的影响，重复步骤①～步骤③P次。每次随机选取初始质心并经循环迭代后均会得到L个簇。为描述不同次聚类结果的敛散性程度，采用SSE 作为度量聚类质量的目标函数。SSE 越小，说明各簇中的接收信号越接近其质心，聚类结果越好。因此，选取SSE 最小的一次聚类作为最终聚类结果。依据此方法，将离线接收信号聚类为L个簇，同时得到每个簇的质心。

步骤3质心与调制符号间映射关系的获取。

对步骤2 中所得的簇进行解映射。当KMC 算法收敛于全局最小值时，各质心与调制符号间具有一一映射关系。所以，不需要对每个簇中的接收信号进行完全解映射，可采用局部解映射来降低解映射的计算复杂度。就是说，从每个簇中任意选取一个接收信号，利用ML 算法遍历所有可能PPM 符号，并选取欧氏距离最小的作为该簇对应的PPM 符号，由此得到各质心与调制符号之间的映射准则。局部解映射过程为

其中，y(ω)表示从第ω个簇中选取的接收信号，H(ω)表示接收信号y(ω)所对应的信道衰落系数。

若质心与调制符号间不满足一一映射关系，返回步骤2 并增大初始化次数重新进行聚类和解映射，直至质心与调制符号间满足该关系，下面，以图4 为例来具体说明。

图4 局部解映射示意

假设接收信号y8的解调结果为[Am000]，那么簇 3 中的所有接收信号可直接解映射为[Am000]，质心C3与调制符号间的映射关系可表示为C3→[Am000]。同样，利用步骤3 可得到其余质心与调制符号间的映射关系。

步骤4在线信号的实时检测。

以步骤3 所得映射关系为准则对在线信号进行实时检测。具体地，分别计算接收信号到L个质心的欧氏距离，找到最小欧氏距离所对应的质心，并将该质心所对应的调制符号作为解调结果。在已知PPM 信号xl的基础上，采用穷搜索的方式检测光源索引号。其依据为

最后，对光源索引号和调制符号分别进行逆映射即可恢复出原始的信息比特。

3 系统误比特率分析

由式(12)与式(13)可知，当判决准则准确无误时，在线检测过程可以看作分别对质心（PPM 符号）与光源索引进行穷搜索的一种检测方法，即所提算法实质上为一个分步检测的ML 算法。假设仅考虑理想情况，也就是说，在训练样本数足够大且判决准则准确无误的情况下，推导所提算法的理论误比特率。依据文献[23]，采用联合界技术来分析SPPM系统在所提算法下的平均比特错误概率（ABEP,average bit error probability），其上界可表示为

其中，APEP（average pairwise error probability）表示平均成对错误概率。根据文献[5]，发射端发送符号xl,s而被接收端误检为时的APEP 为

其中，ρ为平均电信噪比（SNR,signal to noise ratio），为Gaussian-Q 函数。为了描述方便，定义

其中，hs和分别表示信道矩阵H的第s列和第列，hs=Hxs，分别表示实际发送光源索引向量xs和调制符号向量xl的估计值。

由式(16)可知，获得误比特率的关键在于正确分析检测错误的类型，并计算出其对应的APEP。只有当光源索引号和PPM 符号均被正确检测出时，信号才能被正确解调。基于分步分类的检测思想，同时综合考虑影响系统误码性能的因素，可将其错误归纳为以下3 类。

第一类错误：光源索引号和PPM 符号均检测错误，即s≠，l≠。其错误类型可表示为

经过计算，第一类错误结果为

其中，hsi表示信道矩阵H中的第i行第s列元素，表示信道矩阵H中的第i行第列的元素。经计算可得，第一类错误共计有Nt(Nt-1)L(L-1)项。

第二类错误：PPM 符号检测正确而光源索引号检测错误，即s≠，l=。同样采用和第一类错误相同的分析方法，计算化简可得第二类错误结果为

第二类错误项数为LNt(Nt-1)。

第三类错误：光源索引号检测正确而PPM 符号检测错误，即s=，l≠。采用和第一类错误相同的分析方法，计算化简可得第三类错误结果为

第三类错误项数为NtL(L-1)。

由以上3 种错误类型可知，其错误结果表达式可分为2 种形式，一种是2 个随机变量加权平方累加的形式，另一种是加权差平方累加和形式。对于第一种形式而言，由于h是服从Gamma-Gamma 分布的随机变量，则其平方的矩量母函数（MGF,moment generating function）[24]为

其中，G[·]为Meijer G 函数。根据有关多个随机变量MGF 的性质[24]，可求得W1的APEP 为

其中，c1=c2=。

对于错误类型 2W，由于缺少对应加权差的平方和形式的分布函数，这里采用高斯核密度估计（KDE,kernel density estimation）方法[5]来计算此时的APEP。其近似结果为

其中，n为采样数，，ε2为根据W2计算所得的均值，χ为核密度估计的窗宽。

对于错误类型W3，同样使用MGF 方法，可求得APEP 为

其中，c=。

将以上3 种错误类型对应的APEP 代入式(14)，可得系统误比特率上界为

由式(25)可知，系统的理论误比特率会受到调制阶数、探测器数目、光源数目以及大气湍流强度等的影响，有关其具体变化将在下文中详细给出。

4 性能分析

为了更好地说明所提算法的性能，本文采用蒙特卡罗方法对所提算法的误比特性能和计算复杂度进行了仿真分析。相应的仿真条件为：假设接收端已知完整的信道状态信息，SPPM 系统瞬时功率归一化为1，光电转换效率η=0.5。强湍流时，α=4.2，β=1.4，=3.5；中等湍流时，α=4.0，β=1.9，=1.6；弱湍流时，α=11.6，β=10.1，=0.2[2]。训练集数据和测试集数据分别采用 1.2×106、9×105个随机生成的SPPM 接收信号。为了方便识别，采用(Nt,Nr,L)来标注SPPM 系统参数。若无特殊说明，仿真过程中的大气信道条件为中等湍流。

4.1 误比特率性能分析

图5 为不同SPPM 系统的理论误比特率与蒙特卡罗仿真结果，此时初始化次数P=60。由图5 可知，在KMC 算法收敛于全局最小值的情况下，理论分析结果与蒙特卡罗仿真结果相吻合。即在低信噪比时，理论误比特率大于实验仿真结果，而当SNR≥25 dB 时二者近似重合，这是因为理论误比特率仅是仿真误比特率的上界。

图5 不同SPPM 系统的理论误比特率与蒙特卡罗仿真结果

图6 为采用本文所提算法、ML 检测算法、线性译码检测算法（MMSE 检测算法和ZF 检测算法）以及CS 检测算法时SPPM 系统的误比特率性能。此时，初始化次数P=60。由图6 可知，1)本文所提算法能够取得近似ML 检测算法的误比特率性能，且明显优于线性译码算法和CS 检测算法。对于(2,3,4)-SPPM系统而言，相比于CS 检测算法及线性译码检测算法（MMSE 检测算法和ZF 检测算法），当BER=10-2时，本文所提算法的信噪比分别改善了约5 dB、8 dB 和11 dB。2)当探测器数目小于光源数目时，本文所提算法仍表现出良好的误码性能。例如，在(8,4,4)-SPPM系统中，当BER=10-2时，相比于CS 检测算法，其信噪比改善了约8 dB，同时有效弥补了线性译码算法无法适用于探测器数目小于光源数目系统的缺陷[25]。

图6 采用不同检测算法时SPPM 系统的误比特率性能

图7 为不同湍流条件下(8,4,4)-SPPM 系统的误比特率性能。此时，初始化次数P=60。从图7 可以看出，本文所提算法在中等湍流和强湍流条件下所取得的误比特率性能基本相同，均优于弱湍流条件下系统的性能。相比于弱湍流，当BER=10-3时，中强湍流条件下系统的信噪比改善了约3 dB。这是因为中强湍流条件下的信道衰落系数差异性较大，信号间的特征更明显，使在同等条件下其聚类精度更高、误比特率性能更好。

图7 不同湍流条件下(8,4,4)-SPPM 系统的误比特率性能

对于本文所提算法而言，能否建立质心与调制符号间的一一映射关系是决定系统误比特率性能的关键，而质心的求取与KMC 算法的聚类结果密切相关。为了进一步说明本文所提算法的性能，下面将分别讨论不同初始化次数以及聚类数目对系统误比特率性能的影响，其结果如图8 和图9 所示。

图9 聚类数目对系统误比特率性能的影响

图8 为初始化次数对(4,4,8)-SPPM 系统误比特率性能的影响。由图8 可知，1)当P≤20 时，系统的误比特率性能均出现了错误平台效应，且随着P值的增加这一现象得到了明显改善。这是因为初始化次数较小时KMC 算法无法收敛于全局最小值，导致质心（簇）与调制符号之间的映射关系中存在多对一的情况，即训练阶段所建立的映射关系中缺失部分PPM 符号。当再以该映射关系为准则对接收信号进行在线检测时，信噪比的增加并不会带来系统误比特性能的改善。2)当P≥30 时，错误平台效应已完全消除，系统的误比特率性能与ML 检测算法几乎相近，此时继续增大初始化次数对系统误比特率性能的改善并不明显。由此可见，聚类数目确定后，增大初始化次数能够在一定程度上缓解随机初始化质心对聚类结果的影响，降低系统的误比特率。对于(4,4,8)-SPPM 系统而言，若采用本文所提算法进行信号检测，当同时考虑系统误比特率性能和训练阶段计算复杂度时，初始化次数可设定为30。

图8 初始化次数对(4,4,8)-SPPM 系统误比特率性能的影响

图9 为聚类数目（即PPM 阶数）对系统误比特率性能的影响。由图9 可知，1)对于不同调制阶数的SPPM 系统而言，初始化次数对其误比特率性能的影响不同。例如，(4,4,2)-SPPM 系统在P=1 时就取得较好的误比特率性能；(4,4,4)-SPPM 系统则需要5 次才能消除错误平台效应；(4,4,16)-SPPM 系统出现了较大的误比特率性能损失，即便初始化次数增大至100，错误平台效应也未能消除。出现这一现象的原因同图8 相似，聚类数目越大，随机初始质心来自不同特征的接收信号集合的概率越小，此时KMC 算法越容易陷入局部最小值，需要更大的初始化次数才能保证KMC 算法能够收敛于全局最小值。由此可见，本文所提算法更适用于低阶PPM 系统，考虑到调制阶数对训练复杂度的影响，可确定本文所提算法适应的调制阶数范围为L≤8。2)结合图8 可得，调制阶数不同时本文所提算法的最优初始化次数也不同。例如，(4,4,8)-SPPM 系统的最优初始化次数为30。因此，在实际应用中训练阶段初始化次数的大小应根据PPM 的调制阶数而定。3)初始化次数为30 时，调制阶数依次为2、4和8 的SPPM 系统均未出现错误平台效应，且所取得的误比特率逐渐减小。当BER=10-4时，相对于调制阶数为2 的SPPM 系统，调制阶数为8 的SPPM系统的信噪比改善了约2 dB。

4.2 计算复杂度分析

译码算法的复杂度是决定算法能否走向实用化的关键。因此，根据光信号的特点，以一次加法和一次乘法运算作为一个复杂度的度量，分析对比了ML 检测算法、线性译码检测算法（MMSE 检测算法和ZF 检测算法）、CS 检测算法以及本文所提算法的计算复杂度，其结果如表1 所示。

表1 各算法复杂度

由于本文所提算法分为离线训练时质心与调制符号间准则的获取和在线信号的实时检测，因此，其计算复杂度也分为离线训练和在线检测的复杂度。

1)离线训练时的计算复杂度

假设训练样本集中接收信号的个数为S，参照式(9)～式(11)，本文所提算法在离线训练时的计算复杂度包括光源索引号检测、训练样本的聚类及其局部解映射3 个部分。

在光源索引号的检测中，依据式(9)，检测一个接收信号的计算复杂度为(6NrL+L)Nt+2NrL-1。因此，当完成S个训练样本的光源索引号检测时，其计算复杂度为((6NrL+L)Nt+2NrL-1)S。采用K 均值聚类算法对训练样本进行聚类时，其计算复杂度为P(S-L)LI≈PSLI，其中，I表示迭代次数[10]。在局部解映射的过程中，由式(11)可见，需要遍历所有可能的调制符号。因此，当完成L个接收信号的解映射时，其计算复杂度为(2NtNrL+2NrL-1)L2。综上所述，训练阶段本文所提算法的计算复杂度为

其中，Comtaining表示本文所提算法离线训练时的计算复杂度。

2)在线检测时的计算复杂度

在对接收信号进行实时检测时，其计算复杂度包括光源索引号检测与调制符号检测2 个部分。由式(12)和式(13)可知，求解接收信号到一个质心间欧氏距离的计算复杂度为3NrL-1。由于质心的搜索空间为L，因此 PPM 符号检测的复杂度为L(3NrL-1)。光源索引号检测的复杂度为Nt(2NtNrL+2NrL-1)。因此，在线检测时本文所提算法的计算复杂度为

对于确定的SPPM 系统来说，本文所提算法只需进行一次离线训练即可得到各质心与调制符号间的映射关系，因此，只需考虑在线检测时的计算复杂度即可。

由表1 可知，5 种检测算法的计算复杂度均与Nt、Nr、L有关。为了说明它们之间的变化，在图10 中给出了L=8、Nr=8时各检测算法复杂度与光源数目间的关系。

图10 计算复杂度与光源数目的关系

由图10 可知，1)本文所提算法的计算复杂度明显低于ML 检测算法，而且随着光源数目的增加，其在复杂度方面的优势更加显著。当光源数目分别为2、4、8 和128 时，本文所提算法的计算复杂度比ML 检测算法的计算复杂度分别下降了约62.57%、80.03%、85.43%和87.49%。2)与ZF 检测算法和CS 检测算法相比，本文所提算法的计算复杂度有所增大。当Nt=128时，本文所提算法的计算复杂度比ZF检测算法和CS检测算法的复杂度分别增大了约3.68 倍和121.39 倍。3)与MMSE 检测算法相比，当光源数目小于64 时，本文所提算法的计算复杂度高于MMSE 检测算法的计算复杂度。但是，当光源数目大于64 时，本文所提算法的计算复杂度低于MMSE 检测算法。

综上所述，结合图6 与图10 可得，本文所提算法具有近似ML 检测算法的误比特性能，且其复杂度明显低于ML 检测算法；与CS 检测算法相比，本文所提算法以增加部分复杂度为代价，有效降低了系统的误比特率。

5 结束语

针对无线光通信系统对高传输速率和低复杂度的要求，本文依据光空间脉冲位置调制的信号特点，基于机器学习中的无监督学习（K 均值聚类），提出了一种适合于SPPM 的分步分类检测算法。研究表明，本文所提算法有效弥补了CS 检测算法应用场景受限的缺陷，与线性译码算法相比，其能够适用于探测器数目小于光源数目的通信场景，并以部分复杂度的增加为代价有效提升了系统的误比特性能。相比于ML 检测算法，本文所提算法在取得近似ML 检测算法误比特性能的条件下，大幅降低了信号检测的计算复杂度。尤其是在光源数目较大的SPPM 系统中，本文所提算法更具有明显优势。但是，当PPM 阶数大于8 时，系统所取得的误比特率性能还不够理想，笔者将继续对KMC 算法进行改进和优化，以满足不同通信系统的信号检测需求。